FLUIDES INCOMPRESSIBLES
Soient p la dtmsilé du liquide supposé homogène, z Ja distance de rélémeni de surface ch au-dessous du nive^i/ supérieur du liquide, et p^ la pression qui s'eiLcrce au nîveau supérieur sur l'unité de surface.
La pression sur Télémmi ds^ rapportée à Tunité de surface, sera
On peut toujours supposer nulle la pression p^^ en imaginant qu'on ait élevé le niveau du liquide d'une hauteur convenable. La formule devient alors
Elle donne lieu à plusieurs théorèmes d'une grande simplicité.
HYDROSTATIQUE. iy5
1° La pression totale exercée sur une sur/ace quelt^onque est égale à la pression qui serait exercée sur une aire égalc^ prise dans le plan horizontal qui passe au centre de gravité de la surface. La pression exercée sur Tunilé de surface de ce plan fictif est la pression 9n<yyenne sur la surface donnée.
2^ Considérons une surface plane plongée dans un liquide^ el soient x^j les coordonnées de l'élément ds par rapport à deux axes quelconques tracés sur cette surface. Les coordonnées du centre de pression seront (A)
i xzds j yzds
j zds I zds
Si Taxe des y coïncide avec la trace du plan considéré sur la surface libre du liquide, z sera proportionnel à x^ et l'on aura
/ xds j xds
Quand on suppose les axes rectangulaires, ces formules montrent que le centre de pression coïncide avec le centre de percussion de la surface ^ considérée comme une lame homogène libre de tourner autour de son infersection avec la surface du liquide.
3® La pression rapportée à Tunité de surface étant constante sur un même plan horizontal, il s'ensuit que les pr'essions élémentaires exercées sur une surface comprise ^nire deux plans honzoniaux ont toujours une résultante verticale, pourvu que la surface considérée et les ^^f^ plans qui la limitent forment une surface fermée, ^^^, dans ce cas, prenant les axes des x et des y dans un
plan horizontal, on a (p. 3 12, théorème I)»
j p cos ( NX ) r/j =: o , \ p cos ( NY) f/f 3= 0 ;
d*ailleurs, chacune des intégrales
I x/?cos(NY)^.y, I j/9C0s(NX)rff
a ses éléments deux à deux égaux et de signes contraires;; par suite, l'équation (D) est identiquement satisfaite.
Si la surface considérée n'est point fermée par les deui plans horizontaux, les pressions qu'elle éprouve ne seront pas toujours réductibles à une résultante unique^ ^
Slevin (*) parait être le premier géomètre qui ait entre
pris de déterminer la pression totale d'un Uuide sur l^=s surface d'un corps immergé. Il démontra le paradoxe hy — drosta tique, d'après lequel un fluide peut exercer une pression beaucoup plus grande que son propre poids^ il fui aussi le premier à considérer le centre de pression ; inaÎ5 l'imperfection de l'analyse ne lui permit pas de déterminer ce point pour d'autres surfaces que celles des polygones.
Herman (**) et Cotes (***), pourvus de méthodes plus puissantes, déterminèrent le centre de pression d'un grand nombre de surfaces. Le dernier compara la pression totale à la pression exercée dans le plan horizontal du centre de gravi té, et signala l'identité du centre de pression avec le centre de percussion,
\ . Dans quelle position fautait maintenir une demisphère creuse^ fermée par un plan, et exactement rem-
(*) Œuvres mrtihomaiiqucs de Simon Stevin, do Bruges, publiées par Albert Girard, t. IV; Leyde, i634.
(** ) Vhoiononiia, p. \f\\\ 1716.
(**■) llyilrostatical and Pneumatical Lectures, p. 87 et ^o de la Iroisièmo édition. La première édition parut en 1737. «
. HYOB051\iLTIQUE. ZjJ
plie à* un liqui^, pour que la pression exercée sur la surface entière du vase soit un maximum.
Nommons r le rayon de ];i sphère, et 0 Tangle que l'axe <iu vase fait avec la verticale.
Admettons d'abord que la paroi plane soit au-dessus de la paroi sphérîque.
L'aire du couvercle est Tir', la distance verticale du œntre de gravité de cette aire au point le plus élevé du liquideestrsind^doncg^pTrr' sin0 est la pression exercée sur le couvercle.
L'aire de la surface courbe est îinr', la distance verticale de son centre de gravité à la surface supérieure du liquide est
rsinô H — cosO;
donc la pression exercée sur la surface courbe est
igpnr^ sinO -+- gpnr^ cosO, et la pression totale
gpnr^(3 sinO -f- cosO).
Lorsque cette quantité est un maximum, on a
3 cosO — sinô = o, ô = arc tang 3.
Quand la paroi plane est située au-dessous de la demi- 'ptère, la pression exercée sur ce cercle ne varie pas avec ' ^^clinaison de l'axe, la pression exercée sur la paroi ïOiurbe augmente avec cette inclinaison. La pression ^^le atteint son maximum lorsque Taxe est horizontal, '^ ^e la paroi plane est verticale.
2, Des masses égales de liquides différents sont su- ^^rposées en couches horizontales dans un vase cylin- ^'^^jue dont Vaxe est vertical. Comparer entre elles les
378 MÉCANIQUE HATIOMNELLE.
pressions que ces diffèrenies masses liquides exercent si la sur J ace latérale du vase.
Soient /D], p,,..., |9„, ..., les densités des diffëren liquides, en commençant par le liquide supérieur; a Af , . . . , /7„, . . . , les épaisseurs des couches respectives /• le rayon intérieur du vase.
Considérons la «'*"*' couche. La pression p^ qui s^exen au niveau supérieur de cette couche sur l'unité de sui face est donnée par la formule
La pression totale que cette couche exerce sur la paroi i vase est
OU bien, d'après la valeur précédente de p^^
^g''Pi
Il en résulte que les pressions exercées sur la surfai
du cylindre par les couches successives sont entre ell
comme les nombres
3. On suppose une porte d'écluse formée d'un rei t angle ABCD et d'un quart 1 cercle ABE, séparés par un où vertical AB, autour duquel porte peut tourner libre md d^une seule pièce. Trouver largeur KD que doit avoir le rt tangle pour que récluse s^out^ sous le moindre ejfort quand Veau affieure la ligne DA"
Soient a le rayon du cercle, b la largeur inconnue du rectangle, x la dislance d*un point de la porte à Taxe A6, et^ la distance du même point à Phorizontale DAE.
Les pressions exercées sur le quart de cercle et sur le rectangle doivent avoir des moments égaux par rapport à Taxe AB. De là résulte Téq nation du problème :
I I jrytlxdy z= j 1 xyrijrf/y,
J%% Jo Jo . «/o
Eflfectuaiit les intégrations, il vient
a* nUf' , //
^ on i = ~.
4. Un cône de révolution SA A', ouueit par sa hase, est fT abord maintenu tout à fait rempli d^un liquide, puis on Vincline d\tn angle donné.
Quel est le volume du liquide qui s^ écoule, et quelle est la pression que le liquide restant exerce sur la paroi ?
Prenons pour plan de la (î- / / gure le plan vertical qui con-
^ ^ tient Taxe du cône quand ce-
^ lui-ci est incline.
Soient a Fangle des génératrices du cône avec Taxe, -''le rayon de la base et jS Tinclinaison de Taxe sur l'horizon.
Le volume du liquide écoulé est égal au volume de la partie du cône qui est découpée par un plan horizontal ABA^, passant à l'extrémité inférieure de l'ouverture. Le volume total du cône droit est
— Trr' cota.
38o MÉCANIQUE lllTIONMELLE.
Le volume du cône oblique SAA^^ est le produit de l'aire de Tellipse ABÂ'^ par le tiers de la hauteur AH. Si nous appelons V ce volume^ C le centre de Tellipse et CA, CB les deux demi-axes de cette courbe, nous aurons
Or
V — ^aU.ttCA.CB,
AH = SAsin(B — a):rrr^î^î-^ê ^,
^'^ sina
-— - I cosa
CA = - AA ' =: r
sin(P -ha)
Pour calculer CB, nommons A" A'" le diamètre de la sec — tion droite qui passe au point A^, et considérons la scctioi^ droite faite par le point C. Le diamètre de cette section^ qui est situé dans le plan de la figure, est une parallèle sà la base A A' du triangle AA'A^^, menée par le milieu C du côte AA''. Ce diamètre est aussi une parallèle à la base du triangle AA^A''', menée par le milieu de l'un des côtés. Il s'ensuit que ce diamètre est divisé au point C en
deux segments respectivement égaux à -AA' et- Â''A*.
Le demi-axe d'ellipse CB est une ordonnée de la section circulaire, élevée au point C sur le diamètre considéré. Nous avons donc
CB =7.AA'.A"A'^:=r-rA^A''
= L rXÂ^ ^^n{p-a) ^ ^^ sin(p~a) 2 cosa sin(P -f- a)
D'après ces valeurs, il vient
sin*(p-f-a)
HTDmOSTATIQDE. 38 1
P^r suite, le volume du liquide écoulé est
1 3 r sin^fp-a)!
•^irr'cota I i j—^ !•
L SiV(p-4-a)J
Le volume V peut s'exprimer sous une autre forme, <]ui met en évidence une propriété du cône. On a
sina' SA *»n(P ^-«)* et si l'on nomme T la surface du triangle ASÂ^'^,
T=:SÂ.Spsinacosa.
En vertu de ces relations, la formule (i) peut s'écrire
V=rl,rtang^a.T^
On voit que la surface du triangle ASA" reste constante <|uand on fait varier rinclinaison du vase, pourvu que le volume du liquide contenu reste le môme. Or, c'est une propriété bien connue de l'hyperbole, qu'une tangente mobile et les asymptotes forment un triangle dont Taire est constante. On en conclut que, si Taxe du vase tourne dans un même plan vertical, tant qu'il nVst point répandu de liquide, le niveau dt; celui-ci, A A", dans son mouvement relatif au vase, enveloppe une hyperbole qui a pour asymptotes les génératrices du cône SA, SA'^
Passant aux volumes, nous avons ce théorème : L'enstoppe d\tn plan^ qui découpe dans un cône un i^olume constant, est un hjperboloïde de rci^olution qui a le cône pour asymptote.
Il nous reste à calculer la pression du liquide sur le cône oblique. Nous prendrons pour élément de surface le petit triangle compris entre deux génératrices iufiuiment
38a MÉCANIQUE RITIOMKELLB.
voisines. Soit ds cet élément; la distance de sonceoirede gravité a la surface libre du liquide est ^ AH, et la pression qu'il supporte est
Cet élément peut être considéré comme la base d*un tétraèdre qui aurait son sommet au point (y, où le niveau du liquide coupe Taxe du cône, et serait rélément de volume du cône oblique. La hauteur de ce tétraèdre est SCsina, par conséquent son volume a pour expression
dV='
v-SO'sinar/.ç (♦).
Il en résulte que la valeur de la pression exercée sur l'élément ds peut s'écrire
\so'J
' suix ' sina
La pression totale est donc
sm ^ , ^ sm a
( *) On peut reinarqiior que celle é<|ualiun, jointe à Tcxpression du vclumo V, permet de culculcr aisêmenl lu surface s du cdiio oblique SAA*. En cflel, elle donne d'abord
SO' îiin a et, comme
î>0 siii y. — G A sin ( 5 — y. ) = r J- ^ ,
•in;3
on n
:isifi,.3 v sin (3 — a) r
bien
I cosasinfi sin' (6 — a)
sm' (p-f-a)
5. On suppose un vase hémisphérique ^ dont la paroi formée de trois triangles tiirectangles juxtaposés^ et enus chacun par un Jil attaché en un point de la sur- ?e. Quelles doivent être les tensions et les situations ces Jils pour que le vase ne se divise point lorsquil exactement rempli d*un liquide, et que d'ailleurs les ^érentes pièces de la paroi ne sont nullement près* s Vune contre l'autre? On négligera le poids du Fe-
-a question revient à déterminer en grandeur et en action la résultante des pressions exercées sur l'un des ngles sphériques. Cette résultante existe; car, si Ton igine un vase qui soit formé de Tun de ces triangles et leux plans verticaux joignant les deux côtés du trile, les pressions exercées sur les deux faces planes de vase admettront une résultante unique ainsi que les ssions exercées sur la surface entière.
Prenons l'origine des coordonnées au centre de la ère, le plan des xy à la surface du liquide et les axes igés vers les sommets du triangle irireciangle. Soient r rayon de la sphère, 9 l'angle «[u'un rayon fait avec plan horizontal, et (p Tangle que la projection de ce 'On sur le plan horizontal fait avec Taxe df^s x. L'élément de la surface sphérique sera rrf0.rcos9 ^/(p, distance à Ja surface libre du li([uidc sera rsinO^ et le ^OQ mené à cet élément fera, avec les axes des x et des des angles qui auront respectivement pour cosinus iôcosç et s'iwQ, D'après cela, la tension du fil aura pour composâmes,
384 MÉCANIQUE aiTIONMBLLB.
suivant les axes,
X=iY = gpr* f j cos»0sin9cosçcl9rf^
Jo Jo
Zii^^pr* 1 / cosOsin^Oe/e^/f, */o Jo
^gpr' J d.sin'Q='^gpr'i
et la tension du fil sera,
En vertu de la symétrie de la figure, la résultante des pressions doit èlre située dans le plan bissecteur de Tangle dièdre formé par les deux plans coordonnés verticaux. Ainsi, pour déterminer la direction de cette résultante, il nous suffira de former la première des équations (C)- Nous abrégerons ce calcul en observant que la pressioOrésultante passe nécessairement à Torigine des coordoo'^ nées, puisque toutes les pressions élémentaires sontdirS'^ gées vers ce point. Il s'ensuit que le second membre i^ Téquation dont il s'agit est identiquement nul. Dès lor^ nous trouvons de suite
Le fil qui soutient le triangle est donc dirigé suivant I
HTDR08TÀTIQVE. 385
droite représentée par les équations
or = r =: — «.
6. Parmi tous les vases de réi^olutîon autour d'un axe vertical^ de hauteur et de capacité données^ quel est celui qui éprouife la plus grande pression horizontale de la part du liquide qui le remplit?
Soient h la hauteur du vase, c' sa capacité, z la distance d'un élément de la surface au niveau supérieur du liquide, et r la distance de cet élément à Taxe de révolution.
La somme des pressions horizontales élémentaires est égale à
11 s'agit de trouver la valeur de r en fonction de z qui rend cette intégrale un maximum, tout en vérifiant la condition relative au volume
ir \ r^dz — c".
Soient V la quantité comprise sous le signe / dans rintégrale quMl s'agit de rendre un maximum, et \' la quantité comprise sous le signe I dans Tintégrale qui doit rester constante. Le calcul des variations nous appi*end
d\* dW
que le rapport des dérivées partielles --7- » — doit être
constant^ ce qui nous donne la relation
€^ désignant une constante.
IL 3* hdit. a5
384 MÉGANIQUE HATIONMELLB.
suivant les axes.
X~Yi=^pr» / / cos^GslnGcosf dG</f
Jo Jo et la tension du fil sera,
ÏLn venu de la symétrie de la figure, la résultante des pressions doit èlre située dans le plan bissecteur de Tangle dièdre formé par les deux plans coordonnés verticaux. Ainsi, pour déterminer la direction de cette résultante) il nous suffira de former la première des équations (C). Nous abrégerons ce calcul en observant que la pression résultante passe nécessairement à Torigine des coordon* nées, puisque toutes les pressions élémentaires sontdiri" gées vers ce point. Il s'ensuit que le second membre à^ Téquation dont il s'agit est identiquement nul. Dès lo^ ^ nous trouvons de suite
Le fil qui soutient le triangle est donc dirigé suivant
HTDROSTÀTIQVE. 385
Iroite représentée par les équations
or = r =: - «.
6. Parmi tous les vases de réi^olution autour d'un 2Xe vertical^ de hauteur et de capacité données^ quel 5J£ celui qui éprouve la plus grande pression horizontale ie la part du liquide qui le remplit?
Soient h la hauteur du vase, c' sa capacité, z la distance d'un élément de la surface au niveau supérieur du liquide, et r la distance de cet élément à Taxe de révolution.
La somme des pressions horizontales élémentaires est égale à
iifgp I zrtlz»
11 s'agit de trouver la valeur de r en fonction de z qui rend cette intégrale un maximum, tout en vérifiant la condition relative au volume
Soient V la quantité comprise sous le signe / dans
Tîntégrale quMl s'agit de rendre un maximum, et V la
quantité comprise sous le signe I dans l'intégrale qui doit
rester constante. Le calcul des variations nous appi*end
que le rapport des dérivées partielles --j- > — doit être
c^onstant^ ce qui nous donne la relation
ca désignant une constante.
IL 2* ÉDiT. a5
386 MÉGÀIVIQUE BÀTIOHHELLE.
Ainsi, la surface du vase est celle d'un cône dont la pointe est en haut.
Il reste à déterminer la constante a par la condition relative au volume.
Nous avons
trfl-
'X*'"^='^' d'où . = y/lj.
Par suite, la hauteur du cône étant h et son volume c', le rayon de la base estr l/- t*
7. On suppose une membrane sans poids ^Jlexible et — inextensible y découpée en forme de rectangle. Deux bords opposés sont maintenus parallèles dans un mémes^ plan horizontal, sans être assez écartés pour que Um^ membrane soit tendue^ les deux autres bords sont exac— tement joints contre deux plans verticaux, sans qud y ait adhérence] et toute la cavité est remplie d^un liquide en équilibre. On demande quelle forme affecte la mem' brane,
La surface qu'il s'agit de déterminer est évidemment une surface cylindrique. Il suffit de délermine^ l'intersection de cette surface par un plan vertical perpendiculaire aux arêtes. Pour cela, nous pouvons nous borner à considérer la petite portion de surface qui est comprise entre ce plan et un plan parallèle infiniment voisin, car cette partie de la surface n'éprouve aucune action de la part des parties adjacentes.
Deux coordonnées nous suffisent. Prenons Taxe des x k la surface du liquide, et Taxe des y dirigé de haut en bas. Nommons p la pression rapportée à l'unité de surface qui s'exerce sur F élément de la membrane dont les coordonnées sont x ei y^t la tension en ce point, r le
BTDK08TATIQUB. 387
rayon de courbure de la courbe au même point, el s l'arc dk la courbe.
Nous avons
p = ^pri
et (tome I, page i64),
d'où
Bemidaçant r par sa valeur ^ : -^, dans laquelle 5 est
la variable indépendante^ et nommant a* la constante —,
il vient
dx , d'x -^ ds ds'
L'int^rale première de cette équation est
on bien
^ représentant une constante.
La courl>e formée par la section droite de la membrane le nomme lintèairt; son équation diflerentîelle est la mime cfue celle de la courbe élastique. Elle a été trouvée fear Jacques Bemoulli [*) en 1692.
8. Étant donnés un plan situé dans rintériewr d^mn *îg9ûde, et une droite H tracée comme on voudra sur ce
C*y Opéra, t. I, p. 490, etc. — Vuii aussi Jean Bouioclli, Q/fcrm, t. f, 43a; t. n, p. 95 ; t. UI, p. S12, etc.
388 MÉCÀHIQUE EÀTIOVHBLLE.
plan, déierminer dans le plan une courbe telle, que Vaire comprise entre la droite, la courbe et deux horizontales qui intcfveptent sur la droite une longueur donnée h, et qui sont d'ailleurs situées à une profondeur quel^ conque, éprouve la même pression qu^un parallèle ^ gramme construit dans le même plan sur la droite H et sur la ligne d'affleurement ai^ec les longueurs respeC' livres h et b.
Si Ton prend pour axes de coordonnées obliques \il droite H et Tintersection de la surface du liquide par le plan donné, on trouve que la courbe est Thyperbole représentée par Téquation
bh ^^ = T'
9. Une sphère creuse étant exactement remplie d'un liquide, on demande de tracer sur la surface un cercle horizontal qui la di\fise en deux parties supportant des pressions égales.
La distance entre le plan du cercle demandé et le sommet de la sphère est égale au côté du carré inscrit dans un grand cercle.
10. Un cube exactement rempli d'un liquide a Vune de ses diagonales dirigée suii^ant la verticale. Montrer que la pression exercée sur les faces inférieures est double de la pression exercée sur les faces supérieures.
1 1 . Une surface plane étant tout entière plongée dans un liquide, on mène par le centre de pression et par le centre de gratuité deux droites A et B, parallèles à la droite C suii^ant laquelle le plan donné coupe la surface libre du liquide. Montrer que le produit des distances de la droite B aux deux droites A et C reste consttmt quand le nii^eau du liquide s* élevé.
HYDB05TATIQUE. SSq
On Yoît sans peine que le produit dont il s'agit est ^al au carré du rayon de giration de la surface immergée par rapport a la droite B.
i2. On suppose un vase homogène^ de poids connu, qui a la forme dCun ellipsoïde ouv^ert suix^ant un plan principal. Ce vase étant renversé sur un plan horizontal, on y introduit un liquide par une petite ouv^erture pratiquée au sommet. A quelle hauteur peut s^élex^er le liquide intérieur sans soulev^er le vase?
Soient p la densité du liquide^ Q le poids du vase, h la hauteur cherchée, et
Téquation de la surface interne, le plan des axes a^ b étant celui de la grande ouverture.
Ou trouve
i3. Démontrer les résultais suivants :
Pour un parallélogramme dont un des côtés est à la Surface du liquide, le centrée de pression se trousse sur la droite qui joint les milieux des côtés horizontaux, à une ^iistance dwcôté supérieur double de sa distance au côté ^9ijerieur.
Pour un triangle complètement immergé, dont le plan ^st vertical^ le sommet tourne vers le haut et la base horizontale, le centre de pression se trouvée sur la droite ^ui joint le sommet au milieu de la base. Si Von nomme c? la distance du sommet à la surface du liquide, h la hauteur du triangle, m la distance du sommet au milieu ^^ la base et x la distance du sommet au centre de
SpO MécAJraQTTB KATIOIVIIELLE.
pression^ on a
xz=.m -j-L -c~'
l^our un rectangle dont deux côtés sont vertùxaix e t gui est complètement immergé, si Von nomme a et b le -^s distances de la base supérieure et de la base inférieur^ -e à la surface du liquide, la distance du centre depressio^^^ n au nii^eau du liquide est
Pour un cercle dont le contour touche la surface ^^ du liquide, la distance du centre de pression au centre de
figure est égale au quart du rayon.
Pour un vase qui a la forme d'un cylindre circula^^mre droit j et dont Vaxe fait V angle ot auec la 'verticale , // l'on nomme r le rayon intérieur et c' le volume du Uqi^Êmde renfermé dans le vase, la distance du centre de pres^srion
sur la base au centre du cercle est égale à y— tangcc «
Pour Paire comprise entre une parabole, Vaxedtcla courbe et une ordonnée perpendiculaire située à la sur-' faxie du liquide, si l'on nomme b cette ordonnée et a la portion de l'axe immergée^ les distances du centre cEe pression à l'ordonnée et à l'axe sont respectivemer^X
-ia et -^6.
7 ib
Pour le secteur elliptique compris entre deux dem *'
diamètres conjugués a, J, dont le dernier est à la su^ '^'
face du liquide, la distance du centre de pression <
diamètre a, comptée parallèlement au diamètre b, i
% b, et la distance du même centre au diamètre 6, com^^P' tée parallèlement au diamètre a, est-^a.
HYDROSTATIQUE. SqI
SECTION IL
