II. a« ÉoiT
45o MéCÀMlQUB mATIOBHBLLE.
Cette équation a été donnée par Clairaut dans la Théorie de la Jigure de la Terre (page loi de la deuxième édition).
!• Un vase cylindrique de révolution, dont Vaxe est vertical, contient un liquide homogène, sur lequel JloUe un cylindre solide de réi^olution, qui a son axe en coïn^ cidence avec celui du vase^ tout le système est animé d\ine rotation uniforme autour de Vaxe commun des cylindres^ et V équilibre est établi. Dans cet état, le Jlotteur est moins élevé au-dessus du fond du vase que si le système était en repos. On demande d* exprimer laz. différence de hauteur due à ta rotation, en fonction d^ la vitesse angulaire co et des rayons A et a du vase e^ du cylindre flottant ,
Soient X la distance d'une molécule fluide au fond du vase, et r la distance de cette molécule à Taxe de rotation.
On a
d'où
dp ■=. ^ ( — gdx -h (ù^rdr) ; ' = p ( — g'j? H — «V I -4- const.
On voit que la surface libre du liquide, sur laquelle la pression est nulle, a la forme d'un paraboloïde de révolution, le paramètre de la parabole génératrice étant •-•
Soient P le poids du liquide cou tenu dans le vase, Q le poids du liquide déplacé par le flotteur, Xq la distance du sommet du paraboloïde au fond du vase, et h la distance de la base immergée du flotteur au même plan.
Si l'on se rappelle que le volume d'un paraboloïde de révolution terminé par un plan perpendiculaire à l'axe
est égal i la moitié du volume du cylindre circonscrit, on exprime facilement, en fonction des éléments du paraboloïde, le volume immergé du flotteur et le volume du liquide augmenté du volume immergé. On trouve
-^ = TTUM 4?.— h -4- -7— ),
P-hQ , / »'A'\
^P \ kS I
Eliminant x^ entre ces équations^ il vient
TT^p \ A» a}} ig
Dans cette valeur, le lerme
qui seul dépend de w, et s'annule avec cette vitesse, mesure la diilérence de hauteur due à la rotation.
2. On suppose une masse fluide, homogène et incompressible^ animée rl^un mous^ement quelconque , dont les molécules s'attirent les unes les autres suîuant la loi de la nature, et sont libres de toute action étrangère. Par l^ effet du frottement des molécules, cette masse a tendu à prendre une figure ins^ariable et une rotation uniforme autour d^un axe fixe. On demande si cette figure d'c^ quilibre a pu être un ellipsoïde de révolution autour de /'axe de rotation, quel qu ait été le mouv^ement primitif et si plusieurs ellipsoïdes de révolution conviennent commefigure finale^ pour un mouvement primitif donné . — j4ppliquer les formules obtenues à la détermination de V aplatissement de la terre ^ en supposant que ce corps ait été primitivement une masse fluide, homogène et incompressible.
452 MÉCAJIIQUB RATIOHHBLLE.
Observons d* abord que la somme des moments des quantités de mouvement de la masse fluide, autour d!\m axe de direction invariable mené par son centre de gra* vite, reste constante pendant toute la dur^e du mouvement. Or, si Taxe de révolution de Tellipsoïde coïncide avec Taxe de rotation, il est finalement Taxe du plus grand moment des quantités de mouvement; donc il est parallèle à Taxe primitif du plus grand moment. Ainsi, le mouvement primitif étant connu, on connaît la direction de Taxe de révolution de l'ellipsoïde, et aussi la somme S des moments des quantités de mouvement qui s'y rapportent.
De pluis, la masse M du fluide et sa densité p éunt connues, la vitesse o) de la rotation de Tellipsoïde ne dépend que d'une seule inconnue, l'excentricité de Fellipse méridienne ou une fonction de cette excentricité.
En eflet, Taxe de rotation étant pris pour axe des Xj soient
Téquation de Tellipsoïde, et
en sorte que l'excentricilé de Fellipse méridienne soit ~ X ou •? suivant que l'ellipsoïde est aplali ou allongé.
On a les relations
HYDROSTATIQDE. 4^i
d'où l'on lire
Ceci pose, il faut chercher si Tellipsoïde de révolution est bien une figure d'équilibre.
Nommons fx Tattraction de l'unité de masse sur l'unité de masse à. l'unité de distance; et posons de suite, pour abréger,
« / / ^.v ^ — arctaogX
P = 47r,ip(i-hV) :j-^ §~,
. , (n-V)arctangX — \ Qz=4np.o ^^
Les composantes de l'attraction que la masse ellipsoïdale exerce sur l'unité de masse située au point (x^y, z) sont [p. 326, form. {7)]
X = -P;r, Y=-Qj, Z = -Qz;
d'ailleurs les composantes de la force centrifuge sont respectivement
o, «»^, »'a; donc on a
-r//?=: — Pxdlr — (Q — «') (/<(r + »^«)f P
-/? = — Px'— (Q — «') (j*-h 2») 4- CODSl.
L'équation de la surface libre est
Par» H- (Q — »*)(/»-+- 2») = consl.
Pour que cette surface coïncide avec celle que nous avons supposée (1), il faut et il suffit que l'on ait
OU bien, en remplaçant P, Q, co parleurs valeurs,
Telle est Téquation que doit Tériiier X.
Chaque racine positive donnera un ellipsoïde de rév(%^ lution aplati, qui conviendra comme 6gure d'équilibre^ chaque racine imaginaire de la forme 6 ^ — i, 0 étant ] sitif et inférieur i Tunité, donnera un ellipsoïde allong qui sera aussi une figure d'équilibre.
Montrons d*abord que, quel que soit le mouv^em^/n primitif, la figure d^ équilibre ne peut être un ellipsoàkie de réi^olution a/longé. ,
Les puissances fractionnaires qui entrent dans les deux membres de Téquation (2) doivent être prises avec Je même signe; nous les prendrons posilivement. Alors h quantité connue qui forme le second membre sera positive; nous la représenterons par U.
Si nous faisons
il vient
sP^ , I -h 0 arc tangX = log -1
et, par suite, Téquation (2) se transforme en celle-ci :
(i — G>V{3 — GM ./, 1-+-Ô 60 \
^ —^ ■ X lotf : I == — 2 (J.
Or cette équation ne peut être satisfaite par aucune valeur positive de 6 inférieure à Funité; car le second membre est négatif, et, des deux facteurs qui composcol le premier membre, le premier est évidemment posiu» lorsque 0 est compris entre zéro et Timité, le second s*an-
nule pour 0 = o, et devient positif pour des valeurs de 0 comprises entre zéro et l'uuilé, puisque sa dérivée
est positive pour des valeurs de 6 comprises entre ces limites.
Si maintenant nous supposons Fellipsoïde aplati, nous arriverons à ce théorème : Pour un mouv^enient primitif donné j il est toujours un ellipsoïde de rév^olutiôn aplati qui cornaient comme figure d^équilibre^ et il rCen est qvkun seul.
Observons d*abord que le premier membre de Téquation (n) s'annule pour X = o*, car, si Ton remplace arc tangX par son développement
lequel est convergent pour des valeurs de X inférieures à Tunité, ce premier membre devient
Le même premier membre devient inGni pour X = oo ^ car il peut se mettre sous la forme
Ainsi, quelle que soit la valeur essentiellement positive du second membre, il y a toujours une valeur positive de i qui rend le premier membre égal au second.
Cette valeur de ). qui vérifie l'équation est nécessairement unique. Pour le démontrer, il suffit de faire voir que la dérivée du premier membre de Téquation (2) est
456 MÉCÀRIQUE RATIONIIEX.2.B.
positive pour toute valeur positive de X. Or, si Ton pose
-^^^^^ 3-f-aX' --^"^^°g^> la dérivée dont il s^agit devient
1(1+ V)-^ [arctangi + g l±2lV(i)],
et tout est évidemment positif, sauf peut-être le facteur y(X); mais ce facteur est aussi positif, car il s'annule pour X =s o, et sa dérivée
rm^ V(i4-2V)
est toujours positive.
Donc, en résumé, Téquation (2) a toujours une radue positive unique, ce qui démontre le théorème annoncé.
Maclaurin a démontré le premier ce résultat impor^ tant, que la figure d'un ellipsoïde de révolution convient a réquilibre d*une masse fluide en rotation. ( Traité de^ fluxions^ liv. I, ch. XIV, § 64i.)
Appliquons ces formules à la terre. — La somme ^^ dépend de la forme de la terre, de sa constitution inté-'^ rieure et de sa vitesse de rotation w. Les mesures géode — siques nous apprennent que la figure de la terre es»-* sensiblement celle d'un ellipsoïde de révolution don^
Taplatissement — - — est égal à > et pour lequel, pa^
conséquent, on a
Déplus, sans connaître la constitution intérieure de J terre, tout nous porte à croire que la densité va en dîn^ ^ nuant du centre à la surface. Si nous calculons S da.:s3 l'hypothèse d'une densité constante, la valeur obten^s^
era certainement trop grande; il en résultera une valeur rop grande pour la racine X que nous trouverons en réolvant l'équation (a). Mais ceci a peu d'importance; car, 0T8 même que nous donnerions à S sa véritable valeur, équation (2) ne pourrait pas nous fournir un résultat xact, puisqu'elle suppose la terre homogène.
D'après la valeur observée de Faplatissement et les expressions de S et de M données au commencement de !et article, Téquation (2) devient
^ ^ i (3 4- V) arc tang> ~ 3X ^ ^ /2^\ » ^,^
Pour calculer ^rcyLp^ nous nous servirons d'une proportion démontrée précédemment (p. 332), d'après laquelle >ii a
2 ir ap = j
désignant la distance du centre de la terre au parallèle ont la latitude est / = arc sin -r=9 et G représentant l'at-
"action de la terre sur un point de ce parallèle.
Les mesures géodésiques donnent pour rellipsoïdc ter- ^st^e
Kl en tire, en négligeant le carré de l'aplatissement,
I — — sin^/j
— B— (B— A)sin'/ = 6370 292".
L'^attraction G est la somme algébrique de la pesanteur et de la composante verticale de la force centrifuge. La pesanteur s'observe à l'aide du pendule : l'unité de Ion-
458 MÉCAlflQUB RÂTIOHirELLB.
gueur étant le mètre, et Tunité de temps la seconde de temps solaire moyen, elle est représentée à une lalitode quelconque par la formule
^==9,80557(1— o ,002588 cosa/).
La force centrifuge se calcule^ sa composante verticale a pour valeur
Faisant / = arc sin -r=:> il vient
La vitesse a> de la rotation de la terre est égale a kt^'
D'après ces valeurs, il est facile de calculer le second membre de Péquation (3).
Comme la valeur de X doit être une petite fraction, on peut développer le premier membre de Téquation {i] suivant les puissances ascendantes de X, et ne conserver que les premiers termes. En s^arrètant aux sixièmes pui^ sances de l'inconnue, on obtient Téquation
Elle se résout par la méthode des approximations sa-*^' cessives.
Une première valeur est
une seconde valeur est
xî = xî + lxî-^x; = 0,008 67690.
troisième valeur est
elle serait donc^ dans notre hypothèse, la valeur de
our Tellipse méridienne de la terre.
^n en conclut la valeur de Taplalissement,
= o,oo43io44 = -5 •
te valeur est un peu supérieure à celle que donnent
mesures géodésiques, • La plus grande densité de la
*e au centre qu'à la surface suffit pour rendre compte cette différence.
Corollaire I. — Terminons en calculant la pesanteur 1 surface de V ellipsoïde.
>oit g la pesanteur au point [x^j^ z) de la surface. Les nposantes de celte force suivant les axes sont
— Px, -—Qr-4-w*7, — Qz-hw'z.
»us avons donc
p bien^ d'après la relation = Q — w',
Pour exprimer cette valeur en fonction de la latitude / point considéré sur la surface, nous pouvons supposer e ce point soit situé dans le plan méridien des xj\
46o MÉCÂiriQUB BÂTlOinffELLE.
Alors réqualion de Tellipse méridienne, noas donne
sin/ ~" cosi v/i'Tv "" Vi -h V ces»/' par suite,
PA
+-X«cos"/
Développant suivant les puissances ascendantes de ï*, et négligeant X^, il vient, pour le cas d*un ellipsoïde trèspeu aplati,
^ = PA f I— i. \A 4- i PAV sinV.
D'après cette formule, la pesanteur varie proportion' nellement au sinus carré de la latitude (*). L'observation du pendule montre que ce résultat est applicable à U terre.
La formule précédente peut s'écrire
g' = K(i — K'cos2/),
K et K' étant deux constantes, dont la première mcsnt*^ la pesanteur à la latitude de 4^ degrés, et dont la second^ est le quotient que Ton obtient en divisant la différence entre la pesanteur à 45 degrés et la pesanteur à Téqu^' leur par la pesanteur à 45 degrés. L'observation du pe«^' dule fait connaître les valeurs de ces constantes pour '^ terre, et Ton obtient ainsi la formule déjà citée,
^ = 9,80557 (i — o, 002588 cos 2/).
Corollaire II. — On peut encore observer que 1^* composantes de la pesanteur au point {x^y^z) de I*
{*) Nous aTons vu (p. 33o) qu'il on est de môme pour rattraction.
ice, dirigées suivant les axes coordonnés, sont, à un îur constant près, les dérivées partielles de la foncde Xi y^ z qui, égalée à Tunité, représente Tellip- 3. Il s'ensuit que la pesanteur elle-même est égale, un facteur constant, à la racine carrée de la somme carrés des trois dérivées partielles. Or celte racine est îsément Tinverse de la perpendiculaire abaissée du re sur le plan tangent à la surface au point (x, j^,z). conséquent, la pesanteur à la surface de V ellipsoïde inversement proportionnelle à la perpendiculaire issée du centre sur le plan tangent à la surface au \t considéré. Cette remarque est de M. Liouville Eir/i. de Math.^ t. VIII, p. 3605 i843). i l'on nomme p cette perpendiculaire, on a
const.
Ileurs, à l'équateur p = Belg' = B(Q — w'); donc onstanle est égale à B* (Q — tù*), el, par suile,
. Montrer quun ellipsoïde à trois axes inégaux l être la figure d^ équilibre d'une masse fiuide homoe, dont les molécules s'attirent suii^ant la loi de trcy et qui est animée d'une rotation uniforme autour ^nn des axes de V ellipsoïde.
oient M, fx, p, w les mêmes quantités que dans le pro- De précédent, et A, B, C les longueurs des demi-axes ellipsoïde, le premier étant Taxe de rotation, osons
tX'* pourront être positifs ou négatifs; mais, dans ce
46a MÊCÂlflQVB RÂTIOmiELLE.
dernier cas, leurs valeurs numériques seront nécessaire-
\ y ment inférieures & Tunité, puisque -7= et seront
alors les excentricités de deux sections principales. L'équation de l'ellipsoïde sera
Posons encore (p. 3^5)
du
p=4^pp(i4-v)^(.-hv»)vr — î^
Q=4,rw.(. + X')'(i + V'r / ^^^îî^ T'
R=4,rpp(l+1')'(, + V')' / '^
Jo (I + >'«')"' (i
Nous trouverons, de la même manière qu'au problème précédent, pour Téqualion de Téquilibre de la masse fluide,
- r//7 = — Pjp r/x — (Q — «*)r^^ — (R — w»)z«fe,
et pour l'équation de la surface libre,
P x» -4- (Q — w») j» -+- (R — «») «» = consl.
Cette dernière équation devant coïncider avec Téqu*tion (i), il en résulte les conditions
(R — «')(i-4-V») = P, que l'on peut remplacer par les deux relations équiva-
HTOKOSTATIQVE. 4^3
dmeltons que Ton se donue, comme dans le problème
édent, non la vitesse angulaire, mais la somme S des
dents des quantités de mouvement autour de Taxe de
tioo.
ous aurons
M==|TrpA»(i-+-V)'(i-hV>)^
lemplaçant P, Q, R, w* par leurs valeurs, les équais (a) et (3) deviennent
I Jo (i + X'a')*(i-(-X"ii»)'
4, {i + X'tt»)'(i + X"«')'
^ette équation (5) nous donnera une valeur réelle de S tr tout système de valeurs positives attribuées à X* et
464 MÉCÂVIQUB EÂTIOHRELLE.
à X''; car Tintégralc qui figure au second membre aura tous ses éléments positifs. Ainsi, pour démontrer le théorème que nous avons en yue, il nous reste à faire yoir que Téquation (4) peut être satisfaite par deux valeurs positives et différentes Tiuie de l'autre attribuées respectivement à A' et à )/'.
L'équation (4) admet la solution X* = X'*, qui répond à rellipsoïde de révolution discuté dans Farticle précédent. Supprimant le facteur 7J* — ï}, Téquation peut s'écrire
•4- Vu')» (i-t-Vû')'
Cette équation ne peut être satisfaite que par des valeurs de X* et de X'* toutes deux positives; car si X* et V' étaient de signes contraires, le facteur (i — X*X''u') serait positif, et tous les éléments de Tint^rale seraient positifs. La même chose aurait lieu si X' et X'* étaient tous deux négatifs, car alors leurs valeurs numériques seraient inférieures à l'unité, en sorte que le facteur (i — X'X'*ii') resterait positif dans les limites de Tintégration. Nous voyons par là que l'axe de rotation est nécessairement le plus petit des trois axes principaux ^ si toutefois Tcllipsoïde est une figure d'équilibre quand la rotation s'effectue autour de l'un des trois axes.
Donnons à X* une valeur positive et finie, mais quelconque. Pour toute valeur de X'* positive et inférieure à
ry» tous les éléments de Fintégrale seront positifs et finis;
cette intégrale ne sera pas nulle. Donc l'équation ne peut être satisfaite à moins que l'une des quantités X', X" ne soit supérieure à Tunilé. On en conclut que dans la figure
d'équilibre l'un des rapports - j - est supérieur à V^a.
HYDEOSTATIQUB. 465
iinsi , V ellipsoïde à trois axes inégaux doit différer sensiblement d'une sphère y et^ par suite ^ on ne peut pas idmettre que sa figure soit celle de la terre ^
Maintenant, X' restant toujours positif, fini, mais quel- Donque, faisons converger X'* versTinfini. L'intégrale denendra négative pour une valeur suffisamment grande de
i'*. On s'en assure en développant le rapport j
suivant les puissances décroissantes de X''; car alors Tintégrale devient
et sous cette forme on voit clairementque pour des valeurs très-grandes de X", tous les éléments dans lesquels u n'est pas très-petit sont négatifs. Il en résulte que V ellipsoïde à trois axes inégaux peut être une figure d'équilibre.
Ce théorème remarquable a été annoncé par Jacobi, en 18349 d^"s ^^^ lettre à TAcadémie des Sciences de Paris. M. Liouville (*) en a aussitôt présenté une démonstration, qui a été publiée dans le XXIII^ Cahier du Journal de l'École Polytechnique,
Plus lard, M. Meyer, de Kœnigsberg (**), a tiré plusieurs résultats intéressants de la discussion attentive des formules. Ainsi, on reconnaîtra sans peine que, si l'on augmente indéfiniment la somme des moments des quantités de mouvement en même temps que Ton diminue
(*) M. Liouville a écrit sur le même sujet deux autres Mémoires, qui ont été publiés dans les Additions à la Connaissance des Trmps pour iSjG et pour 1855. Le dernier est relatif à la stabilité de réquilibre de la masse fluide. Ces doux Mémoires ont cto reproduits dans le Journal de Mathéma tiques, t. X VI et t. XX.
(••) Journal de M, Crelle, t. XXIV, p. 4<; 1841.
IL a* ÉoiT. 3o
466 MÉCÂKIQUB KATIOSSBLLE.
iDdéfinimeDi la vitesse de rotatioD, rellipgofde àtnàs axes inégaux de Jacobi devient une aiguilie trèi-«lloiigée; tandis que, dans la même hypothèse, l'ellipsoïde de révolution deMaclaurin devient un disque trés-élendu; dam les deux figures, Taxe de rotation est le plus petit des trois axes principaux. Comme la rotation est nulle à la limite^ il s'ensuit que la sphère n'est pas la seule figure d^ équilibre d' une masse Jluiile en repos. Le même géomètre a démontré que, pour un mouvement donné, il n'est jamais plusieurs ellipsoïdes à trois axes inégaux qui soient figures d'équilibre; et même, si la somme des moments des quantités de mouvement devient inférieure a une certaine limite, l'ellipsoïde à trois axes inégaux cesse de convenir comme figure d'équilibre. L'ellipsoïde qui était possible au delà de la limite est venu se confondre avec l'ellipsoïde de Maclaurin, quand la somme des moments des quantités de mouvement a diminué jusqu'à la limite qu'elle ne peut dépasser.
Ce dernier résultat se déduit aisément des formules auxquelles nous sommes parvenus. En effet, si l'on- se rappelle que X^ et X'* sont nécessairement positifs et que l'une de ces quantités est supérieure à l'unité, on voit de suite que le second membre de Téquation (5) admet un minimum relativement aux variables X^ et X'*, lesquelles sont assujeliies à vérifier la relation (6). En outre, ce minimum répond à des valeurs égales des deux variables; car la relation (6) et la fonction qu'il s'agit de rendre un minimum ne sont point altérées par la permutation des lettres X* et X'*. Ces valeurs communes sont les racines supérieures à l'unité de l'équation que l'on obtient en. posant X'' = X' dans la relation (6).
Cette équation est la suivante :
1(3 -h i3V) — (3 -f- i4 V -I- 3X») arc tangX = o.
HYDmOSTATIQVE. 4^
Elle n'admet qu'une seule racine snpérienre à Tunilé» saToir,
Il s'ensuit que Tellipsoïdc à trois axes inégaux devient un ellipsoïde de révolution, où l'excentricité de Tellipse méridienne est 0,8 ia6, à Tinstant où la quantité
— jTj-, (tTi ) ^^^ciï*^ Cï^ décroissant la valeur 0,0922; au
delà l'ellipsoïde à trois axes inégaux est impossible.
Terminons en observant que sur Tellipsoïde à trois axes inégaux, comme sur Tellipsoïde de révolution (p. 461), la pesanteur est inversement proportionnelle à la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent à la sur* face au point considéré. La démonstration est la même pour les deux cas.
4. Un tube coudé à angle droit confient une colonne litjuide qui ne peut se diviser. Une des branches étant horizontale et l'autre verticale y on fait tourner le tube avec une vitesse constante autour d'un axe vertical qui passe à l^ extrémité de la branche hotizontala, et Véqui^ libre s'établit. Trouver la i^lation qui existe entre la vitesse angulaire w, la hauteur h de la colonne verti^ cale, la longueur l de la colonne horizontale et Li lon^ gueura de la branche horizontale du tube.
On trouve
Duce EST, Essais sur les Machines hydrauliques^ p. 229; 1777.
5. Une demi-sphère creuse et homogène, renversée sur un plan horizontal, est exactement remplie d'un liquide homogène^ de densité connue p. Tout le système tourne autour de Vaxe de la demi'' sphère avec une vitesse
468 MÉGÀAIQIIB RATIOJflTBLLB.
angulaire constante et donnée «>• Déterminer le plus petit poids que puisse a%^oir le vase, sans que le liquide Réchappe en le soulex^ant»
Mommant a le rayon intérieur de la demî-spbère, on trouve que le poids doit être au moins égal à
6. Un cylindre circulaire et vertical, exactement rempli d'un liquide homogène de densité connue p, est fermé par un disque homogène, égal à la base de la surface interne,' et mobile autour d'aune charnière fixée à la paroi. Le système^ tourne autour de taxe du vase at^ec une vitesse angulaire constante et donnée &). Déterminer le plus petit poids que puisse avoir le couvercle, sans que le liquide s'échappe en le soulevant.
Nommant a le rayon intérieur du cylindre, ou trouve que le poids du disque doit être au moins égal à
j irpw'rt^
7. Un cylindre circulaire et vertical, contenant une quantité de liquide dont le poids joint à celui du vase est égal à Q, est réuni à un contre-poids mobile P par V intermédiaire d'un cordon sans masse engagé sur une poulie fixe. Le système monte ou descend sous V action de la pesanteur^ pendant que le vase tourne autour de son axe avec une %ntesse angulaire constante a>. On suppose le liquide parvenu à Vètat d^ équilibre dans lequel sa figure est invariable^ et F on demande de détermina^ la forme de la surface libre.
Cette surface est un paraboloïde de révolution autour
HYDROSTATIQUE. 46p
de Taxe du vase-, le paramètre de la parabole génératrice est
8. Un vcLse de dimensions connues, qui a la forme d'un cône droite ouyettparsa base, tourne at^ec une vitesse angulaire constante o) autour de son axe, qui est vertical. On demande quel est le volume du liquide quil peut contenir dans cet état de rotation, et quelle est la plus petite vitesse de rotation qui ne pei mette à aucune molécule du fluide de rester dans le vase.
Soient h la hauteur du cône et a le rayon de la base.
Pour une vitesse de rotation quelconque ct), lu volume du liquide contenu dans le vase est au plus égal au volume qui remplirait le vase, diminué de —7 — •
La plus petite vitesse ci> qui chasse nécessairement tout le liquide hors du vase est
9. Une sphère creuse ^ exactement remplie d^un liquide^ et percée d^un petit orifice à son extrémité inférieure, tourne uniformément autour de son diamètre ^*ertîcal, On demande quelle est la vitesse de rotation nécessaire pour empêcher le liquide de s^ écouler tout enfier part orifice.
Si Ton nomme a le rayon de la sphère, on trouve que la vitesse angulaire cherchée est égale au rapport ^*
10. Un cylindre de révolution, qui contient une masse d'air connue, tourne uniformément autour de son axe
470 MÉCANIQUE RATIOHflELLE.
awec lejluide qu*il renferme. Déterminer la densité de Pair en un point donné, et la pression totale exercée sur la surface latérale du cylindre, en négligeant V action de la pesanteur sur lejluide.
Soient M la masse du fluide, k le rapport constant de la pression à la densité, a le rayon intérieur du cylindre, A la hauteur du cylindre et o) la vitesse de rotation.
La densité du fluide à une distance de Taxe égale à r est
Mo
par suite, la pression totale exercée sur la surface courbe est
BYDRODTIVAMIQVE. 47'
HYDRODYNAMIQUE.
