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-h 3/70 I JTT-rfw I -H....
Nommant V,, mj, or,, j,, «j, u^ les quantités analogue^^ à V, /?/, X, y^ z, u et relatives à la couche consiruit^^s
sur la surface de niveau considérée, on aura une exprès
sion de V, pareille à celle de V. Or (n** 6) Vt est égal .si
— V, quelle que soit la position du point attiré, pourv ^^x
qu'il soit extérieur à la couche 5 par conséquent on st cette seconde expression du potentiel V :
-h 36c I jrxZxdmx H- 3cfl I ZiXidnti
H- Zab I XxXxdm^ I -f-.
Ce» deux expressions doivent être égales, quelque petit (juc soît le facteur -; donc les cocfficicnls des mêmes puissances de -sont égaux, et cela pour tout système de valeurs attribuées aux cosinus a, (, c.
Si Ton fait deux des cosinus égaux à zéro et l'autre égal
à Vunité, et que Ton égale les termes en — dans les deux expressions, il vient
— 1 zdm r- — '/ z^diiiy ;
c est-à-dire que la couche et le corps ont même centre de g**aviié.
Si l'on fait « = o, i = 4, c = v i — A' , et que l'on égale
'^s termes en -z-, il vient A"*
-^ j[u^ — 3z^)dm-h3b' I (x' — z')dm-^6b\/i — b' ifzdm — ^ f— f{u]-3z])fim,-h3b' I (j-i-.z])dm,
-{-6b\Ji— b' j )\z,dm^ .
^^*lte égalité devant avoir lieu pour toute valeur de b în- *^Heure à Tunité, il faut que Ton ait séparément
— / jrzdmzzz — 1 x,z,dm,, ^ première égalité et les deux égalités semblables mon-
trent que, si les axes coordonnes sont les axes principaux d'îneriîe de la couche relatifs à Torigine, ces mêmes axes sont aussi les axes principaux d'inertie de la partie du corps qui est intérieure à la couche.
Admettons qu*il en soit ainsi. Alors la seconde égalité exprime que les difl'érences des deux moments d'inertie principaux autour des axes des z et desj^, pour la couche et pour la partie du corps qui lui est intérieure, sont dans le rapport des masses correspondantes.
0. Jusqu'ici nous avons toujours parlé d'attraction. Mais les théorèmes subsistent évidemment, quand i'atlrac- tion est remplacée par uRiî répulsion proportionnelle à la ^ masse et en raison inverse du carré de la distance. Ils" <^
subsistent encore, si le corps' agissant est composé de mo-
lécules, les unes douées d'un pouvoir attractif, les autres .^ss douées d'un pouvoir répulsif; pourvu que Ton rpgardp» i
comme négatives les masses des molécules douées de ré
pulsion. Seulement, il faudra joindre aux théorèmes cett^^^ condition, que les surfaces de niveau considérées soien ^t fermées, ou, ce qui revient au même, que ces surface* — :=$ n'aient pas de nappes s'étendant à l'inGni. Car le potentiel V ayant alors des éléments positifs et négatifs, cetl^^:e condition ne se trouvera pas nécessairement satisfaite pi^^r toute surface de niveau.
Cette généralisation est nécessaire pour faire servir 1 ^5 propriétés des couches de niveau aux problèmes que no "mu présente la théorie de l'électricité.
Considérons un corps bon conducteur, qui a reçu imne certaine quantité d'électricité positive ou négative, et cj ui est plongé dans une substance non conductrice, Tair sec par exemple. Cette électricité peut séparer une partie des fluides qui sont n l'état de combinaison dans le corps ; mais cela ne change pas la quantité totale d'électricîcc
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libre, estimée en considérant Tun des fluides comme positif et l'autre comme négatif. Finalement, Vélcctncilê libre doit se distribuer rie manière qu'elle n'exerce aucune ac^ lion sur les points intérieurs au corps ; sinon elle décomposerait encore du fluide i-ombiné. Il s'ensuit que le potenûel Y, relatif à Taclion du fluide libre sur un point (Xyjy, z) intérieur au corps, reste constant quand on fait varier les coordonnées de ce point. Par suite, les
r/'V d^y d^\ dérivées -r-r' -rr' "tt sont séparément nulles pour les dx^ liy^ dz^ *^ *
points intérieurs. Or on sait que, si Ton représente par
p la densité du fluide au point (a:, j. z), on a Téquation
rf^V d^V d'\ ,
dF'^^'^T^^'^^''^'^
donc p est nul, c'est-à-dire que Icjluide libre se porte iout entier à la surface du corps.
On peut considérer ce fluide comme formant intérieurement à la surface du corps une couche inflniment mince, d^épaisseur constante et de densité variable. L'action du fluide est nulle sur la surface interne de cette couche-, car cette surface peut être considérée comme' intérieure au corps, en vertu de la loi de continuité. Mais l'action Q^est point nulle sur la surface externe-, elle y est détruite >ar l'action de l'air qui s^ oppose à la sortie du fluide, ^^air ne met aucun obstacle au déplacement du fluide sur a surface concluctrice du corps 5 c'est-à-dire que son acicn est normale à cette surface. Il en est de même de action du fluide qui lui fait équilibre. Par conséquent, 'M surface du corps est une surface de niweau relative- •eut à r action du fluide.
Considérons une petite surface fermée, qui se compose tiD canal inûiiiment étroit, normal à la surface du corps, des éléments superflciels découpés par ce canal sur
les deux surfaces de la couche. Si nous appliquons le théorème du n° là celle pelile surface fermée, en observant que Taclion normale est nulle sur la surface interne de la couche et sur les parois du canal, nous irouvons que Faction exercée par le fluide sur rélémenl âî la surface du corps est égale au produit de 4^ P^i* I' masse du fluide compris dans rélémenl de volume considéré. Ainsi, en tout point de la sut face du corps, la densité de la couche est pmportionnelle à V action du fluide sur ce point.
Nous pouvons en conclure que le fluide électritjue forme à la surface du corps une couche de nivfeau rek' tix^cment à sa propre action.
Rien n'empêche de supposer que le corps conducteur soit formé de Tensemble de plusieurs masses conduclrices, mises en présence dans un milieu non conducieur, chacune de ces masses ayant reçu une quanti lé donnée d'électricité et agissant par influence sur les autres. Dansce cas, la couche formée par le fluide sur chacune des masses sera une couche de niveau relalivcmeni à raciion du fluide répandu sur loules les masses -, le potentiel relatif à Taciion de toul le fluide restera constant sur lous les points de la surface -de chaque masse, mais sa valeur pourra changer d'une masse à une au ire.
10. // ny a quun seul état d'équilibre possible pour le fluide électrique réparti sur un système de corps con' ducteurs A, B, . . . , C, mis en présence les uns des aatrei dans un milieu isolant, chacun de ces corps ayant reçu une quantité donnée d'électricité positive ou négative*
Eu effet, supposons qu'il y ait deux élals d'équilibre; et soient a, &,..., c, et a', i', . . ., c' les fondions des coordonnées qui, dans ces deux états, représenient ^ chaque point le produit de l'épaisseur de la couche parU
site du fluide, la fonction a se rapportant à la sur- A, la fonction 5 à la surface B, etc. Les fonctions .«'=«, b — i' = J3, . , . , c — c' ^=zy répondront néairement à un troisième état d^équilibre^ caries noues couches, qui sont, pour ainsi dire, la différence de K couches de niveau, seront évidemment elles-mêmes couches de niveau. Mais, dans ce nouvel état, la quantotale de fluide libre sera nulle pour chacun des corps. sous allons montrer qu'un tel état d'équilibre est im- NJble.
oient X, y, z les coordonnées d'un point eictérieur corps du système, et V le potentiel relatif à l'action eut le fluide sur ce point. On a
llîpliant par Vdxdjdz, et intégrant en étendant tégration à tous les points de l'espace extérieurs aux ps, il vient
dx
ydxdy -— • dzzziiOy
bien, à l'aide d'une intégration par parties,
-///[(sy-(ï)'-(^:)>*-»-
Dans cette équation, les trois intégrales doubles s'éten-
U, d*une part, aux points situés à l'iniiaî, d'autre part
t points situés à la surface des corps A, 6, . . ., C. Mais
parties de ces intégrales qui embrassent les points
S6S mécahiqub RATionirBLLB.
situés à Tinfini sont nulles, car pour ces points le potentiel V est nul. Montrons que les mêmes intégrales font encore une somme nulle quand on les étend à la surface de Tun quelconque des corps.
Considérons le corps A. Soit ds Télément de sa surface, dont les projections sur les plans coordonnés sont dydz^ dzdx, dxdy\ et soient A, fx, v les angles que la normale â cet élément fait avec les axes.
Observant que le potentiel Y est constant sur tous les ,^ éléments de cette surface, nous pourrons écrire la somme^^ dont il s'agit sous la forme suivante,
,r r/'^V , r/V dV \ ,
V I ( —r- cosX H — -- cosa H cosv ) ds,
J \dx dy ^ az j
La quantité comprise sous le signe f exprime ractio^— ^^
normale du fluide sur l'élément ds\ par conséquent eL est égale à 4^<x ^^^ et Tintégrale se réduit a
