THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR L* ATTRACTION

A Tépoque de Laplacc, tout ce que Ton savait sur Tattraction d'un corps de figure quelconque se bornait presque à quelques méthodes générales pour aborder le problème à Taide des séries. Cependant Coulomb avait déjà découvert que les fluides électriques s'attirent ou se repoussent en raison inverse du carré de la distance. O* résultat inattendu ouvrait une vaste cariière auic applications de la théorie générale, et semblait inviter les géomètres longtemps arrêtés par la difli( ulté prétendiu* du sujet.

Un géomètre anglais, George Green (*), parvint en

{*) An Essaj on the application oj malhrmalical analjsis to the ikforù 0/ Eltctriciljr ond Magnetism; Nollin{;hani , 189S. — On a rcprodv ce Mémoire dans le Journal de M. Crnllc, t. XXXIX, p. 7^; t. XL! p. 356.

1828 à qneli]ues théorèmes généraux cruii haut intérêt; mais son Mémoire resta presque inconnu sur le conlinent. Dix ans plus tard, Gauss (*) et M. Chasles (**) retrouvèrent séparément les théorèmes de Green par des méthodes différentes, et ajoutèrent plusieurs autres propositions remarquables. Mous démontrerons ces théorèmes, d'abord par la méthode de M. Chasles, puis par la méthode de Green.

Dans tous les théorèmes qui suivent, nous prendrons pour unité de force l'attraction deTunité de masse s'exerçant à Tunité de distance, sur Tunité de masse quand il s'agira d'un corps, sur Tunité de surface quand il s'agira d'une surface, sur le point considéré quand il s'agira d'un point.

1. Si l'on considère V attraction d'un corps sur les éléments supeificiels d'une surf ace fermée et d'ailleurs quelconque, la somme des attractions exercées suiv*ant IcL normale intéiieure à la surface est égale au produit de ^t: par la masse de la partie du corps qui est située dans l'intérieur de la surface.

Soient ils l'élément de la surface, r sa distance à Télé-

ntent de priasse dm du corps attirant, et (NM) Tangle <{iie la normale extérieure fait avec le rayon qui joint l'élément ds à la molécule attirante dm. L'action de cette molécule, estimée suivant la normale intérieure,

*era représentée par 1 intégrale — dm I - - — -ris^ étendue à toute la surface. Or (p. 3i4î théorème IV), Tin-

(*) Résulta te aus dtrn Ueohachtmngen des mn^netischcn Veieins im lahre »8Î9; Leipiig, iS^o. — Journal de 31. Liouuille, t. VII, p. i-^Z.

(**) Comptes rendus des séances de l" Académie des Sciences de Paris, loBg, ler g^m,^ p. tog. — Additions à la Connaissance des Temps pour

34^ MÉCAlflQUE HATIOKMELLE.

tegrale I ; — ds est nulle ou égale a — 47:, suivan

que la molécule dm est extérieure ou intérieure à la sur^ face. De là suit évidemment le théorème annoncé.

2. Imaginons un canal infiniment étroit, dont les p^ rois latérales soient normales à toutes les surfaces de n^ veau du corps attirant; et nommons éléments correspo^ danls les éléments des surfaces de niveau découpés ce canal. Nous aurons ce théorème :

La différence des attractions du corps sur deux é^^S/^-^ men/s correspondants est égale au produit de /^tz pai^^/^ masse de la portion du corps qui est renfermée dar^ ^^ canal entre les deux éléments correspondants. En f-^/irticulier, les attractions sont égales sur les éléments €yorrespondants extérieurs au corps.

Pour le démontrer, il sufHt d'appliquer le théorèine précédent à la surface fermée qui se compose des parera ^s du canal et des deux éléments correspondants. Car ï ^^ attractions sur ces éléments leur sont normales, et ^^ composante normale de l'attraction sur un élément de ** paroi du tube est nulle (p. 3o8).

3. Nous appellerons couche de nivenu relative à Tii^^^' traction du corps, une couche matérielle inflnime^s?^'*^ mince, d'épaisseur constante, appliquée intérieurcmc5^"' sur une surface de niveau, et dont la densité en cha(^^"^ point est proportionnelle à rallraction du corps sur ^^ point. Nous nommerons cléments de masse correspi^^^^' danls \v.s éléments découpés sur les couches de niveau jp^^ un même canal infiniment étroit, normal à toutes l^^ surfaces de niveau.

Deux éléments de masse correspondants, siluc:^ sur

deux couches extérieures au corps, sont entre eux comme les masses des couches auxquelles ils appartiennent,

ËnefTet, soient :

m^^ m\ les masses des deux couches^

rf/7i,, flm\ les deux éléments de masse correspondants ^

dsj fis' les éléments superficiels correspondants qui leur servent de bases ;

V, V les potentiels du corps relatifs aux deux surfaces de niveau;

driy dn' les éléments des normales intérieures à ces deux surfaces qui sont compris entre ces surfaces et les surfaces de niveau intérieures infiniment voisines;

e le rapport constant du produit de l'épaisseur par la densité à l'attraction, sur chaque élément de la couche m^\

t' le rapport analogue pour la couche ni\.

Les attractions du corps sur les éléments ds^ tls' sont respectivement

dW , dY

, dsy -TT^' dn dn'

Par suite, on a

riy , fl\'

(/mi= t -r- <is, dm\ = t' -rr ^i-'f' t dn M

J dn • J dn'

Or, si les surfaces de niveau sont extérieures au corps, on a, d'après le théorème précédent,

cl aussi

d\ dr

344 MÉCANIQUE RATIOirilELLE.

car les deux surfaces de niveau se composent d'un même nombre d'éléments deux à deux correspondants. II s'en—

suit

dm I /i7 , ( dm\ m\ s'

Si une partie du corps attirant était renfermée dans le canal entre les deux surfaces de niveau, nommant dni^ la masse de cette partie du corps, et ni^ la masse de toute la portion du corps comprise entre les deux surfaces de niveau, on aurait (n^ 2), en supposant que la couche m, soit extérieure à la couche m',,

-— as •= -—-r as 4- ànam2f dn nbi

et, par suite,

dm^ ifix s

dm^-^^ntdm^ m', H- 4 ^•' '^'j s'

4. On voit par ce qui précède que les surfaces de niveau jouissent de propriétés différentes suivant quelles sont extérieures ou intérieures au corps. Occupons -nous d'abord des surfaces de niveau et des couches entièrement extérieures au corps.

Si, pour abréger, nous nommons point extérieur ou intérieur à la couche un point extérieur ou intérieur à la surface de niveau sur laquelle cette couche est construite, nous avons d'abord ce théorème :

Les attractions exercées par deux couches extérieures au corps sur un même point extérieur à chacune d ^elle^

ont la même direction, et ont des intensités proportion

nelles aux masses des deux couches.

Une couche extérieure au corps n exerce aucune ac

tion sur un point situé dans r intérieur de cette coucha- -

Conservons la notalion précédente; de plus, nommons m la masse du corps, V| le potentiel de la couche mi par rapport à un point M extérieur ou intérieur, r la distance du point M à l'un quelconque des éléments de la couche; et marquons par la caractéristique i les variations qu'éprouvent les quantités considérées, quand on passe d'une couche à une autre couche infiniment voisine, intérieure à la première.

On a, par définition,

Puisque — ^ reste constant dans l'intérieur d'un même <^nal (n** 3), il s'ensuit

^^, si l'on représente par (KM) l'angle que la normale . ^^térieure à la surface de niveau fait avec le rayon qui joînt l'élément de cette surface au point M, on a la rela- «■îon

Jr= J/?cos(NM); 4* ailleurs

dm. i::i: C -r— ds,

Substituant ces valeurs dans l'équation précédente, il vient

\mj m, J

cos(NM)</j

L'intégrale qui figure ici est nulle si le point M est exterîour a la surface; elle est égale à — \t: si le point M

346 MÉCANIQUE RATIONJÎELLE.

est intérieur (p. 3i4) théorème IV). Donc, dans le cas

d'un point extérieur, le rapport — ne varie pas d'une

couche à une autre, ce qu on peut énoncer ainsi : Le po- —

tentiel d'une couche extérieure relatif à un point exté-

rieur est à la masse de la couche dans un rapport con

stant, quelle que soit la couche.

Pour en conclure la première parlîe du théorème an — ^ nonce, il suffit d'observer que les composantes de l'atlrac— ^r;. tion de chacune des deux couches suivant trois axes rec ^. tangulaires sont les 'dérivées partielles du potentiel pa..^^;. rapport aux coordonnées du point attiré.

Dans le cas d'un point intérieur, la formule (A) d^^w vient

Or (n°« 3 et 1)

(B) nit =ii I -Z-— ds et I -r— rtjr=4fw-

Par suite,

Cette dernière égalité exprime que le potentiel d^une couche extérieure , relatif à un point situé dans son intérieur, est à la masse de cette couche comme le potentiel du corps rclaiij à un point quelconque de la couche est à la masse du corps.

Ainsi, le potentiel d'une couche extérieure relatif à un point intérieur à cette couche est constant, quel que soit ce point. Il en résulte que l'attraction de la couche sur le point est nulle, ce qui est la seconde partie du théorème.

CoROLLAinE I. — Les couches extérieures au corps ont toutes les mêmes surfaces de niv^eau exténeures. Car, d'après la proportionnalité qui existe entre les masses des

STATFQI3E. 347

couches Cl leurs polcnliels sur un même point eMerieur, si le potenliel d'une couche est constant sur toute retendue d'une surface extérieure à cette couche, le potentiel d'une autre couche intérieure à cette surface est aussi constant sur toute l'étendue de la surface.

Corollaire II. — La propriété d'une couche extérieure, d'après laquelle sou potentiel relatif à un point intérieur reste constant quand ce point se déplace, subsiste, quelque rapproché (|ue soit ce point de la surface de niveau surlaquellc cette couche est conslrui te. Ellesubsiste encore à la limite quand le point se déplace sur la surface de niveau elle-même; car le potentiel varie d'une manière continue quand le point attiré arrive sur la surface du corps attirant. En efTet^ le potentiel est de même ordre de grandeur que la masse de la couche, tant que le point attiré esta une distance Gnie; il sera, si l'on veut, un inGniment petit de premier ordre, puisque la couche est inGniment mince. Quand le point attiré s'approche d'une manière continue jusqu'à pénétrer dans la couche,

l'élément — du potentiel, qui répond à l'élément de la

couche inGniment voisin du point attiré, est un inGniment petit du second ordre, puisque dm est du troisième ordre et r du premier; donc cet élément n'a aucune influence sur la valeur du potentiel, et, par conséquent, il o'y a aucune raison pour que le potentiel varie brusque- Qient (*). Il s'ensuit que toute surface de nii^eau cxté-

(* ) Il n'en est point do même pour rattraction d'une couche infini- *«nt mince. Le même raisonnement montre que celte attraction peut va- '***' l^rusquement quand le point attiré pénètre dans la couche; car Tat-

^cii^jn de l'élément infiniment voisin du point attiré, —r-t est un infi- (iin^^Ql p^^j^ ju premier'ordre, en sorte que l'attraction de cet élément ••* ^^ même ordre de grandeur que l'attraction de la couche entière.

rieure au corps est aussi surface de uweau relativement à la couche construite sur cette surface.

Comme d'ailleurs les couches extérieures ont toutes les mêmes surfaces de uiveau extérieures, nous pouvons en conclifre que toute couche extérieure a pour surfaces de nix^eau extérieures les surfaces de nii^eau du corps; en sorte que V attraction du corps et V attraction d*une couche extérieure sur un même point extéiieur à la couche ont même direction*

Mais il y a plus : les intensités de ces attractions sont entre elles comme la masse du corps est à la masse de la couche. En e(Tet, considérons la couche construite sur la surface de niveau qui passe au point attiré; et soient m\ la masse de cette couche, \'^ son potentiel relatif au point. D'après la loi de continuité que nous avons établie relativement au potentiel, le point attiré peut être regardé, soit comme intérieur à la couche m',, soit comme extérieur. Il en résulte que nous avons les deux relations

Xj. — X XI — Zi.

d'où

ce qui démontre la proposition.

Corollaire III. — Nous avons vu que les potentiels de deux couches extérieures au corps sur un même point extérieur à chacune d'elles sont entre eux comme les masses des deux couches. D'après la loi de continuité, ceci subsiste lors même que le point attiré est sur la surface de la couche qui enveloppe Taulre. Mais, dans ce cas^ le potentiel de cette dernière couche sur le point considéré est le même que le potentiel sur un point intérieur, le même par conséquent que le potentiel sur un

point de la seconde couche. On a donc ce iliéorème : Le potentiel d'une couche extérieure au corps, relatif à un point situé sur la surface d'une autre couche exténeurc, est au potentiel de cette seconde couche rvlaiif à un point de la surface de la première, comme la masse de cette première couche est à la masse de la sei^ndc.

5. Considérons maintenant des surfaces de niveau ^elconques, extérieures, intérieures au corps, ou bien en partie extérieures et en partie intérieures.

Pour simplifier les résultats, nous admettrons que le rapport e, entre le produit de 1 épaisseur par la densité et Tattraction, ait la même valeur sur toutes les couches, n en résultera (n^l) que la masse d'une couche quelconque sera le produit de la constante 4~c p^r la niasse de la partie du corps qui est intérieure à la surface de niveau sur laquelle cette couche est construite.

Ceci posé, démontrons la proposition suivante :

L attraction exeiccée sur un point quelconque par la partie du corps qui est comprise entre deux surfaces de niveau, multipliée par le rapport constant de la masse d'une couche à la masse de la partie du corps qui est intérieure à cette couche, est égale à la résultante des (attractions des couches construites sur les deux surfaces àe niveau, l* attraction de la couche intérieure à l'autre ctant prise en signe contr'aire.

Conservant la notation précédente, le potentiel d'une couche sur un point extérieur ou intérieur M est repré- ^lépar Tintégrale

/dm, rêV ds

'^'^u on passe de la couche considérée à une couche infiniment voisine, intérieure à la première, ce potentiel

35o MÉCANIQUE RATIOKKELLE.

varie de la quantité

Or, si l'on nomme <7m, Télëment de masse de la partie d» — i,

corps qui est comprise entre les deux surfaces de nîvea ^u

infiniment voisines dans Tintérieur du canal dont la ba^ 5^ est dsy on a, diaprés le n^ 2,

\Q fl ]

Par suite,

JVj désignant le potentiel relatif à Faction que la pa rtie du corps comprise entre les deux surfaces de niveau i ofi. niment voisines exerce sur le point M.

D'autre part, la relation déjà citée,

^r — ^/îCos(lSM), donne

cos(NM)</«

La variation cîV étant la même sur tous les éléments ds de la surface de niveau, on peut faire sortir ce facteur hors du signe d'intégration, et il vient (p. 3i4, théorème ï^^]

ou bien

suivant que le point M est extérieur ou intérieur at. ^^ deux surfaces de niveau infiniment voisines.

Supposons d'abord que le point atiii^ soit extérieur à 1 première couche.

La substitution des valeurs (D) et (E) daus Téquation C) donne

itégrant à partir de la couche considérée, jusqu'à une 9uchc intérieure quelconque, dont le potentiel sera rer résenté par V^, il vient Téquation