CORPS FLOTTAIÎT SUR VV FLUIDE INCOMPRESSIBLE

1. Déterminer les positions d'équilibre d^un prisme p. g droit, à base carrée, homo-

gène, quijlotte horizontalement sur un liquide^ une des arêtes étant située audessus de la surface.

Il suffit de considérer la projection du prisme sur UD plan^perpendiculaireanx arêtes.

Soient ABCD cette projection, A le sommet situé hors du liquide, QQ' la ligne de flottaison, F le milieu de QQ', G le centre du carré, et H le centre de gravité du triangle qui s'élève au-dessus du liquide \ on sait que ce point est situé sur la droite AF aux deux tiers de la longueur.

Le centre de gravité de la partie îmmei^ée est situé sur— la droite HG, car un corps quelconque et les deux parties qui le composent ont évidemment leurs centres de gravitt^ sur une même ligne droite. Il en résulte que dans les po — sitions d'équilibre la droite HG est verticale. Si donc nou—

BTomosTATiQUB. 3gy

menons par le point F une parallèle à HG jusqu^à la rencontre de la diagonale AC au point E, tous les points de cette parallèle seront à égale distance des points Q et Q'; en particulier, les distances EQ et EQ' seront égales dans les positions d'équilibre.

Nommons a le côté du carré, x la distance AQ, y la

distance AQ', et observons que AE est égale à - AG^ en

sorte que la projectiou de AE sur chacune des direc-

tions AB, AD est égale à ^a. La relation EQ = EQ'

pourra s'écrire

x»-I-AE — 2x*y a =zjr^ -h AE —ny-ray 4 4

ou bien

(i) (x— j)^a:-f-r — -ûj =o.

Telle est Féquation par laquelle nous exprimons que le centre de gravité du prisme et celui du liquide déplacé soDt situés sur une même verticale.

Soient a la densité du prisme et p celle du liquide. Nous exprimerons que le poids du liquide déplacé est égal à celui du corps entier, en posant

(2) pjja'-^^rj

: O-fl'

Cette équation, jointe à Tune ou à l'autre des deux équations

dont l'ensemble conslitme Téquation (i), doit nous donner ^^utes les positions d'équilibre.

398 MÉCANIQUE RATiairVBLLB.

Une première position d'équilibre nous est donnée par les équations (a) et (3). Les valeurs de a? et de j^ sonl les suivantes :

Comme, par hypothèse, or et ^ doivent être moindres que aj cette position n'est possible qu'autant que le rap-

or . I

port - est compris entre - et i •

Deux autres positions d'équilibre sont fournies par les équations (2) et (4). Ces équations donnent

d'où

Dans ces valeurs, les signes supérieurs se correspondent, ainsi que les signes inférieurs. Les deux positions symétriques qu'elles définissent ne sbnt possibles qu'au-

, or . 23 24

tant que le rapport - est compris entre — et y^-

Dans le cas où le rapport - est égal à ^9 ces posiûon^

se confondent en une seule qui rentre dans la soluti<»^

déjà trouvée. Dans le cas où le rapport - est égal â ^»

le prisme peut flotter en élevant hors de l'eau une i*^ latérale entière et la moitié de la face adjacente.

BossuT, Traité if Hydrodynamique f t. I, p. 178*

suppose un cylindre droit, dont la base a pour un arc de parabole et une perpendiculaire à cette courbe ; le corps n'est pas nécessairement

homogène y mais la densité est constante tout le long d'aune même parallèle aux génératrices. Il s'a* gitrde déterminer les positions d'équilibre de ce cylindre, lors»

{fû*il flotte horizontalement sur un li-

% élev^ant sa face plane tout entière au-dessus

5 suffit de considérer la projection BAC du cyr un plan perpendiculaire aux arêtes.

)mmet de la parabole;

a la portion de l'axe de la courbe qui est renans le solide ;

linaison de cet axe sur Tliorizon ; entre de gravité du cylindre :

k une perpendiculaire abaissée sur Taxe de la

h la distance du sommet au point F*,

oint de la courbe où la tangente est horizontale ;

y une perpendiculaire abaissée sur l'axe de la

= a: la longueur du diamètre mené par le point P a rencontre de la ligne de flottaison QQ^^ entre de gravité du liquide déplacé; iramètre de la parabole (l'ordonnée au foyer).

400 MÉCANIQUE mATIOHHELLB.

Les valeurs de or et de j^ déterminent la position da prisme*

Pour qu'il y ait équilibre, la ligne HG doit être verticale. Prolongeons cette ligne jusqu^à la rencontre de Taie au point G', et menons par le point P une parallèle qui rencontre Taxe au point E. LMdentilé