PETITES OSCILLATIONS DES CORPS FLOTTANTS
Nous nous bornerons à considérer un corps partagé en deux moitiés symétriques par un plan vertical, ce qui est le cas d'un navire. Nous supposerons que Ton ait légèrement écarté le corps d'une position d'équilibre stable, en imprimant à tous ses points une faible vitesse parallèle au plan de symétrie. Il en résultera des oscillations qui seront évidemment parallèles au même plan.
Conservons la notation et la figure du problème i de • IL î'ÉBiT. 28
434 MÉCANIQUE RATIONMELLE.
la Section précédente (p. 4^6). De plus, nommons x la distance du centre de gravité du corps au-dessous du plan horizontal sur lequel est situé ce point dans la position d'équilibre, et h le rayon de giration du corps autour d^une perpendiculaire au plan de symétrie menée par le centre de gravité ', Vp A* sera le moment d'inertie du corps autour de cette perpendiculaire.
Nous négligerons les termes du second degré par rap* port aux petites quantités x, z et 6,
Nous n'avons pas à nous occuper du mouvement horizontal du centre de gravité : il sera nul, ou, si Ton veut, il sera rectiligne et uniforme.
Quant au mouvement vertical, il sera régi par l'équation
qu'on obtient en égalant la force effective, Vp-— — > à la
résultante des forces qui sollicitent le corps dans la direc
lion delà pesanteur. Cette résultante est égale à la difle
rence entre le poids du corps et le poids du liquide dé
placé; et, dans le degré d'approximation qui a été adopté^^
cette différence se réduit au poids du liquide qui rempli
raitle volume P'Q'SR considéré comme un cylindre. Ozrm a donc
Négligeant toujours les quantités du second ordre, on a
(l) X=i:ZH-cG,
et Téquation précédente devient
'^) -rfjr + V ('-''*) = *'•
Il reste à trouver Téquation qui représente le mouvement de rotation du corps autour de son centre de gravité. Pour cela il suffit d'égaler le moment des forces effectives,
VpA* •— j au moment des forces appliquées, lequel est
représenté en signe contraire par la formule (U), p. 4^9* U vient
Yph^^= — gp{—\a9^Acz-^AA'B).
Afin de n*avoir que deux variables, il convient de remplacer z par sa valeur tirée de Téquation (i). Si, de plus, on pose
en sorte que i soit le rayon de giration de la section PQ autour d^une perpendiculaire au plan de symétrie menée par le point où la droite HG perce la section considérée, on aura
Les équations (2) et (3) sont linéaires à coefficienls constants*, elles s'intègrent par la méthode connue. Si l'on pose, pour abréger,
gA AP — Ya
les équations deviennent
^t, en désignant par ri, r, les racines de Téquation
A'r* — {h^ -4- en) mr = cnC (c — *i),
3»ar Â|, Al, «1, «1 des constantes arbitraires, les intégrales
436 ICÉCÀniQUB EÀTIONMELLE.
sont
jr= A, sin(^f -t- a,) -t- A,sin(^/ -t- a,),
ô = A, IZJl sin (J7\t -t- «,) -h A, ^LzJl sin (jT^/ -h «,).
Lorsque le corps est tel, que, dans la position d'^uilibre, les centres de gravité du corps et de la section à fleur d^eau soient sur une même verticale, alors la distance c est nulle, et les équations du mouvement ont pour intégrales
j: = A,sin(i/^ /-f-a, j,
ô = A,sin[^y/^(A/--V^)/+«,j.
La durée d'une oscillation verticale est tt i/— 7 ? et celle
I VA' d'une oscillation aneulaire tt 4/ , ^ ,, — —— r • Les ampli-
V g'iAX» — Va) ^
tndesde ces deux oscillations sont indépendantes Tune de Tautre.
Il ne faut point oublier que, dans toutes ces formules, les distances a et c sont positives quand elles ont les directions que leur assigne la figure, et négatives quand elles ont des directions contraires.
Les oscillations des corps flottants ont été étudiées successivement par Daniel Bernoulli (*), Euler (*), d'Alembert (') et Bossut (*). M. Molins (*) a repris la même
(*) Comment, Acad, Petrop., 1739, p. 100.
(*) Scientia navales, part. II, cap. iv; I749*
(*) Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides ^ cbap. Ti; 17551. — Opuscules, t. I, p. 104.
{*) Sur Varrimage des vaisseaux. Prix de rAcadémie des Sciences de Paris, t. IX; 176C.
(*) Journal de M. Uouville, t. \\l, p. 33; |838.
■nmosTATiQini. 4^7
question sans limiter en rien la forme da corps et la direction des petits mouTements.
A l'aide des formules qui précèdent, on n'aura aucune difficulté à résoudre les problèmes suivanu :
1 . Un prisme homogène à base carrée y flottant sur un liquide j a été légèrement écarté de la position d^ équilibre stable j où F une des faces latérales est horizontale^ par un petà déplacement parallèle à la base. Déterminer la longueur du pendule simple qui oscille dans le même temps.
Soient b le côté de la base, a la densité du corps, p celle du liquide et / la longueur cherchée.
S'il s'agit des oscillations verticales du centre de gravité, on trouve
ets^il s'agît des oscillations autour d*une perpendiculaire à la base, menée par le centre de gravité,
Dahiel Bb&noulli, Comment, Atad. Petrop,^ I7^9> P* i^*
2. Même problème, en supposant que la section du prisme soit un triangle isocèle, et que, dans la position d'* équilibre stable^ la face latérale correspondante à la base du triangle isocèle soit horizontale et située au^ dessus du liquide.
Soient ai la base du triangle isocèle, q la hauteur du même triangle, or la densité du prisme, p celle du liquide, et / la longueur du pendule qui oscille dans le même temps.
S'il s'agit des oscillations verticales du centre de gra-
438 MÉCANIQUE EÀTIOSSBLLE.
▼îté, on trouve
el s^il s'agit des oscillations autour d'une perpendiculaire à la base, menée par le centre de gravité,
EncycL Metrop, Mixcd Se. y vol. I, p. ig^.
3. Un paraboloïde de rév^olulion homogène, termi par un plan perpendiculaire à Vaxe, flotte sur un U — ^^quidei Vaxe est vertical, et le sommet en bas. Conhais-^^ssant la duive T des petites oscillations verticales que ( corps exécute^ il s^agit de déterminer la distance sommet du corps à la surface du liquide, dans la positio n d'équilibre,
La distance cherchée est
SECTION V
ÉQUILIBRE DES VASES QUI COMTIENNEJfT DES LIQUIDES.
Lorsqu'un vase contenant un liquide repose en équilibre sur un support, le poids du vase et la pression du fluide sur les parois font équilibre à la réaction du support.
1. Une demi-sphère creuse, remplie d*un liquide^ s^ applique contre un plan vertical de manière à fermer exactement r ouverture, et appuie sa surface coni^exe contre un plan incliné qui coupe le premier plan suixuint
UYDROSTATIQUE. 4^9
une droite horizontale. On demande quelle est la pression exercée sur le vase par chacun des deux plans, dans Vétat d'équilibre, et quel est le plus grand angle des deux plans qui permette à V équilibre de subsister, le poids de Vcni^eloppe liémisphénque étant négligeable vis-à'Vis du poids du liquide.
Soient r le rayon inlérîeur de la sphère, p la densité du liquide, a Tangle des deux plans, S la pression du plan vertical contre le bord du vase, R la pression du plan incliné, P la pression résultante du liquide sur la demisphère, 6 Tangle de cette force avec la verticale.
Les trois forces S» R, P doivent se détruire dans l'état d'équilibre. Or les deux dernières passent par le centre de la sphère; donc la force S passe de même au centre de la sphère. De plus ces trois forces sont situées dans un même plan vertical. Il en résulte que les conditions d'équilibre se réduisent à celles-ci, que la somme des projections horizontales des trois forces soit nulle, ainsi aue la somme des projections verticales. De là les équations
S-4- PsinÔ = Reosa, PcosO — Rsina.
Mais P cosô est le poids du liquide ou ^ t^gpr^ \ P sin9
est la pression résultante sur le plan vertical ou t:gpr^. Substituant ces valeurs dans les équations précédentes, on en tire
Rrr: -^l^g^r^ COSCCa,
S^l^r^P^'^^-'Ota^-j.
Telles sont les valeurs cherchées.
La pression S ne pouvant être négative, il s'ensuit que ^ plus grande valeur de l'angle a compatible avec Téqui-
44o MÉGANIQirB KATIOMNELLE. •
libre est celle qui anuule la pression S, savoir : a = arc tang ^ •
2. On verse lentement un liquide dans un vase cylindrique, qui est debout sur un plan incliné. Le vase fi-nira par se renuerser, s*il ne peut pas s'échapper en glissant sur le plan. On demande quelle quantité de liquide il faut introduire pour produire ce renî^ersement, le poids du vase et l'épaisseur de ses parois étant négligeables.
Soient r le rayon du cylindre et a la tangente de l'inclinaison du plan sur Tborizon.
Le volume du liquide qui produira la chute du vase est
7tr^ 1 3 —
3. Un vase hémisphérique, homogène, à parois trisminces, dont le poids est P et le rayon de la surjace r, contient un poids de liquide égal à Q. Ce vase étant posé sur le sommet d'une sphère fixe de rayon r', de manière que le bord soit horizontal, on ^incline tant soit peuj en le faisant rouler sur la sphère fixe d'un très'petit angle ^ puis on attend que le liquide soit retenu au repo^. On demande de troui^erla condition à laquelle doivent satisfaire les poids P, Q et les rajrons r, r', pour que le vase abandonné dans cet état tende à reprendre sa position primitiv^e.
La condition demandée est
BTDROSTÀTIQDE. 44 >
