I -7- ds. Or on a

d^ dV^ 1

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P*** conséquent,

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lim. I V —— ds — ar. \\.

J dii

ïï'après cela, ré({uation (iK appliquée au corps eu-

lier, se change en celle-cî :

jétlraction. — Maintenant il nous est facile sondrc le problème suivant :

On donne une surface fermée et deux foncti V des coordonnées d'un point quelconque de V^ Ces fonctions satisfont aux trois conditions sui^^t 1^ elles vérifient les équations

dx^ d/' dz^ ' dx" dy^ ' dz*

2° elles ne dci^ienncnt jamais injinies ; 3° elles ncnt une même valeur C sur la surface donnée valeur commune poui'anf d^ai/lf^urs varier dUin j un autre ou rester constante. On demande de miner la densité que doit avoir en chaque pois couche infiniment mince et d'' épaisseur constatite cée sur la surface donnée, pour que le potentiel d couche soit égal à T par rapport aux points exté et soit égal à V par rapport aux points intérieui

Soit dn IV'Iément de la normale inlérieure à la ^ donnée qui a pour équation

et U le quotient de runilë par la dislance r à un point quelconque O.

Supposons d'abord que le point O soit intérieur à la surface.

Appliquons la formule (3) au volume intérieur, en considérant les fonctions U et V. U vient

Appliquons la formule (i) à Tospacc compris entre la surface donnée et une sphère décrite du point O comme centre, avec un rayon infiniment grand, en considérant les fonctions U et V. LiPs intégrales relatives k la surface ^^ Cette sphère disparaissent à la limite; car, sur cette «urface, la fonction U et le potentiel V sont des infini-

*"ent petits de premier ordre, les dérivées —•> — sont

^^ infiniment petits de second ordre, l'intégrale 1 ds est

'^'^ infiniment grand de second ordre, et, par conséquent,

^^ intégrales dont il s'agit sont des infiniment petits de

pï'eoiier ordre. Il reste donc, en nommant toujours dn

élément de la normale intérieure à la surface donnée,

Ajoutant ces deux dernières équations, il vient

dn tin

dx;

4ir

^ik Von voit que la couche de densité -, aura

^^n potentiel égal à \ ' sur tout point intérieur O.

36o MéCàNIQUE RàTlOlflfELLE.

Maïs, en outre, la même couche aara sur les points extérieurs un potentiel égal à V. Car, si Von suppose le point O à Textérieur, on obtiendra de la même manière les équations

d'où l'on tire

Ihi dn'

ds.

te problème est donc résolu.

Corollaire. — Considérons un cor*ps et Vune quelconque de ses surfaces de niueau. Soient V le potentiel de la partie du corps qui est in té Heure à la surface, et \' le potentiel de la partie du coips qui est extérieure à la surface. V équation de la surface de niveau sera

V H- V -- const. — A, ou bien V = A — V.

Si Von construit sur cette surface une couche dont Ic:^ densité soit

dV dW 1^ ^~d7

cette couche aura relativement aux points extériei^ w-^ un potentiel égal à V, et relativement aux points in^ ^5"rieurs un potentiel égal à A — V. Par suite, elle ex^^^^cera sur les points extérieurs la même action que ^ a partie du corps qui lui est intérieure^ et sur les poF^'M^ ts intérieurs une action égale et contraire à celle df^ Jo partie du corps qui lui est extérieure.

8. Ajoutons encore quelques propositions moins importâmes, mais qui donneront une idée plus complète des relations de forme et de position qui existent entre UD corps et ses coucKes de niveau.

Une couche de nweau a même centre de gravité que la partie du corps qui lui est intérieure.

Les axes principaux d^ in er/ie de la couche de niv^eau et de la partie du corps qui lui est intérieure, relatifs à un même point, ont les mêmes directions.

Si Von compare la différence de deux moments d*i' nerlie principaux de 'la couche et la différence des deux moments d* inertie principaux relafijs aux mêmes axes pour la partie du corps qui est intérieure à cette couche, on troui^e que ces différences sont entre elles comme la masse de la couche est à la masse de la partie du corps qui lui est intérieure ; en sorte que les trois différences des moments d^ inertie principaux autour des mêmes axes sont constantes pour toutes les couches entièrement extérieures au corps.

Considérons la partie du corps qui est intérieure à une surface de niveau choisie à volonté.

Soient :

m sa masse ;

V son potentiel par rapport à un point très-éloigné;

r la distance de ce point à la molécule dm'^

^tjfy 3 les coordonnées de la molécule dm par rapport • des axes rectangulaires, placés comme ou voudra à une dîaiance finie du corps;

<i la distance d(^ la même molécule à Torigine;

A la distance très-grande de l'origine au point attiré;

«, &, c les cosinus des angles que le rayon A fait avec *^» axes.

On a

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-H dbcjrz -h Zcazx -h 3fl6xy J -h . . .; et, par suite,

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