FLUIDES INCOMPRESSIBLES
1 . Déterminer la figure cT équilibre (ïune masse fluide, dont chaque molécule est sollicitée suivant trois directions rectangulaires^ par trois forces qui varient respectivement comme les distances à trois plans donnés.
Soient
ax -\- hy -{- cz =1 d^ a* x -h h* y -h c'z = d\
les équations des plans donnés, par rapport à des axes parallèles aux directions des trois forces. On aura
rtx -h ^r -4- C2 — rf
X= A -h pt ■ = — >
sjà^ -4- ^» -4- c*
A, X', X", fx, fx', fx" désignant des constantes.
Substituant ces valeurs dans Inéquation différentielle
ILdx -h Xdy -h Zdz = o,
Cl intégrant, on aura Téquation finie de la surface extérieure. On voit que cette surface est une surface du second degré,
2. Une sphère creuse est remplie d'un fluide pesant et homogène; à r extrémité supérieure du diamètre vertical est un centre d* action, qui attire chaque molécule proportionnellement à sa distance. On suppose que la
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pression est nulle au sommet de la sphère. Montrer: 1° que la pression exercée sur V hémisphère inférieur eit triple de la pression exercée sur T hémisphère supérieur] a? que la pression sur le vase serait nulle, et que la sphère serait une figure naturelle d^ équilibre ^ si V action du centre sur V unité de masse située à Vunité de distance était égale au quotient du nombre g par le rayon de la sphère^ 3^ que, dans le cas où P action du centre sur r unité de masse située à F unité de distance serait une répulsion égale au quotient dont on vient de parler^ la pression sur le vase serait la même que si le fluide n était sollicité par aucune force autre que la pesanteur^ et que sa densité fût doublée.
3. On suppose un vase dont on connaît la forme et la masse M, qui contient un volume donné V d*un liquide de densité p^ et qui est assujetti à glisser sur un plan horizontal parfaitement uni. Ce vase est traîné par un poids P qui le tire horizontalement à l'aide d'un fil sans masse engagé sur une poulie de renvoi. Déterminer la forme qu affecte la masse liquide lorsqu elle est dei^enue immobile par rapport aux parois du vase.
On peut considérer le syslèmc comme absolument Immobile, pourvu que Ton regarde chaque molécule du liquide comme sollicitée, non -seulement par la pesanteur, mais encore par une force accélératrice horizontale, égale et contraire à Taccélération du système,
P -hgU-h gp\
Si Ton rapporte la surface à des axes coordonnés invariablement liés au vase, Taxe des jr étant dirigé en sens contraire de la pesanteur, et Taxe des x en sens con* traire du mouvement, on trouve que la surface libre du
HTDmOSTATIQUE. 44^
liquide est un plan, reprësenlé par l'équation
Px
r = — — •+■ consi.
•^ P-h^M-hg'pV
La constante se détermine par la condition que la portion du vase occupée par le liquide ait un volume égal à V.
Supposons, comme exemple, que le vase soit un cylindre vertical à base quelconque, dont la section horizontale intérieure ait une aire égale à A. Dans ce cas, Torigine étant prise au centre de gravité de la base, Téquation de la surface libre du liquide sera
— Pj V
•^■"P-h^M-h^pV"^A'
si toutefois le liquide couvre entièrement le fond du vase. O. Beenoulli, Hydrodynamica^ sect. XI, § 80.
SECTION II
