Bcos® -+-6'sin»-i
f sm a =r i- '- '^, . ■ — 4r •
\ 7C0S(j>-h 7 smç -+-7''
Les conditions
cos'tt -+- sin*tt = cos'w -+- sin'^ -r: 1
exigent qu'on ait les relations
[ a' +p» — 7* --H, aa' -h pp' —77' -: o,
OÙ H désigne une quantité qui, dans le cas actuel, ^ égale à s* (q — /?)'. On pourra dorénavant supposer ** égal à l'unité, pourvu que Ton entende par a, (3, 7, . • •? les quotients de ces quantités par s(q — p). Alors '^
quantités
satisferont à toutes les relations des neuf cosinus qui lient deux systèmes d^axes rectangulaires.
Or, si Ton substitue, dans l'expression
(5) (A»\/=T- ax)' -{-{hz )/~^ bxy-{-0{z)/^)\
Jc8 valeurs
jr =z ax' -f- a' y' + a')/— 1 «',
z=: — y \j— I y — 7' V — I r' -4- 7" »'» puis que l'on fasse
j/ =: COSÇ, y =: Sin y, *' ^— - I =:= I ,
on obtient le numérateur de la fraction sous laquelle se présente p* quand on substitue les valeurs (3) dans Texpression (i).
D'après cel a, on aura les valeurs des coefficients^,^, 5, G, G', G", en déterminant les cosinus a, ,v, — y ^ — ' , • • • 1 P^r la condition que les axes des x', j ', 2' coïncident avec ^^s axes principaux de la surface du second degré que Ton obtient en égalant l'expression (5) à une constante Q, savoir :
fl»ar» -h A»j' — (A» -4- B» -4- 0)z'
— nhb^ —ijz — 2 Au V^ — I zx =zQ.
Ainsi on est rami^né à un calcul connu, à Faide de sym- *^les imaginaires qui disparaîtront d'eux-mêmes dans les "^uliats.
Il* 3* «DIT. 22
Écrivanl que réqiialioii transformée, qu'il s'agit d'ob tenir,
(G Gor" -h Gy -+- G^{z' v'-Tj' = Q,
devient identique à Téquation primitive, lorsqu'on ; remplace x\ y\ z' par leurs valeurs en x, y^ z, on ob tient les relations
Gp»-hG'pH-G"p"='=AS Gf -+- G'v" -4- &'i"^ =r A> -4- B» -h es ^^' A ^GPv-G'p'v' — G"p"7''=r-B^,
— Gya — G' 7' a' — G'^foL" r-.-. — Atf, Gap -h G'a'p' -h G^'a^p" =r O.
Si Ton élimine entre ces équations les inconnues G' et G*,
en se servant des relations (4) où Ton a fait H = i.
il vient •
(G — fl')a -+- Aû7 = o,
(G — ^>^)p-hB67 = o,
— Aaa — B^p -h (G -4-A'H-B'-4-C»)7 = o.
Pour que ces équations soient compatibles^ a, |3 et n'étant point nuls, il faut que le dénominateur commui des valeurs de a, (3, y, que l'on en déduirait par les for mules ordinaires de résolution, si les seconds membre étaient différents de zéro, soit identiquement nul, c^est à-dire que l'on doit avoir
(G - fl') (G — b^) (G -f- A» -4- B' -h C)
ou, ce qui est la même équation,
Si Ton avait éliminé de la même manière G^ et G, on serait arrivé à une équation pareille; et si Ton avait éliminé G et G', on serait arrivé a une équation qui ne diffère de l'équation précédente que par le chaugcmcui de G en — G'' 5 donc les trois racines deTéquation (8) sont G, G' et — G". L'une de ces racines est négative; les deux autres sont positives, et, si l'on suppose a > è, elles sont comprises entre zéro et è', />* et a*. La racine négative est la valeur de — G'''; car, si elle était la valeur de G ou de G', la distance p serait imaginaire pour (p = o ou pour
9 = — Ces racines étant déterminées, on aura les valeurs
de p, Çy s par trois des équations (7).
L'hyperboloïde réel que représente l'équalion (6) pourrait être de révolution; alors un des cosinus serait indéterminé, il eu serait de même pour Tune des quantités p, q^ 5. C'est que, dans ce cas, il n'y aurait pas lieu de ramener nos intégrales aux transcendantes elliptiques;
elles ne contiendraient sous le signe i que des fonctions
rationnelles de sin u et de cosi/, en sorte qu'on pourrait efiectuer les intégrations.
En eflet, ce cas est celui où l'équation (8) aurait deux racines égales; or on voit, par un calcul semblable à celui de la page 5^ (prob. 5), que, si l'équation (8) a deux racines égales, leur valeur commune est 6', et l'on a
c'est-à-dire que le point attiré se trouve sur une hyperl>ole, située dans un plan perpendiculaire à celui de l'ellipse formée par Tanncau, et dont les sommets et les foyers sont respectivement les foyers et les sommets de l'ellipse. On sait qu'une telle hyperbole est le lieu des points de
34o MÊCAmQUB RATIONHELLE.
l'espace dont la distance à Tun quelconque des points de Tellipse s'exprime rationnellement en fonction des coordonnées de ce dernier point.
Le problème que nous venons de résoudre est susceptible de fournir une nouvelle méthode pour le calcul des inégalités séculaires des planètes. Car ces inégalités, dont les périodes embrassent plusieurs centaines de siècles, sont indépendantes de la longitude des planètes perturbatrices, et, par conséquent, elles seraient les mêmes si h masse de chaque planète perturbatrice était répartie sur son orbite, en raison inverse de la vitesse. C'est en vue de cette application que Gauss a résolu pour la première fois la question qui nous occupe ici (Comment. Gottingens,, t. IV). M. Clausen en a donné depuis une solution plus simple [Journal de M. Crellcj t. VI, p. 290: i83o).
SECTION II
