II. 2» ÉOIT

48a MéCÀIflQDE BÂTIOUIIELLE.

La loi de récoulement nous sera donnée par Féquation des forces vives, jointe à la relation

(l) wP = wV.

L'accroissement de force vive, que reçoit pendant Tinstant dt la masse liquide qui au commencement de cet instant occupait l'espace CDB' A', se compose de la force vive que possède le liquide A!W b'a' à la fin de Tinstant dt^ savoir ptù'i^'dt.u'*, moins la force vive que possédait le liquide ABba au commencement de l'instant dt^ savoir ptù^dl.u*^ plus la différence entre la force vive du liquide qui occupe Tespace CAa&BDB'Â' à la fin de l'instant dty et la force vive du liquide qui occupait le même espace au commencement de Tinstant dt'^ or cette différence est nulle en vertu de la permanence du mouvement. Ainsi, r accroissement total de force vive pendant Tinslaut dt est

Les travaux des forces qui agissent sur la même masse liquide pendant Tinstant dt sont :

1^ Le travail de la pression p, savoir (ùp.s^dt\

7? Le travail résistant de la pression p\ savoir — û)'/Jl^ y'dt ou — tùp', s^dt \

'^^ Le travail de la pesanteur. Ce travail est la différence entre la somme des produits que Ton obtient en multipliant le poids de chaque molécule de la masse liquide CDB' A' par la hauteur de cette molécule au-dessus d un plan horizontal, et la somme semblable relative à la masse liquide CAa&BD b'a' et au même plan horizontal. Or cette différence est évidemment égale au produit du poids de la masse liquide K&ba par la hauteur de son centre de gravité au-dessus du plan horizontal, moins le produit du poids de la masse liquide A'B'b^a' par la hau-

HYD&ODTlfAMlQUE. 4^3

leur de son centre de gravité au-dessus du même plan horizontal. Ces deux niasses liquides étant des tranches infiniment minces et de même poids, le travail dont il s'agit est

4^ Le travail résistant des réactions mutuelles qui se produisent entre les molécules liquides. Dans T ignorance où nous sommes relativement à la loi des actions moléculaires, il nous est nécessaire, pour calculer ce travail, d'introduire quelque hypothèse en harmonie avec les résultats de Texpérience. Admettons d'abord que les molécules liquides puissent être assimilées à de petites billes dépourvues d'élasticité, qui se choquent sans frottement. Alors la masse liquide qui occupe l'espace CDB^A' au commencement de l'instant dt éprouvera pendant cet instant, par l'effet des chocs mutuels de ces molécules, une perte de force vive dont la mesure, donnée par le théorème de Camol (p. 274), est la force vive due aux vitesses perdues, savoir pw 1^^.(1^ — p»')*. Le travail résistant dû aux réactions mutuelles des molécules sera donc

— pf^pdt.{f — ç^y.

Nous pouvons arriver au même résultat par d'autres considérations. Pour cela, observons d'abord que les réactions mutuelles des molécules ne seraient point changées, si tout le système était animé d'une vitesse uniforme, égale et contraire à la vitesse de la tranche A'B', en sorte que les molécules situées sur cette tranche soient dans un état de repos absolu. Ainsi, nous pouvons admettre que tout se passe dans la colonne liquide CD6' A' à peu près comme dans un vase en repos, à large section, contenant une certaine quantité de liquide, et qui reçoit à aa surface une petite veine liquide animée d'une vitesse

Si.

484 MéCAfilQUB KATlOHlfELLE.

égale à i^ — i^'. Or^ dans ce cas, on observe que le liquide reste sensiblement immobile dans Pintérieur du vase^ d*où il résulte que la force vive détruite dans un temps donné par les réactions moléculaires est sensiblement égale à la force vive du liquide qui arrive dans le même temps.

D'après cela, les actions moléculaires qui s'exercent dans la masse liquide CDB'A' lui font perdre une force vive égale à pttu^dt, (^ — p»')*, et le travail correspondant est

— p(avfii,(p — 1/)%

comme nous Tavons déjà trouvé.

Ajoutant tous les travaux obtenus, et égalant le double de cette somme à la force vive perdue, on obtient l'équation cherchée.

Le terme ( ) > qui provient seul des réactions

\ ^^'g ) moléculaires, est égal à la hauteur due à la vitesse \> — v\ Il en résulte ce théorème important : Le passage brusque tle la vitesse \f à la vitesse plus petite %^' produit une perte de charge égale à la hauteur due à la différence de ces vitesses.

L'équation précédente, jointe à la relation (i), fait connaitrela vitesse i^'en fonction des pressions p, p' :

JNous avons supposé que les molécules liquides traversent l'ouverture AB avec une vitesse perpendiculaire au

HTDRODTUÂMfQUE. 483

plan de celte section. Si le liquide est conduit yers cette ouverture par une paroi continue, cet le supposition sera vérifiée; mais, si la forme de la paroi est discontinue, comme dans le cas de la figure, alors la veine liquide se contractera au delà de Touverture, el la supposition de la perpendicularité des vitesses ne sera plus vérifiée pour la section ÂR, mais bien pour la section de la veine contractée.

Dans ce cas, on imaginera que la veine liquide soit entourée d'une paroi très- mince, ouverte suivant la section de la veine contractée, et Ton substituera cette section à la section ÂB dans tous les raisonnements qui précèdent. Les formules resteront les mêmes, si ce n^est que les quantités ^, z, i^ se rapporteront à la section contractée, et que Taire tù de Touverture AB sera remplacée par celle de la section contractée Ào), X désignant le coefficient de contraction.

Le pression ^'peut se mesurer facilement, en ajustant un tube de verre vertical sur le contour de la section A'B^ et mesurant la hauteur à laquelle le liquide s'élève dans ce tube. Il n'est pas aussi facile de mesurer la pression p qui s'exerce dans la veine contractée; mais il est aisé d'obtenir une formule où celte pression soit remplacée parcelle qui s'exerce dans une section quelconque AtB«, située en amont de l'ouverture AB.

Soient :

(«>« Taire de la section AtB«;

1^0 la vitesse, et p« la pression moyenne sur la même section ;

Zo la hauteur du centre de gravité de cette section audessus du plan horizontal qui passe par le centre de gravité de la section de la veine contractée.

Appliquant le théorème des forces vives à la masse liquide comprise entre la section AfBf et la section de la

486 MéCÂNIQUE EATIOHMELLE.

veine contractée, on trouve Tëquation

qui, ajoutée à l'équation (a), donne

Si l'on élimine i^ et i^^ à l'aide des relations on obtient la formule

où il ne figure plus que des quantités facilement mesurables.

La formule principale ( a) a été dounée en premier lieu par Borda, dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris^ 1766, p. 690. Elle s'applique à tous les cas où quelque étranglement dans la colonne liquide produit des mouvements irréguliers et tumultueux. On voit par là avec quel soin il faut éviter les changements brusques de section dans les tuyaux de conduite, si Ton ne veut pas diminuer rapidement la dépense.

Plus généralement, toute cause qui produit une agitation irrégulière dans la colonne liquide diminue sa force vive et, par suite^ diminue sa vitesse. Les coudes brusques produisent cet effet à un haut degré pi faut donc les éviter avec le même soin que les étranglements.

On n'a pas encore appliqué le calcul avec succès à It détermination de la perte de charge occasionnée par un coude. Toutefois l'expérience montre que la perte de charge est négligeable, lorsque le coude est bien arrondi, et que le rayon du cercle est plus grand que dix fois le diamètre de la conduite.

HTDEODTKAMIQUB. 4^7

2. Influence d'un ajutage cylindrique sur la dépense d'un orifice. — Expérience de Venturi. — Quand le liquide commence â couler dans un ajutage cylindrique, Fig. g^ il arrive en remplissant

tout le cylindre, parce * ^''Ji que les premières molé-

cules qui se présentent ont peu de vitesse, et par suite peu de force centrifuge tendant a contracter la veine.

Mais, à mesun; que la vitesse augmente, les molécules liquides arrivant dans Tajutage se pressent plus vivement vers Taxe du cylindre, et il tend à se former un vide autour de la section contractée. En même temps, la pression atmosphérique, qui s^exerce à la sortie, refoule le liquide et le force à remplir encore tout Tajutage. De ces deux actions «combinées il résulte que la veine, se contractant à une petite distance de rembouchure, s'y trouve entourée d'un anneau de liquide à Télat de remous sous une pression inférieure à la pression atmosphérique, et sort en remplissant tout le cylindre. Comme d^ailleurs il doit passer dans le même temps une même quantité de liquide à travers chaque section, il y a nécessairement changement rapide de vitesse dans Fajutage, accompagné de mouvements irréguliers, et il en résulte une perte de force vive, qui se calcule a l'aide du théorème démontré au numéro précédent.

Admettons, poursimpliâer, quele liquide arrive d^un vase à large section, ouvertdans l'atmosphère ^ et soient :

488 MÉGANIQUB RATION ZffiLLE.

0) Taire de la seciion de Tajutage;

ci)^ Taire de la section horizontale du vase faite au niveau du liquide ;

jBo la hauteur du niveau dans le réservoir au-dessus du centre de gravité de Touverture par laquelle le liquide débouche dans l'atmosphère ;

A le coefficient de contraction de la veine dans Tajutage^

%f' la vitesse du liquide a sa sortie.

Appliquant la formule (4) du numéro précédent au liquide qui est contenu dans le réservoir et dans Tajutage,

et négligeant le rapport -^ 9 il vient

Si Ton pose ). = 0,62, on obtient pour la vitesse du liquide a sa sortie de Tajuiage

Le volume du liquide qui s'écoule pendant Tunité de temps, ou la dépense de Torifice, est

V= o,85w ^2gz9.

Sans ajutage on aurait eu

f/ = V^a^z,, et y z=zOy62<^ s/ngz.;

la vitesse eût é(é plus grande, mais la dépense eût été plus petite dans le rapport de 62 à 85.

Si le frottement du liquide contre la paroi de l'ajutage peut se négliger, ces résultats subsistent quelle que soit la longueur du tuyau, pourvu qu'elle soit au moins ^ate au double du diamètre. Nous verrons plus loin comment on peut tenir compte du frottement contre la paroi du tuyau, quand sa longueur est considérable.

HTDRODTNAMIQUB. 4^9

Les expériences donnent en moyenne pour la dépense des ajutages cylindriques

V = o,82w s^^gz^.

La petite diflërence qui existe entre cette formule et celle que le calcul nous a fournie peut être attribuée aux frottements contre les parois et aux petites inégalités entre les vitesses des filets liquides qui composent la veine (*).

Les expériences les plus célèbres sur les ajutages sont celles de Yenturi. Ce physicien a reconnu que Taugmentation de dépense produite par les ajutages cylindriques

( * ) Il est aisé de Toir que la supposition d'une TÎtesse commnne à tons les points d'une même section, égale au quotient de la dépense par l'aire de la section, donne toujours une force tîtc inférieure à celle qui existe réellement quand les Titesses sont inégales.

En effet, soient v la vitesse fictiTe commune à tous les points de la section Al, u la vitesse réelle correspondante à l'élément dot, et c la différence u — p. La force tîto réelle et la force Yiye calculée dans l'hypothèse d'une vitesse commune seront respectivement proportionnelles à

fu^dot et v*o».

Or, on a

d'ailleurs

3f -+- e = at'H- u,

et l'intégrale ftdot est nulle, puisque la dépense calculée d'après les vitesses réelles, fudot, est égale à la dépense calculée dans l'hypothèse de la vitesse commune, fvdoi. Donc il reste

/«"rfw = i^« -h /«* (a*» -+- w) rfft»;

comme iv-^u est une quantité essentiellement positive, il s'ensuit que la différence /u'Jw — p*» s'exprime par une intégrale dont tous les éléments sont positifs.

Il en résulte que dans l'équation (i) le coefficient de v** est un peu trop faible, quand on se place dans l'hypothèse d'une vitesse commune à toutes les molécules d'une même section. Par suite, la valeur de v' tirée de cette équation est un peu trop considérable.

Cette remarque est de M. Poncelet; elle s'applique à toutes les formules obtenues dans cette section de l'ouvrage.

490 MÉCANIQUE RATIOVZTBLLE.

est due à la différence des pressions qui s^exercent sur la section contractée de la veine liquide et sur la section de sortie. En effet, il a constaté, d'une part, que l'augmentation de la dépense cesse quand on pratique une petite ouverture dans la paroi de Tajutage qui entoure la veine contractée; et d^ autre part, que si Ton adapte sur l'ajutage un tube de verre recourbé, débouchant dans la cavité annulaire qui entoure la veine contractée, et plongeant son extrémité inférieure dans une cuve d'eau colorée, Peau de la cuve s'élève dans le tube et s'y maintient à une certaine hauteur.

Dans Tune de ses expériences, où la hauteur du niveau au-dessus de l'ajutage était de o°^,88, l'eau colorée s'est élevée à o°*,65.

Cette hauteur est précisément celle qu'indique le calcul. Car, si l'on nomme :

po la pression atmosphérique-, u' la vitesse à la sortie de Tajutage; p la pression sur la section de la veine contractée; u la vitesse sur cette même section ; Zo la hauteur du niveau au-dessus du centre de gravité de la même section ;

On a, d'après le principe des forces vives,

D'un autre côté, on a

ou bien, posant X = o,6a et remplaçant \f' par la valeur

observée 0,82 ^2gZQ^

HTDRODTIff AMIQUB. 49 1

Celte valeur» reportée dans réqualion précédente,

donne

"'[(êï)'-']'-^^'^^"-'

FIg. 85.

d'où Ton voît que la hauteur de la colonne d'eau soulevée dans le tube sera 0,75^0. Or, sî Ton fait Zo = o'^jSS, on trouve la hauteur o",66, qui s*accorde très-bien avec Fexpérience de Venturî .

3. Influence d^un ajutage conique divergent sur la dépense d^un orifice. — Nous supposons un ajutage divergent ABB'A', dont la plus petite section ÂB est raccordée avec les parois du vase par une surface continue. L'expérience montre que le liquide ne se sépare point de la paroi de l'ajutage, quand il mouille la substance dont cette paroi est formée, à moins que l'évasement ne soit trè^ considérable. Ainsi, nous admettrons que la veine liquide remplit exactement l'ajutage, et nous nous placerons dans les mêmes circonstances que quand il s'agissait d'un ajutage cylindrique. La notation restera la mème^ les quantités Cl), p, u se rapporteront à la plus petite section, et les quantités co', u' se rapporteront à l'ouverture de sortie. Quoiqu'il y ait un changement de vitesse assez rapide entre les sections AB, A'B^ néanmoins, comme la veine coule sans agitation, il n'y a pas lieu de tenir compte des actions moléculaires.

La vitesse à la sortie de l'ajutage sera donc

49^ MéClKilQUB RATIONJMELLE.

et le volume du liquide écoulé dans Tunilé de temps sera

La dépense V de Tajutage augmente quand on accroit l'ouverture de sortie co'; mais elle ne peut pas augmenter indéGnimcnt, si la charge z^ et la plus petite section oi restent constantes. En effet, la pression ^ devant rester positive, la relation

montre que la vitesse y ne peut surpasser i/ ngzo H — ^i par suite, la dépense coi^ ne peut pas être supérieure à la

quantité co 1/ 2gZo H — ^ •

La dépense atteint cette limite, quand les sections extrêmes vérifient la relation

ou bien

Si le rapport — était supérieur au second membre de

cette dernière équation, la veine liquide se briserait ou cesserait de remplir Tajutage.

L'ajutage divergent jouît de cette propriété remarquable, qu il peut fournir une dépense supérieure à celle qui aurait lieu par Touverlure de la plus petite section, si la veine liquide traversait celte ouverture sans contraction sous la charge donnée. Ce résultat s^explique eu observant que la pression moyenne p, dans la plus petite section de Tajutage, peut être inférieure à la pression atmosphérique po«

HYDRODYNAMIQUE. 493

On a peu d'expériences sur les ajutages divergents à forme continue; de sorte qu'on ne saurait dire avec quelque certitude de combien la limite réelle de la dépense est inférieure à celle que donne le calcul, en négligeant les frottements et supposant tous les filets delà veine liquide animés d'une même vitesse.

4. Effet du frottement dans les tuyaux d*une grande longueur. — On peut se figurer la colonne liquide qui coule dans un tuyau, comme formée de couches concentriques. La couche extérieure est ralentie par son frottement contre la paroi du tuyau ; cette couche ralentit à son tour la couche intérieure qui lui est contiguë, et celle-ci la couche suivante, en sorte que chaque couche est ralentie par la couche extérieure adjacente^ et accélérée par la couche intérieure. Ainsi, la vitesse n'est point la même sur tous les points d'une même section. Néanmoins, dans les calculs que nous avons en vue, nous pourrons supposer à toutes les molécules situées sur une même section une vitesse commune i^, égale au quotient du volume d'eau qui traverse la section dans l'unité de temps par Taire de cette section. Pour déterminer cette vitesse, dans le cas où le tuyau a une section constante et n'est point coudé brusquement, on peut considérer la colonne liquide comme une tige flexible, glissant dans l'intérieur du tube, et retardée sans cesse par le frottement des parois; mais l'intensité de cette force de frottement ne sera pas régie par les mêmes lois que dans le cas de deux corps solides glissant l'un sur Tautre.

Prony (*) a fait voir qu'on arrive à des résultats satisfaisants, si l'on suppose cette force égale au produit de la

C ) Cette loi du frottement des liquides STsit été signalée par Coulomb dès Tannée 1800, dans les Mémoires de l'Académie des Sciences, t. lU, p. a46; mais ce physicien n'avait point montré l'application qu'on peut eu faire à l'écoulement des liquides.

494 MÉCÂHIQOE «ÂTIOZr»BLLB.

densité du liquide, de la surface du tuyau baignée par le liquide, et d'une certaine fonction de la vitesse. Cette fonction est de la forme au-h^i^*i a et ^ représentent des coefficients dépendants de la nature du liquide, mais indépendants de la vitesse, indépendants de la section da tuyau et même de la nature des parois, du moins pour les substances communément employées.

Lorsque le liquide considéré est de Feau, si l'on prend le mètre pour unité de longueur, et la seconde pour unité de temps, on a, suivant Prony,

a HT 0,000170, p=o, 003416.

Soient :

p la densité du liquide *,

0) Taire de la section constante du tuyau, que nous supposerons circulaire^

D le diamètre de cette section ^

/ la longueur du tuyau ;

p la pression moyenne qui s'exerce sur la section supé-

rieure ;

p' la pression moyenne qui s'exerce sur la section inférieure ;

z la distance du centre de gravité de cette dernière section au plan horizontal qui passe par le centre de gravité de la section supérieure.

La vitesse étant la même sur toutes les sections, la somme des travaux des forces qui agissent sur la colonne liquide considérée est nulle pendant un instant infiniment petit dt. Or cette somme se compose du travail des pressions sur les sections extrêmes, (ùvdt.(p — p')\ du travail de la pesanteur, (ùi^dt.gpz; et enfin du travail de la force de frottement,

htdrodthamiqub. 4gS

D'après cela, si l*on pose

on a Téquation

La quantité J mesure la perte de charge due au frottement par unité de longueur.

Comme application de cette théorie, nous résoudrons le problème suivant :

Vn réservoir à large section^ où le liquide est main^

tenu à un niveau constant, se décharge par un tuyau

cylindrique et sans coudes dans un réservoir inférieur^

qui contient une certaine quantité de liquide, également

maintenu à un niveau constant. La surface libre du li^

quide est soumise de part et d'autre à la pression atmo^

sphérique. On demande de déterminer le volume du

liquide qui arrive dans le réservoir inférieur pendant

V unité de temps.

Fig.86.

Nous partagerons la masse liquide en trois parties : la première sera le liquide contenu dans le réservoir supérieur et dans une petite longueur du tuyau, égale à deux fois le diamètre; la seconde sera le liquide renfermé dans

496 MÉGAlflQUE nATlOlillELLB.

le tuyau, sauf la petite portioa déjà considérée et une portion égale prise à l'autre extrémité; la troisième sera le liquide contenu dans le réservoir inférieur et dans la petite longueur du tuyau égale à deux fois le diamètre qui lui est adjacente.

La notation précédente sera conservée pour ce qui regarde la colonne liquide renfermée dans le tuyau, c'està-dire pour la seconde partie du liquide considéré. De plus» nous nommerons :

^0 la dislance du centre de gravité de la section supérieure de cette colonne liquide au-dessous du niveau da réservoir supérieur ;

z^ la quantité analogue pour la section inférieure et le niveau du second réservoir;

ci)'^ Taire de la surface de niveau dans ce second réservoir ;

v\ la vitesse verticale du liquide sur cette surface;

v' la vitesse du liquide sur la section contractée de la veine qui arrive du tuyau dans le réservoir inférieur;

X le coefficient de contraction ;

/?P la pression atmosphérique.

Pour le mouvement de la première partie du liquide, nous avons, d'après le n® 2,

Pour la seconde partie du liquide, nous avons, d'après la tbéorie actuelle,

Enfin, pour la troisième partie du liquide, nous avons, diaprés le n^ 1, équation (3),

(4) •'V -^'-^ {y' - »'.)*- ^ -^=^* -+- ^gz\ ^ o.

HYDRODYNAMIQUE. 497

En outre.

Ajoutant les équations (a) et (4)9 retranchant du résultat le produit de l'équation (3) par -9 et ayant égard aux valeurs (1) et (5), il vient finalement

Telle est Téquation qui donne la vitesse s^ et, par suite, la dépense ^v.

Dans les cas ordinaires de la pratique, la section du réservoir inférieur est très-grande par rapport à la section

du tuyau. Alors on peut négliger le rapport —r » et l'équa*

tion se simplifie.

Si le tuyau débouche dans Tatmosphère, on n'a pas à considérer l'équation (4)9 et Ton a p' =zp^'^ Téquation qui détermine v" est alors

r /' \' s/B I Six

h désignant la distance Zq + z du centre de gravité de

Touverture de sortie au-dessous du niveau du réseivoir.

Quand la longueur du tuyau est très-grande par rap-

port au diamètre, la quantité H- ( r — ' 1 devient négligeable vis-à-vis de -pp» etlon a sensiblement