BC I
gré en À et )/, — se réduit à i H — (^' ■+- '•'*) 5 la qua
lité comprise sous le signe 1 se réduit à
et nous avons, par conséquent,
On verrait de même que les valeurs exactes BC . /-« uUlu
Y -T - 4 7r//p — ft I ;,
Jo (i-+-X'«')'(i-4-V'tt')'
/ - — 47rfzp -7T <• I i :, »
se réduisent aux suivantes :
Il s'ensuit que Fatlraclion totale de rellipsoïd point de sa surface, ou v^X*-h Y*H- Z', que n
STATIQUE. inp
iiieirons G, a pour expression
-c'(V oV')]j.
Nous avons pdsé
(2} a' ^ ^» H C^ zz: r».
Lifi point attiré (a, 6, c) étant un point de la surface.
^^ bien, au degré d'approximation convenu,
a» {>» -4- V) -4- ^n" -4- en' — A^ ( i -4- X' -4- V^} — r\
"ultîplîons cette équation par 3, et retranchons du pro- ^^ît l'équation (2) multipliée par 2(X'H-1'*). Il en ré- ^^lle une nouvelle équation dont le premier membre est *^ facteur entre crochets [ ] dans la valeur de G, et dont '® second membre ne contient pas les coordonnées a, i, c. H en résulte
(3) G:=z-^:Tfxprr2(i- V-V=»j-h3^(i-4-À'-hV')|.
*^ Cette valeur de l'attraction ne dépend que de la ^> s tance r du point attiré au centre de Tellipsoïde. Dès *^rs le premier théorème est démontré.
^^ Si nous posons
ABC=r% ^cilc relation, dans notre degré d'approximation, nous
33o MÉCANIQUE RATIOHJNELLE.
Alors (3),
Le deuxième théorème est démontré.
3° Le troisième théorème est également facile à dé
montrer. Le rapport du volume de chaque ellipsoïde h
mofocal à celui de la sphère correspondante est le produ
A' de — par une quantité constante. Ce rapport est constan*"
A par suite — est une constante. Il en résulte (3) que G r ^
proportionnel à r, de même que F attraction de la sphèi r--^
Le P. J. Delsaux; i856.
4. Démontrer quun ellipsoïde homogène^ de réx^o^S^* tion, et faiblement aplati, exerce sur un point dé j
surface une attraction qui varie avec la position de c
point proportionnellement au sinus carré de la latitu m. rfg On néglige la quatrième puissance de l'excentricité.
Conservons la notation de la question précédente.
Il nous faut poser dans les formules (7) (p. 3a6) u =^=^ i, et développer suivant les puissances ascendantes de ^ ^n nous arrêtant à la troisième puissance.
Nous avons
. , ^' V arc tang > = X^^H--— ...,
et de même
arc tangX —
d'o-à résulte U T;dear approchée de rutracùon toule«
Q^^X'-hT^-^r-
o^a. bien, posant a* -+- i' -h c* = r'.
Ceci posé, désiimons par / la latitude du point attiré, ^^^cst-à-dire Tangle aigu que la normale à la surface en ce point fait avec le plan de Féquateur. Nous avons, ton* Jours an même degré d^àpproximation.
c:os/= : -— J6»-4-f'[r»H-Va»(:ï-+-X»M
i^L±^^KV,
sin/ = --+- HX»,
1^ et H désignant des quantités indépendantes de à.
Ayant égard à ces valeurs, Fexpression de G peut s'é- ^rire
G=i^'r,+ ^'(2sin'/-cos'/)]
crequi démontre le théorème.
CoROLLAiBE. — Quand on pose
33a MÉCANIQUE RATIONMBLLB.
il vient
On déduit de là cette conséquence remarquable : Un — ^
ellipsoïde homogène y de téi^olution^ et faiblement npl/ifi
exerce sur un point matériel situé à sa surface sur le pa —
rallèle oii te sinus de la latitude est -j^-t une attractiot^ -^^
égale à celle que produirait une sphère de même matièrc^^^^ de même centre, et qui passerait au point attiré. Mais i^fîl ne faut pas oublier que Ton néglige ici la quatrième puis^^sssance de Texcentricité.
De plus, on s'assurera facilement que la sphère dor^^ «nt il s* agit a même volume que l' ellipsoïde, toujours a^s au même degré d'approximation ( voir le problème 3, n^). ^« .
On applique fréquemment ces résultats à la terre.
5. On suppose la masse d'une planète /^partie s^^^ sm chaque point de son orbite, en raison inverse de sa "^^ vi tesse à ce point. Calculer l'attraction que Vannei^^ :eau elliptique ainsi formé exerce sur un point extérieur ^'^- ^^sc/ conque^ mais assez éloigné pour quon puisse regar- — -^J^,, Vanneau comme une ligne matérielle sans épaiss^^^f^^ » quoique de densité variable.
Soient
l'équation de l'orbile, e rexcentricité, u Tanomalie excentrique de la planète, T la durée de la révolution et t le temps compté à partir du passage au périhélie. On aura
-— f = i£ -— e sin a, T
'-^ii
'H différentiant,
dt:= — (\ — eco%u)du.
2ir ^ '
près cette dernière formule, la masse de Pélëment de neau qui répond à Taccroissement du de Tanomalie întrique aura une expression de la forme
du{\ — e cosa) X const.
ime, par hypothèse, la masse entière de Panneau doit égale à la masse de la planète, la constante sera le lient de la masse de la planète par le nombre arr. oient m la masse de la planète \ = A, jr = B, z = C les coordonnées du point attiré -, Tattraction que l'unité de masse, située à Tunîté de ance, exercerait sur ce point;
1, T, Z les composantes de l'attraction suivant les axes; la distance du point attiré au point (x, y) de Tan^ Ton observe que les coonlonnées x = a cos a,
tsinu représentent un point quelconque de Tel-
, on trouve
p»=r(A — flcos«)' + (B — b%\nuY -h C*,
/*/w r^^ (i — tf cosa)(A — flcosii) *•— — f : dUy
2^^ Jo P
'^'^ (i — eco%u) (B — ^sinii)
^'^(i — ércostt)C .
' — du.
du^
fim r'"(i — eco ~~'^ Jo f'
tégrales se ramènent aux fonctions elliptiques.
334 MéCANIQVV BATIONHELLB.
Pour eflbctuer celte réduction, on pose
^^tang^
