ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE L'ÉQUILIBRE DES FLUIDES

Jusqu^ici uous avons considéré des fluides sollicités par a seule force de la pesanteur; nous allons considérer, [ans ce chapitre, des fluides sollicités par des forces quelonques.

Soient :

x^ y^ z les coordonnées rectangulaires d'un élément [u fluide;

p la densité du fluide en ce point;

p la pression au même point, rapportée à l'unité de urface ;

X, Y, Z les composantes parallèles aux axes de toutes es forces qui sollicitent l'élément considéré, ces compoantes écant rapportées à l'unité de masse et exprimées tD fonction dex,y, z.

Pour que le fluide soit en équilibre, il faut et il suffit [n'en chaque point de sa masse on ait la relation dp = ^ (Xdjc -f- Ydx -+- Zdz).

.'intégraledu second membre est la valeur de la pression. Dans l'état d'équilibre, la pression est une fonction des >ordonnées, et, par suite, la sommeXrfx-f-Y/(^-f-Zrf« a la différentielle exacte d'une fonction des coordonnées 9 J^9 ^) considérées comme variables indépendantes. Il 1 résulte que, si l'on se donne à volonté les composantes !, Y, Z, l'équilibre n'est pas toujours possible sous ce sysime de forces. Pour qu'il soit possible, il faut que la foncon Xdx -f- Yrf^ -f- Zdz soit une différentielle exacte.

44^ MÉCÀIIIQUB RÀTIOASiELLE.

Quand cette condition est remplie, Téquation

dp=zo ou Xdx -h Y ffjr -\- Zdz = 9

est Téqualion diflférenlielle commune â toutes les surfac^s==^* sur chacune desquelles la pression est constante.

Le problème général de Téquilibre des fluides cxcit *

yivement rinlérêt des géomètres au temps de Mewton^^i parce qu il devait les conduire à déterminer la figure d le la terre et des autres planètes, dans Thypothèse où corps auraient été primitivement fluides.

Huyghens et Newton (*) ne connurent pas complet ment la condition nécessaire à l'équilibre d'une fluide. Le premier donna pour unique condition la pecus^- 'pendicularité de la force a la surface; le second adm ^^«it pour condition l'équilibre d'une colonne fluide allant d^Hu centre à la surface. Or ces deux conditions peuvent ètc — ve satisfaites^ même simultanément, sans qu'il y ait équfl^Hi-

libre; car, pour l'équilibre de la masse entière, il fa ot

qu'une partie quelconque du fluide, considérée comme ^Hun corps solide, soit en équilibre sous l'action des forces c^^ni la sollicitent. *

Daniel Bernoulli parait avoir donné le premier la "^m^éri table condition d'équilibre. Il s'exprime en ces tercaaes dans son Hydrodynamique ^ publiée en 1738 (sect. JT, tliéor. 2) :

c( In aqua stagnante tubus utcumque formatus Sngi » potest, in quo utique aqua situm servabit, quem antea » habuit^ cum perinde sit, sive aqua tubo inclusa, coer- )) ceatur lateribus tubi, sive circumstagnante aqua. v

L'équation générale rappelée précédemment n'est que la traduction de ce principe. On la doit à Clairaut (^^)-

(*) Prineipiaj lib. III, prop. 19.

(**) Théorie de la figure de la Terre; I7/|3.

SECTION I