AM -+- ME -4- EG' = AF -4- FG
nous fournira une première équation d'équilibre, si nous y remplaçons les diverses longueurs par les valeurs qu'elles ont toujours lorsque HG et PE sont verticales.
Or, dans ce cas, les propriétés géométriques de la parabole nous donnent
AM = ^, ME=/?, EG' = PHi=|jr, 2p ^ 5
FG' = ifrtanrtG=r^-
donc
11 nous reste à exprimer que le poids du corps est égal au poids du liquide déplacé.
Soient <J la densité moyenne du corps et p la densité du liquide.
Le produit de a par Taire BAC doit être ^al au pro* duit de p par Taire QAQ' , c*esl-à-dire que Ton doit avoir
I (r«BC = I pxQQ' sin 0.
Remplaçant BC et QQ' sin 9 par leurs valeurs BC = 2 ^2jja , QQ'sinG = 2 V^2/?x,
1 Tient
ît, par suite, Téquation en y peut s'écrire
Ces équations (i) et (a) résolvent le problème. Elles loas montrent qu'il y a trois positions d'équilibre, ou lien une seule.
Dans le cas où le cylindre est homogène, on a
/• = o et A = ^ a ; ô
lors l'équation (a) se partage en deux équations
y = 0 et jr» — g;,al I — ^^j J -+- a;?* = o.
La première donne une position d^équilibre qui est ossible toutes les fois que la densité du cylindre est infrieure à celle du liquide.
La seconde donne deux positions symétriques, qui sellent impossibles si Ton avait
?>(-isf-
BossoT, Traité d^ Hydrodynamique^ t. I, p. 189.
3. Supposons un corps terminé par une surface con^ 'nue quelconque, et^ au trav^ers de ce corps, un plan écanl P qui se meut de manière à couper dans le corps m uolunie constant u.
1® Considérons le plan mobile dans une position bce P et dans une seconde position mobile P', voisine le la première. Quand le plan V se rapproche indéfi* II. «• *D«T. a6
niment du plan V y P intersection des deux plans converge vers une position limite qui passe par le centre de gravité de la section faite dans le corps par le plan P.
Nous le démontrerons en écrivant que la limite du rapport de l'accroissement du volume v^ à Tangle in6niment petit dO des deux plans, est égale à zéro. Prenons pour élément de volume un petit prisme élevé perpendiculairement au plan P sur Télément de surface da et terminé au plan P'. Nommons x la distance de l'élément dfj à l'intersection des deux plans. La hauteur du prisme sera xdQ] en sorte que, si nous convenons de compter la distance x positive du côté où le volume séparé v s'accroit, et négative du côté où ce volume diminue, le rapport de Taccroîssement du volume v à l'angle dO est
représenté à la limite par l'intégrale i xda, étendue a
toute l'aire de la section faite dans le corps par le plan P. Nous avons donc
Jxrf,
Cette équation exprime que l'intersection des deux plans dans sa position limite passe par le centre de gravité de la section.
2° Le lieu du centre de gravité du volume constant v ^
Fig. 80. séparé par le plan mobile V, et con zz-
sidéré comme un solide homogènes ■,
est une surface^ le plan tangent à cette surface est parallèle au plan P qui correspond au point de contac^s-t.
Soient PBQ le volume séparé [►«ar le plan P, et P' BQ' le volume éggai séparé par le plan P^ infiniment voisin du premier. Cc^iiservoDS du reste la notation de la question précéden
HYDROSTATIQUE. 4o3
Les volumes PBQ, P'B'Q' étant égaux, la distance de leur centre de gravité à un plan quelconque est proportionnelle à la somme de leurs éléments de volume multipliés par leur distance à ce plan. Nous nommerons cette somme le moment du volume par rapport au plan.
Si nous prenons pour élément de volume le petit prisme défini plus haut, le moment du volume PIKP' par rapport au plan P est représenté par l'intégrale
X^dtfy
étendue à Taire PIK. Le moment du même volume par rapport à un plan perpendiculaire, mené suivant Tintersection IK, est représenté par Tintégrale
r/ô / x^dfT,
prise dans les mêmes limites.
Les moments du volume QIKQ' relatifs aux mêmes plans s'expriment de la même manière, si nous convenons que les intégrales s'étendent à Taire QIK.
D'après cela, lorsque le plan mobile passe de la position PQ à la position infiniment voisine P'Q', le moment relatif au plan P du volume constant (^ séparé parle plan diminue de la quantité
i.//©^ Çx^do,
l'intégrale étant étendue à toute Taire PQ \ le moment du TYième volume relatif au plan perpendiculaire mené par l'intersection IK augmente ou diminue de la quantité
d^ \ x^dQ
l'intégrale étant pareillement étendue à toute Taire delà section PQ.
4o4 MÉCAlflQUB RATIOBIIBLLE.
Le premier accroissement est infiniment petit par rapport au second. Il s'ensuit que le déplacement du centre de gravité du solide m, estimé suivant une perpendiculaire au plan P, est infiniment petit par rapport au déplacement du même point eslimé parallèlement à ce plan. Ceci démontre le théorème annoncé. \
Il suit de ce théorème que, pour un corps flottant, il \ y a autant de positions d'équilibre qu'on peut abaisser de normales du centre de gravité du corps sur la surface qui est dans le corps le lieu du centre de gravité du liquide déplacé.
On peut dire encore que la condition d'équilibre d'an corps flottant est que la distance de son centre de gravité à la surface, lieu du centre de gravité du liquide déplacé, soit un maximum ou un minimum.
La détermination des positions d équilibre est ainsi ramenée à la recherche d'une surface. Donnons un exemple de cette méthode.
4. Troui^er les positions d * équilibre d^un prisme droit à base triangulaire^ qui Jlotte sur un liquide, V une de ses bases étant entièrement plongée^ et Vautre étant tout entière au-dessus du niv^eau.
Soient ABC la base inférieure^ PQR la section faite par le plan de la surface du liquide. Le volume du tronc ^r de prisme immergé ABCPQR reste le même dans toutes^^as
les positions d'équilibre; il est au volume du prisme en
tier dans le rapport de la densité moyenne du prisme en -
lier à la densité du liquide. Nous regarderons le volume» ^e du tronc de prisme comme connu, et nous le représente — > rons par v».
Considérons les troncs de prisme en nombre infini qi=ont la même base ABC et le même volume u que le tror de prisme immergé, et cherchons à déterminer la surfai
qui est le lieu des centres de gravité de ces difierents corps supposés homogènes.
Soient O le pied de la perpendiculaire abaissée du point B sur le côté AC. Prenons OA pour axe des Xy OB pour axe des j^, et une perpendiculaire dirigée dans Tin teneur du prisme pour axe des z. Représentons le plan variable de }a base oblique par Téquation
et nommons ^, iq, Ç les coordonnées du centre de gravité d^une masse homogène qui remplirait le tronc de prisme séparé par ce plan.
Ces coordonnées satisfont aux équations
PU
ïes intégrales s'étendant h toute la base du prisme.
Pour passer à une position du plan mobile infiniment Voisine de la première, il faut différentier les équations précédentes en faisant varier seulement a, b, c, ^, y], Ç. li vient
0= / 1 (xda -hfdb -{- dc)dxfljr,
çd^ =11 (xda -^xdb '\- dc)xdxdx^
çdïi =^ f j [xda -^ydb -{- dc)jrdxdjr,
ax-h bx -^ c) (xda -h jrdb -+- de) dxdf j
= 1 i (ax-^-by -hc)dxdx.
-^-by^c) xdxdy.
-\-by -h c)ydxdyy
%x -^ by -{- cydxdy
4o6 MéCANIQUE RATIONNELLE.
d'où l'on tire
(2) d};z=iadi-hbd7i.
Cette dernière équation exprime que la noimale enun point quelconque de la surface lieu des centres degranté est peipendiculaire au plan sécant qui répond à et point.
On a là une nouvelle démonstration du théorème précédent (3, 2^) pour le cas d'un prisme triangulaire. Cette démonstration vaut évidemment pour un cylindre de base quelconque. Elle est même au fond tout à fait générale; car, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur qui disparaissent à la limite^ on peut, dans le voisinage de la ligne de flottaison, remplacer la surface d'un corps flottant quelconque par une surface cylindrique, et considérer le volume immergé comme formé d'un cylindre et d'un autre volume qui n'atteint pas le niveau du liquide.
D'après cela, pour déterminer les positions d'équilibre d'un cylindre quelconque terminé par deux plans perpendiculaires aux génératrices, lorsque ce corps flotte sur un liquide dans lequel une de ses bases est cntièremeut plongée^ il suffit de déterminer les normales que l'on peut abaisser du centre de gravité du cylindre sur la surface lieu des points (Ç, r/, ^). Car le corps restera en équililDre toutes les fois que l'une de ces normales sera placée ^ver* ticalement, et que d'ailleurs le volume du liquide déplacé sera égal à v^.
Dans le cas du prisme triangulaire, si l'on pose
OAi=rA,
