FLUIDES ÉLASTIQUES
Dans les fluides gazeux^ dont la température est uniforme, la pression p rapportée à Tunité de surface est régie par les deux équations simultanées
dans lesquelles p est la densité, z la distance au-dessous d'un plan horizontal fixe, et A une constante qui dépend de la nature du fluide et de sa température. Si Ton fait
ces équations donnent
p=zp.C^'.
La constante po est la pression rapportée à Funité de surface^ ou la tension du gaz, dans le plan horizontal qui sert d'origine aux distances z.
Pour les fluides de la nature, le coefficient X est fort petit, en sorte que, si l'épaisseur z du fluide considéré n'est pas très-grande, on peut, sans erreur sensible, supposer le facteur e^' égal à Funité et, par suite, la pression p constante à toute hauteur.
Les formules précédentes résultent de la pesanteur des gaz et de la loi de Mariotte. On sait que la pesanteur de Taîr fut entrevue par Galilée, et démontrée, un an après sa mort^ par son disciple Torricelli, inventeur du baromètre (i 643).
1 . Un cylindre ^vertical, fermé par deux plans perpendiculaires à l'axe, est rempli d*un fluide élastique. Déterminer la pression totale exercée sur la surface latérale.
ig^ MÊCAIIIQUE AATIOHHELLE.
Soient h la hauteur du cylindre, c la circonférence de la base, p^ la tension du fluide au point le plus élevé, et z la distance d*une couche fluide au sommet du vase.
La pression cherchée est
Si }. est très-petit, et que h ne soit pas très-grand, on aura sensiblement
F = chp^.
2. On admet par approximation que la colonne atmosphérique comprise entre deux stations, situées à différentes hauteurs^ a partout même tension et même tenir pérature, moyennes arithmétiques entre les tensions et les températures aux deux stations. Ttx)uwer dans cette hypothèse la formule qui fait connaître la différence de hauteur entre les deux stations, quand on a obsen^ à ces deux points la hauteur de la colonne barométrique et la température. On ne tiendra pas compte de la dilor tation du mercure, ni de la capillarité.
Soient E la différence de hauteur des deux stations; T et H la température et la hauteur de la colonne barométrique à la station inférieure, t et A les quantités analogues observées à la station supérieure.
E sera: exprimé en mètres; H, h seront exprimés en millimètres; T, t seront des degrés centigrades,
La colonne de mercure, dont la hauteur est H — A, et la colonne d'air de même base, dont la hauteur est E, la
température et la tension > ont des poids
égaux. Leurs densités sont donc entre elles dans le rapport inverse des hauteurs.
BTDAOSTATIQCB. 3^3
La densité du mercure par rapport i Teau est i3,6.
Celle de Tair a la température o degré et à la tension
760 millimètres est, par rapport à l'eau, o,ooi3. A la
température et a la tension ? elle devient
o,ooi3
' i-l-o,oo3o7
De la l'équation
loooE i3,6 2X760/ ^^ T-hA
H — A o,ooi3 H-+-A V ^ /
On en tire, en nombres ronds,
E = .6oo5^îr.-.iiI±ill.
H -h AL 1000 J
Cette formule donne des résultats très-approchés lorsqu'il s'agit de mesurer des hauteurs qui ne dépassent pas 1000 mètres. Elle est due k M. Babinet (Comptes rendus de V Académie des Sciences; i85o).
3- Un cylindre circulaire droit , fermé par deux plans perpendiculaires à Vaxe, est rempli d^ un Jluide élastique dont la tension est la même à toute hauteur. Les parois du "vase ont partout la même épaisseur. On conçoit d*abord le vase comme formé de deux parties sjrmé^ triques par rapport à un plan mené suiv^ant Vaxe; puis >i» conçoit le même vase comme formé de deux parties fui se joignent sur un plan perpendiculaire à Vaxe, Il f^agit de calculer, dans ces deux hypothèses, r effort ^apporté à V unité de surface qui s* exerce sur les faces rie joint des deux parties et tend à les séparer.
Soient r le rayon du cylindre, /sa longueur, e l'épaisseur de la paroi et ^ la tension du fluide.
3g4 MÉGÀKIQUB EÀTIOKIVELLB.
Dans la première hypothèse, la pression qoi s'exerce sur chacune des deux moitiés du vase, estimée perpendiculairement au plan de symétrie, a pour valeur arlp^ d'ailleurs la surface de joint des deux moitiés dans le plan de symétrie est (2/+ 4'')£. Donc l'effort qui tend à séparer les deux parties, rapporté à l'unité de surface, est
Dans la seconde hypothèse, la pression qui s'exerce sur chacune des deux parties du vase, estimée parallèlement k l'axe, a pour valeur irr'/? -, la surface de jointes! 2 7rre. Par suite, l'effort qui tend à séparer les deux parties, rapporté à l'unité de surface, est
Si la longueur du cylindre est beaucoup plus grande que son diamètre, le premier effort est sensiblement double du second.
On peut conclure de ce calcul que, pour les chaudières à vapeur cylindriques y la chance de rupture est moindre dans le sens transi^ersal que dans le sens longitudinal.
HYDROSTATIQUE. SpS
