V.-~V\=4ircV

tt Vt représente le potentiel relatif à Faction exercée sur 3 point par la portion du corps qui est comprise entre les arfaccs de niveau sur lesquelles sont construites les deux ouches.

Maintenant, pour démontrer le théorème, dans le cas m le point attiré est extérieur aux deux couches, il suffit le diflérentier Féquation précédente par rappojrt aux roordonnées du point attiré.

Supposons en second lieu que le point attiré soit intérieur à la première couche.

Dans ce cas, l'équation (C) devient

Int^rant depuis la couche considérée jusqu'à une couche intérieure quelconque, mais dont la surface externe soit extérieure au point attiré, il vient Téqualion

V, - V\ = 4 TTC V, -4- 4 TTC (V — V),

lan» laquelle V et V représentent les valeurs du potentiel t^laiif k Faction du corps sur les deux surfaces de niveau lui portent les deux couches.

Cette équation exprime une propriété remarquable du potentiel de deux couches quelconques sur un point intéï^curà chacune d'elles. 11 est aisé de voir qu'elle s'étend *u cas où le point attiré serait compris dans Fintervalle

35a MÉCANIQUE AÀTI0M9ELLE.

des deux couches, pourvu que Ton enleude par V le teutiel du corps sur la surface de niveau qui passe point attiré.

Si Ton difierentîe cette équation par rapport aux ce données du point attiré, il ne reste aucune trace du ter V — V, el le résultat exprime le théorème que nous v< Ions démontrer, dans le cas où le point attiré est inlérii aux deux couches.

Enfin, le théorème subsiste encore quand le point tiré est compris dans Tintervalle des deux couches d nées. Pour s*en assurer, il suffit d'appliquer success& ment le théorème à chacune des deux couches comj^j à une troisième couche construite sur la surface qui pd au point attiré.

6. Une couche quelconque et la partie du corps qui à est intérieure exercent sur un même point extérieur ai couche des attractions qui ont la même direction^ dont les intensités sont dans le rapport de ta masse i la couche à la masse de la partie du corps qui lui est ii térieure. — Une couche quelconque et la partie du cor qid lui est extérieure exercent sur un même point int rieur à la couche des attractions dirigées en sens co traire, et dont les intensités sont dans le rapport de masse de la couche à la masse de la partie du corps i lui est intérieure.

En eflet, dans le théorème précédent, prenons pour couche intérieure à Tautre, celle qui est construite sur surface de niveau enveloppée par toutes les autres, cel surface pouvant se réduire à une ligne ou à un [H>ii L'attraction de cette couche sera nulle; car la surface niveau intérieure à toutes les autres répond a un mai

mum du potentiel, et, par suite, la dérivée -r- est nul

sur cette surface. D^aiUeurs la partie du corps comprise entre les deux couches sera toute la partie du corps intérieure à la première. Donc l'action de la première couche et Faction de la partie du corps intérieure à cette couche, sur un même point extérieur, ont la même direction, et leurs intensités sont dans le rapport des masses.

Dans le même théorème, prenons pour la couche extérieure à Tautre une couche entièrement extérieure au corps ] cette couche n'exercera aucune action sur un point intérieur (n** 4). Donc Faction de Fautre couche et celle de la partie du corps extérieure à cette couche, sur un même point intérieur, ont des directions opposées, et leurs intensités sont dans le rapport de la masse de la couche à celle de la portion du corps qui lui est intérieure.

Si Fou admet que la masse d'une couche soit égale à celle de la portion du corps qui lui est intérieure, ce qui revient à supposer dans les formules 4^^= i) on a cet énoncé plus simple :

Une couche quelconque exerce sur les points extérieurs ia même action que la partie du corps qui lui est inté" rieure, et sur les points intérieurs une action égale et €ontraire à celle de la partie du corps qui lui est extérieure.

Ce dernier théorème ne se trouve pas dans le travail de M. Chasles', la démonstration qui précède est de M. J. Bertrand. Au reste, ce théorème est une consé- ^ence immédiate de la théorie de George Green, qui i<era le sujet du numéro suivant.

7. La théorie de Green est tout entière fondée sur un lemme du calcul intégral.

Lemme. — On suppose un corps terminé par une sur- II. a« toiT. 23

face fermée y qui peut à* ailleurs se composer de ph parties isolées les unes tics autres; on nomme ds ntent de la surface externe,, dn Vêlement de la no intérieure à la surface,^ x, y^ z les coordonnée tangulaires dUin point quelconque du corps^ U deux fonctions de x^ y, z qui ne deviennent infinies dans V intérieur du corps y mais qui sont i leurs quelconques,

La proposition dont il s* agit consiste en ce que i toujours la relation

dans laquelle les intégrales triples s'étendent à t corps considéré^ et les euitres intégrales à toute la sa du corps.

Soient X, fi, V les angles que la normale intérieui avec les axes des x, des y et des z. On a

dV ^ dU ^ ^ dU - riV

—— as =: — — cos as H — — ces uds-i — cosv £w,

dn dx dy dz

OU bien

-7- ds=i± —r- dy dz ±: --— dtdx± -7- dxdr. dn dx dy dz

Le premier terme du second membre a le signe -fsigne — , suivant qu'on entre dans le corps ou qti'< sort, quand on traverse Télément ds en s'avançant la direction de l'axe des x. Le signe du second ten règle de même par Taxe des y^ et celui du troisième t par Taxe des z.

Marquons respeclivemeni des indices o et i les valeurs correspondantes aux deux élémenls de surface ds ^ par lesquels on entre dans le corps et Ton eu sort, eu traversant une partie isolée dans la direction d'un des axes

coordonnés*, et indiquons par le signe ^ une somme relative aux différentes parties isolées que Ton traverse en s'avançant toujours dans la môme direction. Lo premier membre de Téquation (i) pourra se représenter par la

somme de trois termes de même forme, dont le premier,

x^elatif a la direction de Taxe des x, sera

J/|/v^--2[v.(a-.(fc"),]l*-

"^e terme peut s'écrire

- — drdydz;

M}n s'en assure eu effectuant par parties Tintégralion relative à X. Il en résulte que le premier membre de l'équation (i) est égal à

^'^ -JjJ[d^:i:i^'^d7dr-^'d;-d^)''^^^^^^^^

Ecrivant cette égalité, et changeant dans les deux membres tl en V et V en U, on obtient une nouvelle égalité, qui exprime que le second membre de l'équation (i) est égal à la même intégrale (a). Par conséquent, l'équation (i) est exacte.

Cette équation doit être. modifiée, si Tune des fonctions U et y devient infinie dans l'intérieur du corps; les modifications à introduire dépendent de la forme de '^ fonction dans le voisinage du point où elle devient

356 MÉCANIQUE RATIOMI^iELLE.

infinie. Examinons, en parliculier, comment se modiGc celle é(|ualion quand la fonction U esl infinie pour un point inléricur O, dans le voisinage duquel elle se réduit

à -> r désignant la distance à ce point.

Si l'on imagine une sphère décrite du point O comme centre, avec un rayon infiniment peiit, que nous désignerons par p, Téquation (i) s'appliquera au corps entier diminué de la petite sphère, et l'équation cherchée sera la limite vers laquelle converge l'équation ainsi formée quand le rayon de la sphère diminue indéfiniment.

Considérons successivement les quatre intégrales.

Puisque dans rinlérieur de la petite sphère ou a

il en resuite que la somme — -- H — 7— H — -— est identi- » dx^ dy^ dz^

quement nulle dans toute Tétendue de la sphère; donc

l'intégrale

conserve la même valeur, soit qu'on l'éteude au corps-rentier, soit qu'on l'étendc au corps diminué delà sphère..^ Il en est de même pour l'intégrale

Car celte intégrale, étendue à la petite sphère, est égale^^ au produit du volume de la sphère, -^ tt^s*, par une valeur^-

inojenDe do produit

laquelle esl de mùmo ordre de grandeur que -» puisque

, //»V rf'V //»V . / . j !..

la somme — ; 1 — 1 — ■—- esl supposée lune dans I in-

ttr* iiY^ dz- * *

'^«"îeur de la sphère. Ainsi, rinlégrale en question esl un

inGnîmeut petit de second oidre qui disparait à la limite.

On voit encore de la même manière que l'intégrale

â^ dW

I V T~ '^^- étendue à la surface de la petite sphère, dis-

«. dM

Pat^aîl à la limite: car elle esl é;:ale au produit d*uoe va- ^^ur moycDDe de la quantité finie — par T intégrale infiniment pcaite / llds = - 47:c* = ^r.c. J ? '

rd\' V — ds^ étendue à la surface de

** sphère en tant que celle surface limite le corps *^ teneur, sa limite Cbl le produit de la \aleur V^ de 1^ fonction V au point O par la limite de rîulégrale