FLUIDES ÉLASTIQUES
1. On suppose une niasse fluide telle ^ que V accroisse^ ment de pression nécessaire pour produire un accroisse^ ment donné de densité soit proportionnel à la densité elle-même. Toutes les molécules de cette masse fluide s^attirent suivant la loi de la nature^ et sont soumises à l'action d'une sphère solide et homogène , qui les attire suiv^ant la même loi. Il existe év^tdemment un état déqui^ libre oii lejluide est disposé autour de la sphère en cou* ches concentriques, sur chacune desquelles la densité est constante. On demande suii^ant quelle fonction du rayon varie la densité des couches dans cet état d^équilibre.
Soient M la masse de la sphère solide, a son rayon, (JL Tat traction de Tunité de masse sur Funité de masse à
44^ MÉCANIQUE RÀTTOirirBLLE.
Funité de distance, r le rayon variable des couches fluides, et
dp := k pdp
la relation qui lie Taccroissement de pression à Faccroissement de densité.
Considérons un élément de la couche dont le rayon estr.
L'action des couches extérieures sur cet élément est nulle. L'action des couches intérieures et celle de la sphère solide sont dirigées vers le centre \ la première est ^alea
pour Funité de masse; et la seconde est égale à
D'après cela, et, par conséquent, on a l'équation
On en déduit, par difTérentiation,
Cette équation différentielle s'intègre aisément; on trouve
A et B désignant des constantes.
Telle est l'expression de la densité en fonction du rayon.
US avons dit ailleurs que, dans la théorie de la figure terre, on arrive à des résultats peu différents de la é, en supposant la niasse terrestre formée tout end'un fluide tel que celui que nous considérons acment. [Foir la Mécanique céleste^ 1. XI, §§ i et 6).
Admettons que la tension de V atmosphère terrestre
proportionnelle à la puissance de la densité ^
yposons-nous de déterminer le rapport entre la hau- H de Valmosphère terrestre ainsi constituée^ et la mr h qu aurait cette atmosplière si elle était homo- , la pression à la surface du globe restant la même les deux cas,
hauteur de l'atmosphère est certainement une trèsî fraction du rayon de la terre; aussi nous pourrons 3ser sans erreur considérable que la pesanteur agit la même intensité sur toutes les couches de Tatmore.
ient a le rayon de la terre supposée sphérique, tj la on de l'atmosphère à la surface du globe, r la disî d'une couche quelconque de l'atmosphère au centre
terre, et
lation qui lie la tension à la densité, i constante k se détermine par une observation faite îurface de la terre. Si l'on nomme p« la densité de la he inférieure de Fatmosphère, il vient
8 l'hypothèse d'une atmosphère homogène, on a dp = — g^mflr;
448 mACÀHIQUE aATIOaBBLLK.
d'où
-u=-gfj
La valeur de r — a, qui répond iLp = o, est la hauteur A deTatmosphère} par conséquent^
Dans rhypothèse d'une atmosphère non homogène, on a
dp = -gpdr et p = (j)î=^;
d'où Ton tire
[m et, par conséquent,
g Ainsi, le rapport cherché est
3. On suppose une masse Jluide, où la densité est proportionnelle à la /i*'*"* puissance de la pression, et dont toutes les molécules sont attirées par un centre Jixe avec une intensité qui est fonction de la distance. Il s^agU àt déterminer la pression en un point donné de la masse fluide.
Soîenty(r) l'attraction sur Tunite de niasse à la disnce r, F (r) une fonction dont la dérivée est/(r), et
relation qui lie la densité à la pression.
Si n est différent de Tunité, la pression p k Isl dis-
nce r est donnée par Téquation
— — ( V)*"~" = fonsl. — X-F (r).
i n est égal à F uni té, on a
Vabighon, Mém. de rJcad. des Se, de Pans, 1716, p. 108.
p __ ^-AF(r)xconst.
SECTION m.
FLUIDES ANIMÉS d'uNE ROTATION UNIFORME AUTOUR
d'un axe fixe.
On dit en général qu'un fluide est en équilibre, lorsque ;s molécules ne se déplacent pas les unes par rapport ux autres. Ainsi, une masse fluide peut être à la fois eu quilibrc et animée d^une rotation uniforme autour d*un xe fixe dans le fluide. Les conditions de cet équilibre >nt les mêmes que si la masse était en repos absolu^ îulement, aux forces X, Y,Z, qui solliciteraient un élélent du fluide s^il était en repos, il faut ajouter la force entrifuge qui est développée par la rotation. Si l'on omme (m> la vitesse angulaire et r la distance de l'élément 3nsidéré à Taxe de rotation, Féquation générale de Téuilibre sera
dp=p{Xda:'^Ydx-hZdz -l-»'rrfr).
