MOUVEMENT PERMÀKEMT DES LIQUIDES ET DES GAZ SANS FROTTEMENT

Considérons un point fixe de Tcspacc occupé par la masse fluide en mouvement.

Soient :

x, ^, z les coordonnées de ce poînt^

p la pression rap|>ortée à Tunité de surface au même point;

p la densité du fluide ;

i^sa vitesse;

X, Y, Z les composantes parallèles aux axes de la force accélératrice extérieure qui sollicite les molécules du fluide à rinstant où elles passent au point considéré.

47^ MÉCÂAIQUB BÂTlOnnELLE.

On a Téquation

(A) dp=z^ {lidjc -+. Xdf 4- ZJî — - d.p\ ;

d'où Ton voit que le mouvement permanent sérail impossible, si X/Zr-H Y//^ -H Zi/s n'était pas la différentielle exacte d'une fonction des coordonnées x, y^ 5, considérées comme variables indépendantes.

Supposons qu'il s'agisse d'un fluide sollicité par la seule force de la pesanteur, dont toutes les molécules traversent successivement deux plans horizontaux, dans des direciious normales et avec une même vitesse. Si Ton nomme ci> Taire de la section faite dans la masse fluide par Tun dei deux plans, v la vitesse et p la densité corres' pondantes, ot)o, (^o ^^ /^o les quantités analogues pour W section faite par le second plan, on aura Téquation

qui, jointe à la formule (A) et à la relation qui lieeutr^'* elles la densité et la pression, suftira pour détermioe^^^^ toutes les circonstances de récoulement à travers ub^^ section, lorsque l'état du fluide sur l'autre section se;t^^ connu.

S'il s'agit d'un liquide^ nommant p eip^ les pressioc::^^^ corre.^pondautcs aux deux sections, et z la distance de - '^ section co au-dessous du plan de l'autre section, on aura

La quantité z -h^ — ^ se nomme la charge sous T^'

quelle a lieu l'écoulement.

Cette formule peut, sans erreur notable, s'appliqxicr au cas où les sections cû et tùo ne sont pas horizontale?^?

BTDmOUYKAVIQLC* 47^

pourvu que dans chacune libelles les différences de niveau enire les différents points soient toutes très-petites^ car alors il n*y a pas grande erreur à supposer que la pression et la vitesse soient les mêmes en tout pointde chaque section.

Quand la section to^ est horizontale et beaucoup plus

grande que la section u, on peut négliger le rapport —7;

alors la formule exprime le théorème de Torricelli :

Lorsquun liquidr, maintenu dans un vase à un ni* \^au constant, s*écoule par un petit orifice dans un nùtieu oh la pression est la même quà la surface de ni'- %feau<^ la vitesse du liquide à sa sortie est égale à celle qui serait due à la hauteur du niv^eau.

Ce théorème se vériâe facilement par Texpérience. En effet, supposons qu'on ait placé sur un plan horizontal un Tase prismatique, où le liquide soit maintenu a un niveau constant, tandis quil s'échappe par un petit orilice percé dans l'une des faces verticales. Soient z la hauteur du niveau au-dessus de l'on 6ce, ^i la hauteur de Toriâce audessus du plan horizontal, et 3a la distance de la verticale menée par Torifice au point où la veine tombe sur le plan horizontal, quand le mouvement permanent est établi.

Si le théorème de Torricelli est applicable, le carré construit sur la ligne a doit être ^al au rectangle construit sur les lignes z et Zf Car chaque molécule de la veine liquide peut être considérée comme un projectile, lancé de l'oriBce dans une direction horizontale avec la vitesse ^2 gz. Par suite, en négligeant la résistance de Tair, qui a peu d'influence dans un petit parcours, la mo-

lécule liquide emploie le temps . pour parcourir la

474 MÉCANIQUE BATIONNELLB.

distance horizontale 2 a, elle temps i/ — - pour parcourir

la distance verticale Zi sous Tinfluence de la pesanteur. Égalant ces deux temps, il vient

On trouve que cette relation se vérifie quand rorifice est percé en mince paroi^ c'est-à-dire quand Tépaisseur de la paroi est moindre que la moitié de la plus petite dimension de Touverlure. Si, pour des parois plus épaisses, on avait û* = [z — c) ^1 , la vitesse de sortie serait égale à y2g (z — e)\ alors, la perte de force vive initiale par unité de poids Je liquide écoulé serait égale à 2e.

Dans le cas d'un orifice percé en mince paroi, le volume y du liquide écoulé pendant le temps t serait (ù^2gz t, si l'on pouvait supposer, comme nous l'avoDs fait, que la vitesse des molécules est exactement perpendiculaire au plan de Torifice. Mais on conçoit que les molécules liquides, se rendant à Torifice de tous les points du vase, y arrivent en général avec une direction inclinée, en décrivant une ligne courbe 5 de là naissent des forces centrifuges, qui augmentent la pression à rorifice de dehors en dedans et, par cela même, diminuent la quantité de liquide qui s'écoule. En effet, on reconnaît que le volume du liquide écoulé pendant le temps t n'est qu'une fraction de la quantité w ^^gz f , .égale sensiblement à 0,62, tant que le diamètre de louverlure n'excède pas 10 millimètres. D'un autre côté, on observe que la veine liquide se contracte à une petite dislance de l'orifice, égale à peu près au diamètre de l'ouverture, et conserve au delà une section constante, dont l'aire est à peu près les o,64 de l'aire de Touverture. D'après cela, on peut substituer l'aire de la section contractée à celle de Torifice dans la formule \=(»)^2gz £5 ou bien conserver l'aire de Tori-

HTDEODTHÀHIQCE. 47^

fice, el multiplier le Yolume da liquide calculé dans cette hypothèse par le coefficient 0,62 : dans les deux cas on arrivera à des résultats sensiblement conformes à ceux de Texpérience.

Torricelli énonça la loi de l'écoulement des liquides à la fin de son Traité Ve motu gravium naturaliter accele^ rafo, publié en i643 ] elle n'était pour lui qu'un résultat de l'observation. Newton, dans ses Principes (liv. II, pr. 36), et Varignon, dans les Mémoires de Vjécadémie des Sciences de Paris pour Tannée 1708 (p. a38), s'efforcèrent de tirer cette loi des principes admis en Mécanique; mais leurs raisonnements ne furent point à Tabri d'objections graves.

Toutefois, les recherches de New ion ne furent point infructueuses*, elles ramenèrent à découvrir le phénomène de la contraction de la veine. Ses observations à ce sujet lui fournirent une valeur du cocffidient de contraction peu différente de celle qu'on adopte aujourd'hui.

Ce fut Daniel Bemoulli qui le premier démontra le théorème de Torricelli d'une manière lout à fait satisfaisante; et même il établit la formule citée précédemment, oui est plus générale. Sa démonstration n'est qu'une simple application du principe des forces vives. Elle parut d'abord dans les Commentaires de Saint-Pétersbourg^ en 1727 (p. 1 1 1), el fut développée plus tard dans YHydrodynamique du même auteur.

Considérons mainlenanl unjluide élastique.

Posant p = A'p, et conservant d'ailleurs la même notation, on arrive à la formule

/ 2ez -h 2/ log —

V ^ipi

476 MÉCAMIQUE EATIOirilELLB.

Lorsque la distance z des deux sections n'est pas trisconsidérable, on peut nëgliger le terme 3^7, i cause de

la petitesse du rapport j-

Celte formule s'applique au cas où les sections ne sont point horizontales, pourvu que leurs dimensions verticales ne soient^as considérables.

Si de plus le rapport — est très-petit, la formule peut

se réduire à celle-ci :

,= y/:./Ios^'.

\ . On suppose un vase dont la surface intérieufe est un denû^eWpsoïde ouyfert suii^ani un plan principal. Couverture est horizontale, et la concavité tournée vers le haut. On demande de couper le vase par un second plan horizontal^ de manière qu*en maintenant le vase toujours rempli d^un Uqiddoy la vitesse du liquide qui s* écoule par V ouverture inférieure soit un minimum. On demande encore de déterminer le plan sécant par la condition que le volume du liquide qui s^ écoule dans un temps donné soit un maximum.

Soient a, b^ c les demi-axes de rellîpsoïde, le dernier de ces axes étant vertical, et soit z la distance du plan sécant au niveau constant du liquide.

La vitesse du liquide, à sa sortie par Touverture inférieure, est

i-ïï

Cette vitesse sera un minimum quand le binôme 2c'z — z' sera un maximum, c'est-à-dire quand on aura

•=Vî-

HTDEODTlfÀMIQUE. 477

Le volume du liquide qui sVcoule dans l'unité de temps est

(-^)\/Ep|y-

Ce volume sera un maximum en même temps que la fraction

c^est-à-dire quand on aura

Moselkt's Hjrdrostaticsj p. i65 et i66.

2. Déterminer le volume du liquide qui s^écoule dans un temps donnée par une ouv^erture circulaire de dimen^ sions finies, pratiquée dans la paroi verticale d*un vase où le nii^eau est maintenu constamment à la même hau^ teur.

Soient r le rayon de l'ouverture circulaire, nr la distance du centre de ce cercle au niveau du liquide, et 6 Tangle d'un rayon quelconque avec la verticale qui est dirigée de bas en haut.

Décomposons Taire de Fouverture en tranches hori* zontales infiniment minces. L'aire d'une tranche sera

2rsin0 X — r/.rcosô = 2r*sio'0rfô,

et sa distance au niveau,

nr — rcosô.

Le volume du liquide qui s'écoule pendant le temps t, â travers Tune de ces trUnches, est

/ y'i^^^r-— cosô) 2 r' sin' 0 rfô ;

478 MÊCÀiriQUB RÂTIOirilELLE.

et, par «uîte, le volume V du liquide «Juî s'écoule dans le même temps par Touyerture entière est ^1 à

2t\/^Mgï^ l sîn*9(i — - — J rffl.

Or, d'une f)art5

/ COS0\* I COS0 I.ICOS^Ô I. 1.3 €08*9

i in 1.2 2' i.i.3.5cos«0

d'autre

part,

»0cos'

' fcos'Ôr/ô

si f est si f est

pair; impair.

Donc,

f / iiï i.3.53i 1

Dans le cas particulier ou le niveau du liquide affleure le sommet de l'orifice, Tintégration peut s'effectuer en quantités finies, et l'on trouve

BossuTy Traité (f Hydrodynamique, t. I, p. 266.

3. Démontrer que les paraboles décrites par les filets liquides qui s'échappent à travers de petits orifices^ pratiqués dans la paroi d'un cylindre vertical oà leliqiiide est maintenu à un niveau constant, sont toutes tangentes à un même cône, dont les génératrices font avec la verticale un angle de 4^ degrés.

BTDBODTNAMIQUE. 479

. Trois vases A, B, C, ^ larges sections j ouuerts à * partie supérieure, sont placés Vun à côté de Vautre, vase A communique auec le vase B par un petit ori^

dont Vaire est co; le vase B communique avec le e C par un petit orifice dont Vaire est 0/5 enfin le e C communique auec V extérieur par un petit ori^-

dont Vaire est tù". Ces trois orifices sont situés dans liéme plan horizontal. L'arrivée continuelle dUine %e liquide dans le vase A y maintient le niveau du ide à une hauteur constante h au-dessus du plan des s orifices; et Von suppose que le mouvement perma^ t soit établi. Il s^agit de déterminer le volume du ide qui traverse Vun quelconque des trois orifices dant V unité de temps.

.e volume cherché est

^gà

BossuT, ibid,^ p. 269.

». Trouver la quantité d'eau qui s'écoule dans F unité temps à travers une ouverture rectangulaire ^ dont \x côtés sont verticaux, et qui est pratiquée dans la vid^un vase oit le niveau est maintenu constamment % même hauteur,

ioîent a la largeur de Touverlure, h et h les distances

bord supërîeur et du bord inférieur au niveau du li-

de.

^6 volume cherché est

a^ligU'' -h'\

BossuT, ibid., p. 261.

48o MÉCANIQUE RATIOMlfSLLE.

6. Un vase quin la forme d^un parabolotde de révolution, ouvert suivant deux sections horizontales per» pendiculaires à l'axe, laisse échapper le liquide qu'il contient, tandis quune égale quantité de liquide arrive à V ouverture supérieure^ et maintient le vase constamment rempli. On admet que le mouvement soit permanent; et Von propose de trouver la relation qui existe entre le volume du liquide qui s'écoule dans V unité de temps et les distances du sommet du paraholoïde aux plans des deux ouvertures.

Si Ton nomme p le paramètre de la parabole méridienne, X et x' les dislances du sommet du paraboloide à Touverlure supérieure et à Touverture inférieure, et V le volume du liquide qui s'écoule dans Tunilé de temps, on trouve la relation

MosELET^s Hydrostatics, p. i65.

SECTION II

MOUVEMENT PERMANENT DES LfQUIDES AVEC FEOTTEMEM

1. Effet d'un élargissement brusque de section dans une conduite d'eau, — Effet d'un coude. — Considérons un liquide arrivant par Torifice ÂB dans une conduite CDB'A' d'un plus grand diamètre. Nous supposerons que les sections AB, A'B' sont assez petites, ou du moins que la charge sous laquelle le liquide s'écoule est assez grande relativement à Taire des sections, pour qu^on puisse considérer comme égales les vitesses correspondantes à tous les points d'une même section, lors même que son plan ne serait pas horizontal. Nous ad-

HYO&ODYMAMIQUE. 48 ^

mettrons encore que le liquide traverse perpendiculairement les deux plans A6, A'B' ; et nous ne tiendrons point compte ici du frottement qui s'exerce contre les parois.

Fig. 83.

p la densité du liquide;

Cl) Taire de la section A6;

^ la vitesse et p la pression moyenne (*) sur la même section ;

Cl)', v' et p' les quantités analogues pour la section A'B'-,

z la distance du centre de gravité de Taire (J au-dessous du plan horizontal qui passe par le centre de gravité de Taire co;

Abba la colonne liquide qui traverse Touverture AB pendant le temps très- court dt]

AlWb'a' la colonne liquide qui traverse la section A'B' dans le même temps.

(•) Voir p. 375.