MOUVEMENTS QUELCONQUES DES FLUIDES
Les équations générales du niouvcmenl des fluides, telles qu'elles sont données dans tous les Traités de Mécanique, onl été trouvées par Euler (*). On ne sait les intégrer que dans un très-petit nombre de cas particuliers.
SECTlOiN I.
ÉCOULEMENT DES LIQUIDES DANS l'hYPOTHÈSE DU PARALLÉLISME DES TEANCHES.
Lorsqu'un liquide renfermé dans un vase s'écoule par un petit orifice, on admet souvent que les molécules qui se trouvent sur une même tranche horizontale y restent pendant toute la durée du mouvement, tant que la tranche n'est pas très-voisine de rorifice; de plus^ on néglige les vitesses horizontales des molécules, quand la section horizontale du vase varie peu avec la hauteur du plan sécant.
Ces suppositions constituent V hypothèse du pnrallé^ Usine des tranches. Elles conduisent à des formules qui, pour toute époque tant soit peu éloignée de celle où Técoulement commence, se réduisent aux formules du mouvement permanent, avec cette différence, toutefois, que la
(*) Mémoires de l* Académie de Derlin, lyjj, p. 274 et suit.
HYDRODYNAMIQUE. 5o3
hauteur du niveau au-dessus de Torifice est variable avec le temps.
Ainsi, nommant &) Taire de Torifice, i^ la vitesse de sortie, p la pression qui s'exerce à Torifice du dehors au dedans sur Tunité de surface, cdo, (^o' P^ ^^^ quantités analogues pour la surface de niveau, z la hauteur du niveau au-dessus de l'orifice, p la densité du liquide, et
supposant le rapport — assez petit pour qu on puisse né-
gliger son carré dans le calcul de la vitesse i^, on obtient les formules
(B) wp z=: 6>9 v^ OU bien t/^vdt z= — w, dz.
L'hypothèse du parallélisme des tranches a été introduite dans la théorie des fluides par Daniel Bemoulli (*).
l . Un vase contenant un liquide est réuni à un contrepoids P par un fil sans masse, qui passe sur une poulie fixe; tout le système est en mous^ement sous V action de la pesanteur^ pendant que le liquide s'écoule à trai^ers un petit orifice pratiqué dans la paroi du vase. On connatt la forme du vase, et la somme Q^ de son propre poids et du poids du liquide qu'il contient à une époque donnée t^. Déterminer, dans ces circonstances y la loi de r écoulement.
On peut considérer le vase comme immobile, pourvu que l'on regarde chaque molécule liquide comme sollicitée, non-seulement par la pesanteur, mais encore par une force accélératrice égale et contraire à l'accélération du système. Si l'on nomme Q la somme du poids du vase
(*) Hjrdrodjrnamique ; 1738.
5o4 MÉCÀKIQUE RÀTIOMUELLE.
et du poids du liquide qu'il contient à une époque quelconque <, la force accélératrice additionnelle, pour cette époque, estimée dans le sens de la pesanteur, sera sensiblement
On remplacera donc, dans la formule (A), Taccélération g par la somme
Alors, si les pressions p et ^o^ont égales, il vient
et, par suite (B),
'''' rf,.
D ailleurs, si Ton nomme Zo la valeur de z à Tépoque f», on a
(3) Q==Q.-^^p f ^.dz.
Les équations (i), (2), (3), jointes à Téquation de la surface du vase, qui fait connaître co^ en fcfnction de 2, suffisent pour déterminer toutes les circonstances de Técoulement.
Lorsque Q ^ P, on a
en sorte que l'écoulement est le même à cet instant que si le vase était immobile.
Si l'on avait F = o, la vitesse i' serait nulle, le liquide ne s'écoulerait point.
BYDRODYMAMIQIE. 3o3
Sî Ton suppose P = oo , il vient
c*est-à-dire que la vitesse d*écoulenient est à celle qui aurait Heu à Tétat de repos dans le rapport de \/a h Tunité. Daniel fiF.RiiouLLi, Hydrodynamique y sect. XI, § ig.
2. Démontrer quun vase cylindrique^ rempli de liquide et percé à sa base d'un petit orifice, emploie pour se vider un temps double de celui qui suffirait à l^ècou^ Itment du liquide renfermé primitivement dans la ^*ase^ si le niifeau était maintenu constamment à la même hauteur par l'introduction d'un liquide de même den~ site.
On suppose que le liquide éprouve une même pression du dehors au dedans^ au niveau supérieur et a l'orifice,
3. Quelle est la surface {le révolution qui forme un vase où le niveau s'abaisse de quantités égales dans des temps égauXj lorsque le liquide s'échappe par un petit orifice et que Vaxe de figure est vertical?
Si Ton prend Taxe des z dirigé suivant Taxe de révolution en sens contraire de la pesanteur, Téqualion de la courbe méridienne en coordonnées rectangulaires est de
la forme
a et h étant deux constantes, dont la dernière est nulle cjuand les pressions qui s'exercent du dehors au dedans, au niveau supérieur et à Torilice, sont égales.
Jean Bernoulli, Opéra, t. IV, p. 4^0.
4. Un vase formé d^unc demi-sphère et d'un plan diamétral est percé de deux petits orifices égaux, Vun
5o6 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
situé au sommet de la surface courbe^ Vautre situé sur la base. Ce vase^ étant exactement rempli d^ un liquide et placé dans r atmosphère^ peut se vider entièrement, soit par le premier orifice, soit par le second, suivant la position ^xe qu^on lui donne. On demande le rapport des temps nécessaires à Vécoulement complet dans ces deux hypothèses.
Soient A le temps nécessaire à récoulcment complet par l'orifice pratiqué au sommet, et B le temps nécessaire à Técoulement complet par Torifice pratiqué dans la base.
Ou trouve
Encycl. Metrop, Mix. 5r., 1. 1, p. 204.
SECTION II
OSCILLATIONS d'uN LIQUIDE RENFERMÉ DANS UN TUBE.
Nous négligerons ici le frottement du fluide contre les parois du tube, et nous supposerons que le mouvement a 4eu par tranches perpendiculaires à Taxe du tube, à.t nanière que chaque tranche reste composée des mêmes molécules pendant toute la durée du mouvement.
1 . Trouver la loi des oscillations d'une colonne liquide pesante, qui est renfermée dans un siphon formé de deux tubes verticaux, réunis par un tube horizontal de même diamètre.
Soient p la densité du liquide, w l'aire de la section du tube, / la longueur de la colonne oscillante, et z lakauteur du liquide dans l'une des branches verticales audessus du niveau qui convient à l'équilibre.
HYDRODYNÀMIQIJE. DOJ
'de
La force motrice effeclive est oitil -—y la force motrice
appliquée est — iptùgz. Donc
dH
z — A cos
A et B désignant deux constantes arbitraires.
Si Ton compte le temps à partir de l'instant où une oscillation commence, et que Ton nomme Zo la valeur initiale de z, il vient
z^z.cos\^^lf.ty
La durée de Toscillation esr tt i/ — : elle est la même
V -^8 que pour un pendule simple dont la longueur serait égale à la demi-longueur de la colonne liquide.
Newton donne celle loi dans ses Principes (lib. II, prop. 44) 4^ 6l 46) ; puis, assimilant les oscillations de la mer à celles de l'eau renfermée dans un siphon, il en conclut qu'une vague parcourt la dislance qui la sépare de la vague suivante, à peu près dans le même temps qu^un pendule d'une longueur égale à celte distance accomplit une oscillation \ car Teau de la mer exécute deux oscillations dans Tintervalle de temps qui sépare le passage de deux vagues successives au même point. 11 en résulte que, si l'on nomme / la distance de deux vagues
consécutives, la vitesse des vagues est sensiblement - sigt.
TT
2. Trouver la loi des oscillations d'un liquide pesant^ renfermé dans un tube de section variable.
5o8 MÉCANIQUE R▲T10^KELLF.
Soient :
p la densité du liquide;
p la pression rapportée à Tunité de surface sur une section de la colonne liquide-,
(ù Taire de cette section-,
j^ la vitesse du liquide suivant la normale à cette section;
s Tare de la courbe que forme Taxe du tube, compté depuis un point fixe jusqu\ila section considérée;
z la hauteur de Fextrémité de Tare s au-dessus d'uQ plan horizontal fixe.
Considérons la petite portion du liquide qui est comprise entre les sections faites aux extrémités des arcs i et s H- fis.
Les forces appliquées doivent faire équilibre aux forces effectives prises en sens contraire. Or la somme des forces appliquées, projetées sur la tangente à Taxe, est
eip , dz .
w -r- «j -f- /If pw -r "S ; ds ^^ as
la force etreclive, estimée suivant la même direction, est le produit de la masse ptùds par la dérivée totale de la vitesse prise relativement au temps, savoir
f/i' ds d*f dv dv
ds dt tlt ds dt
iVous avons donc Téquatiou
dp dz dv dv
Si nous intégrons dans Tétendue de toute la colonne liquide, en nommant p', z', i', .v', a>' et //, z", i/^, /, w'' les valeurs des ([nantîtes py 2,^^,5,0) aux deux extrémités
HTDRODYPiAMIQUE. D09
de la colonne, il vient
ou bien, d'après les relations
WP --»'«/ = »" i>" et P'nr-i,
ion
Les pressions extrêmes p\ p"^ la forme du tube et le volume du liquide étant connus, les quantités z\ 2^\ <a\
X*' (is — pourront s'exprimer en fonct
de la seule variable 5'; alors Téquation difTérentielle ne contiendra plus que les variables s^ et t] il suftira de rintégrer pour connaître le mouvement.
Supposons, comme exemple, qu'il s'agisse des oscilla^ tions du mercure dans un baromètre à siphon. Prenons l'origine des distances z et des arcs 5, à la hauteur où s'élève le mercure dans le tube scellé quand l'équilibre a lieu, ces distances et ces arcs étant comptés positifs lorsqu'on s'élève sur ce tube. Nommons /' la longueur de la colonne à petit diamètre et l" celle de la colonne à grand diamètre dans l'état d'équilibre, et supposons en général que les lettres simplement accentuées se rapportent au niveau supérieur et les lettres doublement accentuées au niveau inférieur.
Il vient
dx r 4- z' 0/'
5lO MÉCANIQUE RATIONNELLE.
J'où résulte l'ëquatioii
de
Si>les oscillations sont très-petites, nous pouvons négliger les termes du second degré par rapport à z' et a ses dérivées; Tiiitégrale est alors
A, B désignant des constantes arbitraires.
Si, de plus, la section ot)' est beaucoup plus petite que la section o)'', la valeur de z' se réduit approximativement à
z' = Acos^Y/^,/-hB^.
Dans ce cas, la durée des oscillations est sensiblement la même que pour un pendule simple de même longueur que la colonne au petit diamètre.
Cette dernière formule convient encore au cas où le tube aurait partout même section, quelle que soit d'ailleur Famplilude des oscillations.
EuLRR, Novi Comment, Acad, Petrop., 1770, p. 219.
3. Trousser la loi des petites oscillations de la colonne liquide, dans le thermomètre différentiel de Leslie et dans le thermoscope de Rumford,
Soient :
tù Taire de la section du tube;
/ la longueur de la colonne oscillante;
V le volume d'air renfermé dans Tappareil de chaque
HYDRODYNAMIQUE. 5àl
côté de la colonne liquide, quand cette colonne est en équilibre ;.
h la hauteur de la colonne liquide qui produirait une pression égale à celle qu'exerce Tair intérieur dans Tétat d'équilibre \
s le chemin parcouru par la colonne liquide à partir de sa position d'équilibre.
Pour le thermomètre de Leslie, on a Téquation
rf^f / hw hw \
Si Ton suppose les oscillations très-petites, leur durée est celle des oscillations du pendule simple dont la longueur serait
Pour le thermoscope de Rumford, on a Téquatiou
dO ^ \\-^fùS y — fùs)
Si Ton suppose les oscillations très-petites, on trouve que la longueur du pendule synchrone est
5ia MéCANIQVE RÀTIORNELLE.
