OB=:B
HYDROSTATIQUE. 4o7
f Ç dxdy =^B(A — A,),
ffxdxdx = ^B(K*-A]),
fffdxdr=^B'(A-A.,),
C Çx'dxdjr = -^ B (A'- AJ),
jy*a:j.dirfr.-^^B»(A'-AÎ),
JJr'dxdjr = ^B'(A-A,).
Par suiie, les trois premières équations (i) peuvent s'écrire
a(A»+AA,+A;)a + B(A + A,)* + 4(AH-A,)c=— I^J^S,
{A-HA.)« + aB6 + 4' = g;^^i^j,.
On en tire les valeurs
, — B'(A-4- A,)-f-2B'Ç-hB(A^A,)n
a z=z zAç ^ i — t
^ BMA-A.)^
. , — B(A»-4-A;)-hB(A-f-A,)Ç-f-2(A»— AA.-f-Af)»ï
Substituant ces valeurs dans l'équation (a), intégrant^ et déterminant les constantes par la condition que, pour a = i = o, on ait
? = ^(A-f-A,)=Ç., n=^^Bz=n.y K=^' =^.,
^ ^ ^^i-BlA-A.)
4o8 MÉCANIQUE BlTIOHlIBLLE.
il vient
Telle est l'équation de la surface lieu des centres de gravité^ elle représente un paraboloïde elliptique^ car on a
[B(A-4-A,)p — 4B'(A^-AA|-f-A;) = -3B»(A — A,)S
quantité toujours négative. Ce paraboloïde a son axe parallèle aux arêtes du prisme; son sommet a pour coordonnées Çq, »q, ^q; la convexité est tournée vers la base immergée. Ainsi, la question est ramenée à déterminer les normales qne Ton peut abaisser d'un point donné sur une surface du second degré.
Si le centre de gravité du prisme entier est extérieur au paraboloïde, on ne peut mener par ce point qu'une seule normale à la surface ; il n'y a qu'une seule position d'équilibre. Si le centre de gravité est intérieur au paraboloïde, on peut mener par ce point une, trois ou cinq normales-, il y a autant de positions d'équilibre.
Si le prisme est homogène ou seulement composé de couches homogènes parallèles aux bases, le centre de gravité du prisme est situé sur l'axe du paraboloïde. Admet
tons, en outre, que le centre de gravité soit intérieur à^^ la surface; nommons c^ sa distance au sommet, et p^ p^ \ les paramètres des sectiofVis principales, p étant plus peti' ^t que Pi. Si l'on at â<Cp^ il n'y a qu'une seule positioi^K^ d'équilibre, le prisme doit être vertical ; si Ton ap<^}<^,^^B) il existe, outre la position verticale, deux autres posi^^-
tions d'équilibre, symétriques par rapport à l'un des plai 35
principaux; enfin, si l'on a J^pi, il existe, outre Zlâ position verticale^ quatre autres positions d'équilibi* ^,
HTDROSTATIQUB. 4^9
ox k deux symétriques par rapport aux plans princiax.
Dans le cas où la base du prisme est un triangle équiéral, le paraboloïde est de révolution. Alors, si le itre de gravité du prisme se trouve situé sur Taxe, dans Qtérieur de la surface, à une distance du sonmiet supé- ;are au paramètre de la courbe méridienne, il existe e infinité de positions d'équilibre autres que la position rticale, toutes également inclinées à Thorizon.
Dawidof, Journal de Crelle^ t. XXXVIII, p. i58; 1847.
5. Trouuer les positions d'équilibre d'un prisme droit, triangulaire, homogène, quijlotte sur un liquide^ les arêtes étant horizontales.
Soient d la densité du corps, p celle du liquide, ABC la section droite du prisme.
Il suffit de considérer le cas où l'un des sommets C est seul plongé dans le liquide (p. 396). Nommons D et E \ points où la surface du liquide coupe les côtés CA, CB. Pour que le prisme flotte en équilibre, il faut que ire du triangle CDE soit à Taire de la section CAB dans
rapport des densités -• La ligne DE assujettie à cette
nie condition a pour enveloppe une hyperbole, dont CA
CB sont les asymptotes, et qui touche la droite en son
ânt milieu.
Pour Téquilibre il faut encore que la ligne qui joint
} centres de gravité des deux triangles et^ par consé-
tent, la ligne parallèle qui joint les milieux de AB et de
£ soit perpendiculaire à DE.
La détermination des positions d'équilibre revient donc
4lO MéCÀHIQUE aÂTIONHELLE.
à mener d'un poinl donné des normales à une hyperbole. Si Ton nomme â, b^ c les côtés du triangle opposés anx sommets A, B, C, m la droite qui joint le sommet C au milieu de la base AB, a et |3 les angles que cette droite forme avec les côtés CA, CB, et que Ton prenne pour inconnues CD=x, CEr^j-, les positions d'équilibre seront déterminées par les deux équations
P x^ — 2mcosa.jr =/* — imco%^,y.
La première définit le volume immergé 5 la seconde exprime que le milieu de AB est à égale distance de D et de E.
L'élimination de j^ conduit à une équation du quatrième degré, dont le dernier terme est négatif. Cette équation a deux ou quatre racines réelles dont l'une est négative. Cette dernière doit être rejetée ainsi que les racines posi- ' tives plus grandes que b. Il s'ensuit que le problème admet au plus trois solutions.
Si nous supposons le triangle isocèle, c'est-à-dire a = A^ les équations précédentes deviennent
On y satisfait, soit en posant
= r^ay/i.
ce qui donne une position d'équilibre, soit en prena^ ni pour X elj les racines de l'équation du second degré
'Z-\ fl*= o.
Pour que les valeurs de x cl dej^ ainsi obtenues donnent
une seconde posidon d'équilibre, il esl nécessaire que les racines de cette dernière équation soient réelles et moindres que â, c^est-à-dire que Ton doit avoir •
v/-(f/>'>"\AH)
Quand le triangle est équilatéral, celte seconde solution deyient
Pour qu^elle convienne au problème, il faut que le rap-
^ cr . . 8 q
port - soit compris entre -rr et -^ •
6. Déterminer la position d^ équilibre d'un aube homogèney qui flotte sur un liquide^ en plongeant un seul de ses sommets.
Les portions d^arêtes qui sont immergées doivent avoir la même longueur; en sorte qu*il ne peut y avoir plusieurs positions d'équilibre.
Si Ton nomme a le côté du cube, a la densité du corps, et p celle du liquide, la longueur des parties d'arêtes immergées est
"(tT-
L'équilibre n'est possible, dans les conditions voulues, qu'autant que le rapport - est inférieur à ^*
7. Trois sphères de même rayon, rfiais de densités différentes, flottent sur un liquide en se touchant Vune Vautre, Quelle est V inclinaison de leur commun plan tangent sur la surface du liquide?
Si l'on nomme p la densité du liquide, r le rayon des
4ia MéCANIQUB RATIORIfSLLE.
sphères, a, a', a" lears densités, c, c\ c" les hauteurs de leurs centres au-dessus de la surface du liquide, et y Tinclin^ison cherchée, on trouve
3 r» sin»7 == c (c — c') -f- c' ( c' — r^ ) -f- c*' (c" — c) .
La distance c est déterminée par Téquation
4ffr»=ip(r— <:)»(2r-f c)\
les distances c', c" sont déterminées par des équations semblables.
8. Trois poids différents P, Q, "Rfont successiv^emetit équilibre à un cylindre homogène, qui est suspendu à Vextrémité d^une balance hydrostatique^ et plonge en partie dans le liquide. On demande de troui^cr une relation entre les poids P, Q, R et les distances correspondantes a, i, c de lu base immergée du cylindre à la surface du liquide,
La relation qui lie ces quantités est la suivante :
9. On suppose un cône droit^ homogène^ dont h sommet est fixé dans V intérieur d^ un liquide^ à une profondeur connue. Le cône peut tourner librement autour de ce point fixe y et flotte en élev»ant sa base tout entière au-dessus de la surface du liquide. Il s* agit de déterminer V inclinaison de Vaxe sur V horizon.
Soient h la distance du sommet du cône au niveau du liquide, / la longueur des génératrices, a Tangle des génératrices avec l'axe, a la densité du corps et p celle duliquide.
L'inclinaison jS de l'axe sur Thorizon est donnée pacr l'équation
ùh^ cosa , \ ,^ , . ï,n
10. On suppose une sphère creuse, de rayon exté^ rieur a, formée d'une matière homogètie de densité connue a. Cette sphère étant posée sur un liquide de den^ site connue p, Jlotte en plongeant le sommet inférieur de sa surface externe jusqu à la distance c du nii^eau du liquide. Déterminer le rayon intérieur a'.
On trouve
11. Une tige homogène, dont l'épaisseur est négli-' geable vis-à-vis de la longueur, est soutenue par un fil attaché à son extrémité supérieure, et plonge en partie dans un liquide, où elle se maintient dans une position inclinée.
Connaissant le rapport fi de la densité de la tige à celle du liquide^ il s'agit de déterminer le rapport n de la longueur totale de la tige à celle de la partie qui s'élèi^e au-dessus de la surface.
On trouve
Heeman, Phoronomia^ p. iSg.
42. Un plan mobile coupe dans un ellipsoïde homO" S^rMe un volume constant v. Démontrer que le lieu du ^^f^tre de gravité du volume v^ séparé par le plan sécant, «** la surface d^un ellipsoïde semblable au premier et ^^^9zblablement placé,
SECTION II
cûips SOUMIS À l'action d'un fluide élastique.
"t. On suppose un liquide homogène, de densité in- ^^nnue^ dont la surface est soumise à la pression aimo*
4l4 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
sphérigue, et un vase de poids connu p, à parois trèsminces, qui a la forme d^ un cylindre droit ouvert à Vune de ses extrémités.
On place ce vase sur le liquide en le maintenant dans une position verticale, l* ouverture tournée' en haut, et on le charge jusqu à ce que son, bord affleure la surface du liquide. Soit P le poids quilafallu ajouter.
Ceci fait, on retire le vase plein d'air à la pression atmosphérique^ puis on le pose sur le liquide en le maintenant dans uue position verticale , V ouverture en bas, sans laisser échapper T air quil contient, et Von charge '.
jusqu'à ce que la base affleure la surface du liquide. Soit i
Q le poids qu il a fallu ajouter.
On demande quelle est la pression atmosphérique.
Soient :
C7 la pression atmosphérique sur Tunité de surface-,
p la densité du liquide ]
h la hauteur extérieure du vase^
A l'aire de la base extérieure 5
P l'épaisseur du fond 5
a Taire de la section droite des parois latérales.
A — a sera Taire de la base intérieure.
La première opération nous donne la relation
Considérons actuellement le cylindre renversé, et soif ^oît X la hauteur extérieure de la partie du cylindre qui resLS' -^tc remplie d'air lorsque la base affleure la surface du Ir jS^ liquide. L'eilbrt de Tair intérieur pour soulever le vas ..mBse
est CF ( A — a) ^ \^j et la poussée du liquide agissant sw^
le bord des parois latérales est (gph -\-n) ûf\ Tensem de ces deux forces doit faire équilibre aux forcer
HYDROSTATIQUE. ^iS
tendent à enfoncer le vase. Donc
il) Q -hp -f- uA = ij(A — a) * ~" ^ -h {gûh -h cr)a.
Dans la même position, la pression de l'air intérieur sur le liquide en contact est égale à la pression du liquide sur la surface de cet air. Par suite, on a
(3) XJ'{-gpX=ZXS——j'
Les équations (i), (2) et (3) permettent de calculer la pression atmosphérique rapportée à l'unité de surface, en fonction des quantités p^ P, Q, A, a et jS.
Mais, par hypothèse, a et P sont de très-petites quantités; on peut les négliger sans erreur considérable. Alors, si deTéquation (2) on retranche l'équation
uA-f- iV-hp) Y=oA->
laquelle résulte des équations (i) et (3), il vient
q^p=:(V-hp)y
Briultî pliant cette dernière relation par Téquaiion (2), et mirant du résultat la valeur de C7, on trouve
Telle est, à très-peu près, la pression de l'atmosphère «ur Tuoité de surface.
2. Baromètre à balance du P, Secchi, — L'appareil se compose d'un tube barométrique suspendu à Textréxnité d'un levier de premier genre. L'extrémité inférieure du tube plonge dans une cuvette fixe et profonde, pleine
4l6 MÉCANIQUE KATIOHNZLLB.
de mercure, sans s'appuyer sur le fond da vase. Dans cette position, la force qui tend à abaisser le tube est égale au poids du mercure soulevé dans son intérieur au* dessus du niveau de la cuvette, plus le poids propre du tube diminué du poids du mercure déplacé par la partie du tube plongeant dans la cuvette. Un contre-poids, fixé sur la seconde branche du levier, fait équilibre à cette force. Comme cette force va ne avec la pression atmosphérique, rinclinaison du levier fait connaître à chaque instant la tension de l'atmosphère. On peut même disposer l'appareil de manière qu'un crayon, mis en mouvement par le levier , trace une courbe qui représente les variations diurnes de la pression atmosphérique; c'est là le principal avantage de ce nouveau baromètre.
Le tube peut avoir une forme quelconque; mais, afin d'augmenter la sensibilité de l'appareil, on fait le tube d'une largeur considérable dans la partie que baigne l'extrémité supérieure de la colonne mercurielle, et d'un moindre diamètre dans la partie qui descend au niveais^ de la cuvette. Alors, si la pression atmosphérique vienK. à augmenter^ la quantité de mercure soulevée dans 1^ tube et la force qui agit sur le levier augmentent non — seulement parce que la hauteur de la colonne baromé — trique est devenue plus grande, mais encore parce que, le tube s'étant abaissé, il faut une plus grande quantité de mercure pour former dans le tube une colonne de même hauteur.
' Étudier la relation qui existe entre la pression atmosphérique^ la position d'équilibre du levier et la forme du tube,
La partie du tube qui plonge dans le mercure de It cuvette sera cylindrique, tant à l'extérieur qu^à l'iota rieur :
c sera Taire de la section intérieure ;
c' i'aire de la section de la paroi solide.
La partie du tube que baigne Textréinitë supérieure de la colonne mercurielle sera terminée iotérieuremcnt par une surface de révolution autour de la verticale.
jr eij'(x) représenteront le rayon de cette surface; X sera la distance du rayon ^ au-dessus d'un plan horizontal, et fixe relativement au tube.
Soient encore :
zs la hauteur de la colonne barométrique ;
0 Fangle que fait avec la verticale ascendante la droite menée du centre de rotation du levier au point d'attache du tube ;
a la longueur de cette droite;
/ut le poids spéciGque du mercure;
c7o et 6o des valeurs particulières de c? et de 6 correspondantes a une même position d^équilibre choisie à vo-* lonté : je supposerai dans les raisonnements o plus grand que GTo, toutefois les formules seront générales;
P le produit du poids que supporte Taxe de rotation du levier, par la distance de cet axe au centre de gravité de la masse supportée, quand la hauteur de la colonne barométrique est u^ et que l'appareil est en éqitilibre : le tube et le mercure soulevés sont considérés ici comme une masse réunie au point d'attache sur le bras de levier;
Q' la quantité dont s*accroit le poids du mercure soulevé^ quand la hauteur de la colonne barométrique augmente depuis CTo jusqu'à n ;
Q la diminution de poids qu'éprouvent les parois du tube en s'enfonçanl dans le mercure de la cuvette, par suite du même changement de hauteur barométrique.
L'origine des distances x sera le plan horizontal pa*- H. a* ÉoiT. 27
4i8 MÉCANIQUE EÀTIOSIiELLE.
sant par le point du tube où se termine la colonne barométrique.
On supposera que le niveau du mercure reste codstant dans la cuvette.
Le tbéorème des moments donne Téquation d'équilibre
(i; Psin(0 — 9,)=:(Q' — Q)asinO.
Il faut calculer Q et Q'.
Quand la hauteur de la colonne barométrique augmente de n^ à cr, le tube s'abaisse de la hauteur
a{cosO — cosO,).
D'après cela, la hauteur de la partie supérieure du tube, primitivement vide, qui s'est remplie de mercure par l'efFet du changement de pression , est égale à
a (cosO — cos9o) -h cr — cr„
en sorte que, si l'on pose
(2) a(cosO — cosO,)=H,
le poids du mercure qui est venu remplir un espace pri
midvement vide dans la partie supérieure du tube ser- a représenté par l'intégrale
/» H -t- CT — w,
La quantité H est la hauteur de la partie inférieure * ^" tube qui a disparu dans le mercure de la cuvette j^^var l'effet du changement de pression atmosphérique. J.6 poids du mercure qui était primitivement soulevé d^amns cette partie du tube est égal à CfxH, et l'on a
[/(x)pdx-cftH.
HTDEOSTÀTIQDE. 4^9
[)'ailleur5, puisque Q est égal au poids du mercure dé- )lacé par les parois du tube qui se sont plongées dans le nercure de la cuvette, on a
;4) Q = c'ilEl = ac'^ (cosO — cos9,),
IX par conséquent (3), (4)9
— (c -+-r')afi(cos9 — ces©,).
Substituant cette valeur de Q' — Q dans la formule (i), Dn obtient Téquation explicite d'équilibre
Psin(e — e.)
. ^ +- (c -hcMiiafcosô— cos9.) [/(^)?dx.
[5) \ ^HH-a — w,
lans laquelle il faut concevoir que H soit remplacé par sa valeur (2).
L'équation (5) fait connaître la hauteur de la colonne barométrique t7, en fonction de Finclinaison 0 du levier, quand la forme du tube est donnée.
Si le tube est cylindrique dans sa partie supérieure, en nommant A l'aire de la section droite du cylindre interne, on aura
el l'équation (5) deviendra
iV P sin(0 — 0.) , / .X / . vl
A LflfA sinO ^ ^ 'J
La dérivée . °*^ s'annule pour Tangle fl qui satisfait
i*la relation
(6) sm'9=
^' (A-c-i/jaV
4aO MÉCÂiriQUB RÀTIOlirirELLE.
On en conclut que, dans le cas où la section interne supérieure du tube, A, est plus grande que la sectioo externe inférieure c + c', si de plus les conditions de Tappareil sont telles, que la valeur numérique du second membre de l'équation (6) soit inférieure à Tunité, il y aura une position d'équilibre déGnie par cette équttion, pour laquelle un accroissement inûniment petit dépression atmosphérique produira une variation Gnie dans Tinclinaison du bras de levier, c*est-à*dire que, dans cette position, l'équilibre sera instable. Tout en laissant dans l'appareil A > c -f- c', on pourra éviter cette instabilité d'équilibre, en faisant que le produit P soit considérable, et que le bras de levier a soit assez court.
Le cas d'un tube cylindrique et partout de même diamètre c est résolu pour les formules précédentes, dans lesquelles on fait A = c.
La même équation (5) fait connaître la forme que doit avoir le tube dans sa partie supérieure, pour que l'angle décrit par le levier (0 — B^) soit une fonction donnée de l'accroissement de pression [xs — tJo).
Le cas le plus intéressant est celui où l'angle décrit est proportionnel à la variation de la pression atmosphérique . Nous allons l'étudier.
Soit donc donnée la relation
CT — CT, = a (ô — Oo)>
OÙ a est une constante choisie à volonté.
Dans ce cas, la fonction f {x) est telle, que l'équation d'équilibre (5) se trouve vérifiée identiquement, quand on y remplace xs — u^ par a[B — B^). Par conséquent, si, après avoir opéré cette substitution, l'on diflférentie l'équation par rapporta d, en observant que /"(x) est indépendant de d, on obtiendra une seconde identité dans laquelle la fonction y* se trouvera dégagée de dessous k
signe I ; et Ton en tirera immédiatement
n s'ensuit que les coordonnées d'un point quelconque de la courbe méridienne appartenant à la surface intérieure du tube sont exprimées en fonction d'une même variable 9, par les formules
/ JT =<i(cos9-— cos9,)-ha(9 — 0,), (7)
[P/sinô,— fA/î» {c -f- c') sin'ô"! '
Dès lors il est facile de construire la courbe par points; car en donnant successivement diflérentes valeurs à 6 dans ces formules, on aura autant de valeurs correspondantes de X et de jr. Les valeurs des coordonnées ainsi calculées, à l'aide d'une valeur particulière 6' de l'angle 6, sont celles qui répondent à la section du tube où se tertaÎDe la colonne mercurielle, lorsque le bras de levier !ait avec la verticale l'angle d\ ou bien lorsque la hauteur fe la colonne barométrique est
CT. -l-a(Ô' — 0,).
n la partie supérieure du tube que baigne l'extrémité de B. colonne hiercuriellc a la forme définie par cette courbe, ine variation de hauteur dans la colonne barométrique igale kzj — Uo sera accusée par une rotation du levier
îgale à -*• Toute autre forme du tube donnerait aux
noavements de l'appareil une loi plus ou moins éloignée le cette loi de proportionnalité.
Cette courbe a une asymptote horizontale qui répond k 6=: o, car y devient infini, et x reste fini pour cette
.4^2 MéCAHIQUE RÀTIONlffELLE.
valeur de Tangle 6. La tangente à la courbe est verticale, c'est-à-dire parallèle à Taxe de révolution, au point qui correspond à 6 = 90® 5 car pour cette valeur de Fangle 9 la dérivée de jr par rapport à 0 est nulle, et celle de x ne l'est point. Les valeurs de jr correspondantes à des angles 6 également distants de 90 degrés sont égales entre elles, cary ne dépend que de sind; néanmoins la courbe n'est pas symétrique par rapport à l'ordonnée qui répond à 6 = 90°, parce que x ne dépend point uniquement de sîn9.
Cette courbe s'éloigne peu d'une parallèle à l'axe de révolution dans une assez grande étendue de part et d'autre du point qui répond h 6 = 90°. Il s'ensuit que, si l'on veut employer un tube cylindrique, et en même temps conserver autant que possible la proportionnalité des angles décrits aux variations de la pression atmosphérique, 6n devra disposer l'appareil de telle sorte, que le bras de levier soit horizontal quand la pression atmo* sphérique a sa valeur moyenne.
De la même manière ou trouvera la forme que doit avoir le tube dans sa partie supérieure, pour qu'un crayon, placé sur le bras du levier, s'abaisse verticalement d'une quantité proportionnelle à l'accroissement de pression atmosphérique. Il suffit de poser
u — BJo = a (cosÔ — cosôo),
et d'opérer comme dans le cas précédent.
On trouve pour les coordonnées de la courbe méndienne les expressions suivantes en fonction de l'angle 9 :
10? = (a -f- rt) (cosO — cos9,), r— PsinQ,-i-fig'(c-hc^)sin>9"|* ■^ "" L f*'^^ (^ "^ «) *^°*® J
Pour une pression atmosphérique donnée o^, il existe toujours une forme du tube telle, que l'appareil constnut
HTDEOSTJLTIQUE. 4^3
ivcc ce tube restera en équilibre sous cette pression, (ans toutes les inclinaisons qu'il plaira de donner au leîer, et ne pourra jamais être en équilibre sous toute lUtre pression.
Cette forme du tube peut se déterminer par un calcul Dut semblable à celui des problèmes précédents* On lobient immédiatement en faisant a = o dans les foriules (7) :
x=:a (cosO — cos9»), j ["— PsiDQa-f-f*a^(c-+-c^)sin»QV
a courbe représentée par ces équations a sa tangente srticale au point qui répond à d =: 90°^ les coordonnées irrespondantes à des valeurs de 0 également distantes de > degrés sont égales entre elles, sans cependant que la lurbe soit formée de deux arcs symétriques. La forme du tube et une position particulière d'équibre étant données à volonté, on reconnaîtra facilement l'équilibre est stable ou instable, relativement aux pets mouvements que peut recevoir le tube sans changeent de pression atmosphérique ou de hauteur dans la donne mercurielle.
Pour cela on calculera par les formules (9) le diamètre le devrait avoir le tube au point où se termine la colonne irométrique pour que, toutes choses restant égales, Télilibre soit indifférent. Si Ton trouve un diamètre plus 'and que le diamètre réel du tube à l'extrémité de la conne, l'équilibre est stable; si Ton trouve un diamètre us petit, réquilibre est instable.
En effet, considérons le tube et le mercure soulevé )mme un poids situé au point d'attache du tube sur le vier. Si le tube a dans le voisinage de l'extrémité de la
4^4 MÉCANIQUE RÀTIOniIBLLE.
colonne le diamètre déterminé par les formules (9), un petit mouvement donné au levier n'élève pas le centre de gravité du syslème mobile, ni ne Tabaisse, puisqu' alors Téquilibre est indiflcrent. Si le tube est d'un moindre diamèlre, en l'abaissant on abaisse un moindre poids, et en l'élevant on élève un plus grand poids que dans la première supposition-, le centre de gravité est donc élevé par ces petits mouvements, et par suite l'équilibre est stable. Si le tube est d*un plus grand diamètre^ le contraire a lieu, etTéquilibre est instable.
Quand on tient compte des variations de niveau da mercure dans la cuvette, si l'on représente par C-ï-c Taire constante de la section intérieure de la cuvette, faite au niveau du mercure, Téquaiion principale (5) dévient
9JC-C) sin(0--0.) ^ Cic-^Oa,
fl{C-+-c') sinô Ch-c' ^ '^
J^ H H- o — a, o OÙ
« ^C , ^ ^, P sin(Ô — 0.)
Ch-c'^ ' fl/A(C-+-c'; sin»
La discussion reste à peu pièâ la même.
3. Un tube cylindrique fermé par le haut, rempli en partie d'air sec, est maintenu dans une position verticale sur une cuve pleine de mercure soumis à la pression atmosphérique, dans lequel il plonge son extrémité ouvei^e. Le liquide s'élève dans le tube à la hauteur h andessus du niueau de la cui^e, et la longueur de la portion du tube qui contient de Vair est égale à H. On enfonce le tube jusquà ce que le niv^eau du liquide y dei^ienne l^ même que dans la cui^e^ alors la longueur de la portion
HTDEOSTÀTIQUE. 4^^
de iuhe qui contient de Voir se réduit à H'. On demande quelle est la pression atmosphérique.
Si FoD nomme p la densité du mercure et xs la pression atmosphérique rapportée à l'unité de surface, on trouve
4. Un cylindre homogène, de densité ts et de Ion-gueurkj flotte dans une position verticale sur un liquide de densité p. Tout le système est placé sous un récipient plein d'air comprimé. Quelle est^ en fonction deladen^ site p' de Voir du récipient , la longueur x de la partie du cylindre qui est immergée ?
On trouve
SECTION III
STABILITÉ DE l'ÉQUILIBRE DES CORPS FLOTTANTS.
Considérons un corps solide, pesant et libre de toute liaison y qui flotte en équilibre sur un liquide homogène.
L'équilibre est stable lorsque le centre de gravité du corps est situé au-dessous du centre de gravité du liquide déplacé.
L'équilibre est encore stable lorsque le centre de gravité du corps est situé au-dessus de celui du liquide déplacé^ pourvu que la distance de ces deux points soit inférieure au quotient que Von obtient en divisant par le volume immergé le plus petit des moments d inertie de la section à Jleur d*eau autour des droites menées par son centre de gravité dans son plan»
Si le corps est symétrique relativement k un plan ver-
4^6 MÉCANIQUE BATIONHBLLE.
tical, pour que l'équilibre soit stable par rapport à des déplacements infiniment petits parallèles au plan de symétrie, quand le centre de gravité du corps est au-dessus de celui du liquide déplacé, il suffit que la distance de ces deux points soit inférieure au quotient que l'on obtient en divisant par le volume immergé le moment d'inertie de la section à fleur d'eau autour de la perpendiculaire au plan de symétrie menée par le centre de gravité de la section. L'équilibre serait instable si le contraire avait lieu.
Nous nous bornerons ici à considérer la stabilité de l'équilibre d'un corps symétrique relativement à un plan vertical, en supposant que les déplacements et les vitesses imprimées soient parallèles au plan de symétrie.
1 . Un corps ^métrique par rapport à un plan ver-tical flotte en équilibre. Son centre de gratnté estG'^ le centre de gra\fité du liquide déplacé est un point b situé
Fig. 82.
au-dessous du point G. On déplace ce corps paraUèle-^ ment au plan de symétrie d'une manière quelconque^ mais sans changer le volume immergé^ puis on lera^
nène graduellement à sa première position d* équilibre^ toujours en le faisant moui^oir parallèlement au plan de tymétrie et sans changer le ^volume immergé. Pendant ce moui^ement^ la verticale qui passe au centre de gra-- ^ité du liquide déplacé et la droite HG, considérée comme mvariablement liée au corps, se coupent en un point M^ ijui se déplace sur la drmte HG, et converge vers une position limite. Cette position limite est ce qû*on nomme le métacentrc* Jl s'agit de.proui^er que la hauteur du métacentre au-dessus du point H est égale au quotient gue Von obtient en divisant parle volume immergé V, dans Vétat d' équilibre ^ le moment d'inertie A k* de la section à fleur d'eau, Â, autour d'une perpendiculaire au plan de sjmétrie menée par le centre de gratuité de la section.
On fera voir que, dans le cas où le volume immergé est variable f la position limite du point M ne peut être assignée qu autant que l'on connaît la nature du mou" v^ement dans le voisinage de la position d^ équilibre.
Soient :
PQ la section à fleur d'eau dans Tétat d'équilibre^
P'Q' la section à fleur d'eau dans une position infiniment voisine;
z la distance du centre de gravité de la section PQ à la section P'Q';
RS une section parallèle à P' Q', menée par le centre de gravité de la section PQ;
IK l'intersection des deux plans RS, PQ, laquelle est perpendiculaire au plan de symétrie ;
c la plus courte distance des droites IK et HG;
e l'angle des deux plans PQ , RS, ou bien l'angle de HG avec la verticale ;
a la disunce HG ;
p la densité du liquide.
4^8 ICéCÀJNIQUB RATIOVMKLLE.
Les quanlités infiaiment petites z et 0 seront considérées comme infiniment petites de premier ordre*, les infiniment petits d'ordre supérieur disparaîtront dans le calcul.
D'après cela, le volume P'Q'QP peut être considéré comme celui d'un cylindre construit sur la base PQ^ il est égal à Taire de la base, A, multipliée par la distances des centres de gravité des deux bases.
Il s'ensuit que la pression résultante est
Calculons la somme des moments des pressions autour d'une perpendiculaire au plan de symétrie menée parle point G; et^ dans ce calcul, comptons positifs les moments des forces qui tendent à ramener le corps à sa première position d'équilibre.
Nous voyons d'abord que la somme dont il s'agit est ^ale et contraire au moment du poids du liquide qui remplirait le volume immergé. Ce volume lui-même se compose du volume PBQ, plus le volume P'Q'SR, plus le volume QIKS, moins le volume PIKR.
Pour le volume PBQ, le moment du poids est
^pVasinO ou gpYaO.
Pour le volume P'Q'SR le moment du poids est égal au produit du poids gpA.z par la dislance de la droite IKà la verticale du point G. Mais, comme le poids est déjà un infiniment petft, on peut remplacer cette distance variable par la distance constante c qui en diffère infiniment peu. Alors le moment cberché devient
gpKcz.
Quant aux volumes QIKS, PIRR, on peut les concevoir décomposés en éléments prismatiques élevés perpen-
HTD&OSTATIQVE. 4^^
diculairement sur les éléments dA de la section PQ. Sî Ton nomme x la distance de rélément ^A à la ligne IK, cette distance étant comptée positive à droite de IK et négative à gauche, la hauteur du prisme sera =bx tangd on ± xd, la distance de son centre de gravité à la même ligne sera x, en négligeant toujours les infiniment petits de second ordre. Par suite, la différence entre le moment du poids du volume QIKS, et le moment du poids du volume PIKR, s'exprimera par l'intégrale
X (a: — c) dkj
étendue à toute la section PQ. Mais, puisque la ligne IK passe au centre de gravité de cette section, on a
xdk =. o,
et rintégrale se réduit au seul terme
D'après ces valeurs, la somme des moments des pressions est
(U) ^p ( — VaÔ — kcz -f- Ait'G).
Divisant cette somme par la pression résultante, nous aurons la distance de cette pression à Taxe des moments; divisant encore par sin d ou par 0, nous aurons la distance du point G au point M où la droite HG est coupée par la verticale qui passe au centre de gravité du liquide déplacé, et la distance obtenue sera positive si le point M est audessus du point G. Il vient
GM=[a/'^-"/iV— Ac^\ (V-t-Az)-',
43o MÉCANIQUE RÀTIONHELLB.
et a la limite,
Or, si z n'est point nul, la limite du rapport - dépend
de la manière dont le corps revient à sa position d'équilibre ; en sorte que l'on ne peut assigner la position limite du point M sans connaître la nature du mouvement, i moins que là distance c ne soit nulle. Mais si z est nul, c'est-à-dire si le volume immergé est invariable, alors la distance de la position limite du point M au centre de gravité du corps est
cette distance étant comptée positive ou négative, suivant que le point M est au-dessus ou au-dessous du centre de gravité. En d'autres termes, la hauteur du métacentre au-
dessus du point H est—-» comme nous l'avons annoncé.
Si Ton rapproche ce résultat de la règle citée au commencement de cette Section, on voit que Véquilibre est stable ou instable, suii^ant que le métacentre est situé au-dessus ou au-dessous du centre de gravité du corps. L'équilibre serait indiffèrent si le métacentre coïncidait ai^ec le centre de gravité.
Cette dernière proposition, évidente par elle-même quand on se borne à considérer la stabilité de l'équilibre par rapport à des déplacements qui n'altèrent point le volume immergé, a été donnée par Clairaut, pour ce cas seulement, dans le Traité du Navire. C'est à ce géomètre que l'on doit l'expression de métacentre,
DuHAMKL, Journal de l'École Polytechn.^ XXIV« Cahier, p. 12; i832.
HTDEOSTATIQrE. 4^ V
2. Quelle est la condition de stabilité pour un prisme rectangulaire homogène, dont la base est horizontale^ relativement à des déplacements parallèles aux faces verticales ?
Soient a et 6 les deux côtés de la base, c la hauteur, a la densité du corps et p celle du liquide.
Le volume immergé est - abc.
La hauteur du centre de gravité du prisme au-dessus du centre de gravité du liquide déplacé est égale i
Le moment d'inertie de la section à fleur d^eau, autour d^nn axe mené par le centre de cette section parallèlement au côté i, a pour expression
«/—la
bx^dx = — ba^.
La condition de stabilité pour des déplacements parallèles aux faces (oc) est donc
— ba'
ou bien
^\ fl Z abc
L'équilibre serait instable si le premier membre était inférieur au second; il serait indifférent si les deux mem« bres étaient égaux.
Encycl, Metrop. Mix, SCf vol. I, p. tqS.
3. Un prisme droit homogène, dont la base est un triangle isocèle, flotte sur un liquide. La face latérale
43a MÊCÀHiQUB AATIOMNELLE.
qui répond à la base du triangle isocèle est horizontale et tout entière située au-^ssus du niueau. Trouver la condition de stabilité pour des déplacements parallèks à Vun des deux plans verticaux qui partagent le corps en deux parties symétriques.
Soient / la longueur du prisme, ai la base du triangle isocèle, a l' angle au sommet, a la densité du corps et f celle du liquide.
Pour des déplacements parallèles aux bases du prisme, la condition de stabilité est
Pour des déplacements parallèles au plan de symétrie c[ui coupe le corps suivant l'arête inférieure, la condition de stabilité est
cos* - <r - •
Si la base est un triangle isocèle rectangle, et qae Ifô déplacements lui soient parallèles, le niveau du liquide divise en deux parties égales la distance du métacenire au centre de gravité du liquide déplacé.
BouGUEBy Traité {lu Navire ^ p. 266.
4. Trouver la condition de stabilité pour un cône droit et homogène ^ dont l'axe est vertical et le sommet plongé dans le liquide.
Si Ton nomme r le rayon de la base, h la hauteur du cône, a la densité du corps et p celle du liquide, on trouve la condition
tr' Daviel Bernoulli, Comment. Acad. Petrop.^ 1738, p* ^^'
5. Tromper la condition de stabilité pour un cylindre droit et homogène^ dont Vaxe est vertical.
Si Ton nomme r le rayoQ de la base, h la hauteur, a la iensîtë du cylindre et p celle du liquide, on trouve la
condition
r» ag(p — g)
Daniel BEEtrooLti, ibid.
6. Trousfer la condition de stabilité pour un paraboloïde de ré\>olution homogène^ terminé par un plan perpendiculaire à l'axe, et dont l'axe est vertical.
Si l'on nomme p le paramètre de la parabole gënératrice, b la longueur de Taxe, a la densité du corps et p celle du liquide, on trouve la condition
ArcUmède étudie la stabilité de l'équilibre du paraboloïde de révolution dans le second livre du traité Des corps portés sur un fluide,
SECTION IV
