PRESSION
On admet ordinairement que la pression normale, qai s'exerce entre un fluide et un corps dans leur mouvement relatif, est égale, sur chaque élément de la surface choquée directement par le fluide, au produit de cet élémenl, par une constante X', par la densité du fluide, et par le carré de la vitesse relative estimée suivant la normale à l'élément considéré.
Si Ton prend respectivement pour unités de temps, de
longueur et de force, la seconde, le mètre et le kilogramme,
les expériences failcs sur les projectiles donnent en
moyenne
Nous appliquerons cette loi; et de plus nous chercherons à déterminer direclement la pression dans quelques cas simples, à Taide de principes incontestables.
La théorie de la résistance des fluides a vivement préoccupé les géomètres du dernier siècle. Newton le premier, puis les Bernoulli, d'Âlembert et d'autres ont beaucoup travaillé sur celte question; mais leurs efforts ont eu peu de succès. La théorie reste encore presque tout entière à trouver.
1 . Déterminer /a sommet du cône droit auquel doit appartenir un tronc y dont on connaît la hauteur et la
HYORODTK AMIQUE. 5 I 3
grande base, pour que la pression exercée sur la pelito base et sur la surface coni^exe, dans le sens de taxe, par un fluide qui se meut dans la même direction, soit un minimum.
Soient (^ la vitesse du fluide, p sa densité, h la hauteur du tronc de cône, a le rayon de la grande base, b celui de la petite base et a Tangle des génératrices avec l'axe.
La pression exercée sur la petite base est
La pression normale exercée sur la surface convexe étant le produit de Ap*^' sin'a par Taire de la surface, la composante parallèle à Taxe est le produit de k ci^* sin'a par la projection de la surface courbe sur le plan de la base, cVst-à-dire
Xpi»*sin*a.ir [n* — A»),
La somme de ces deux pressions est le produit d'une ({uantilé donnée et du binôme
n^ sîn' X -♦- ^' cof » a.
Il s'agit de déterminer a par la condition que ce bitÈéme soit un minimum.
Remplaçant t cosx par sa valeur acoêx — h sin«, (;t égalant à zéro la dérivée relative a «, on trouve
a eut 2
lA-^y/a^rp,
Cette écprition exprime que le sommet du cône H le contour de la grande baw sont â <^ale distance du point milieu de la droite qui joint le^ centres des deux bases. Xehtïiîi, Prineipia^ lib. If, prop. 34, frhoL II. •« I.HT. 33
5l4 MÉCARIQUE RÀTIOHlfELLE.
2. TTroui^er toutes les surfaces de réi^lution qui jouissent de cette propriété, qu^un fluide^ animé d^une vitesse parallèle à l'axe de figure^ exerce dans la direction de Vaxe, sur la portion de surface comprise entre deux parallèles quelconques, une pression qui est un minimum.
L'axe de révolution étant pris pour axe des x^ la pression exercée dans le sens de Taxe est proportionnelle à Tintégrale
[dx)
dx ou ' "
dy' J •' dx^-^dy
prise entre des limites constantes.
Il s'agit de déterminer la relation qui doit exister entre y e\. X pour que cette intégrale soit un minimum.
Ce problème se résout par le calcul des variations. Mous considérerons x el j comme des fonctions d'une variable indépendante, choisie à volonté. Nous n'aurons rien à changer dans la fonction comprise sous le signe
1 9 puisqu'elle ne contient que des différentielles premières. Soient L, U, M et M' les dérivées partielles de cette fonction prises par rapport à x, y^ dx et dy. Les équations de la courbe génératrice seront
Or, si Ton pose ^ = p, on trouve
HTDEOOTlfÀMIQUI. 5lS
D'aprè5 ces valears, la formule (i) donne immédialemeal
(3) axp^ = a(i^p^)\
a désignant une constante arbitraire.
Cette nouvelle équation permet d'éliminer ^ de la valeur de M^ en sorte que Ton a
Substituant cette valeur et celle de V dans la for» mule (2), iJ vient
Cette équation est vérifiée, soit par p = o, ce qui représente un cylindre, soit par
b désignant une nouvelle constante arbitraire.
Occupons-nous de cette dernière solution, seule intéressante.
Si Ton éliminait p entre les équations (3) et (4)t on
aurait Téquation finie de la courbe génératrice; mais
Fi^, g^. cette élimination n*est point
nécessaire pour trouver la
forme de la courbe.
Remarquons d'abord que l'on peut supposer la constante a positive, sans nuire à la généralité de lasolution^ car le signe de cette constante * ne dépend que du sens suivant lequel <m compte les coordonnées positives. La constante b dépend du point de l'axe de révolution qui est pris pour origine des coordonnées; on peutdonner à cette
•5i6 MÉCANIQUE RÀT101«^ELLE.
constante telle valeur que Ton voudra, sans que la forme de la courbe soit changée.
Ceci posé, Tcquation (3) peut s'écrire
(5) p'— 2^p''^lp^-hl =o.
Pour une valeur positive de -y cette équation ne peut
pas être satisfaite par des valeurs uégatives de p. Lorsque
- est supérieur h 2, la valeur;; = i, substituée dans le
premier membre, donne un résultat négatif; donc il est alors deux valeurs positives dep qui vériâent Téquation. La règle de Descartes montre qu*il n*y en a jamais un plus grand nombre. Les valeurs de x qui correspondent à ces deux valeurs de p sont réelles, d'après Téquation (4)9 quelque grande que soit la valeur attribuée à
-• Donc la courbe se compose de deux branches infinies.
Lorsque - est très-grrfnd, les valeurs p=.->p= i/-
rendent négatif le premier membre de Téquation (5); on en conclut que les deux valeurs correspondantes de p sont l'une très-grande, l'autre très-petite, c'est-à-dire que les deux branches, à mesure qu'elles s'éloignent, tendent à devenir parallèles, l'une à Taxe des ^, l'autre à Taxe des X. Elles n'admettent point d'asymptotes, car x converge vers l'infini lorsque ;; augmente ou diminue indéfiniment.
Chacune des dérivées -j-^ ~ n'est annulée que par
une seule valeur positive de pj et cette valeur est la même
pour les deux dérivées, savoir p === ^i, La valeur corres-
pondante de - est — =• Cette valeur rend égales les deux « 3v3 ^
■mm: a , 4 a yim; w«r <»r»imiiiiWii
étct]
car, m Ttm iaî: a ^= «u U saràct st nkittil 4 «» |^«i |Vtv
saiimct àt moÊMÊfàtT pressNHi ne peml j««Mb nNtm^Tir enûèraMBt leccxrle^'osi obttcnl m U <VHi|vaiil |Mir mi plan perpradicslaîre à Taj^e. Ma» on p(%l faire «n 9<irl« qneroB^oinre centrale mhI aussi |ietîie <jne Ton ^^enl^ Il softt pour cela de donner à la conslanie # «me vàl^iir irès-peiite. Celle faible \aIeor de la constanto ll'om|HS^Kl^ pas la surface de sVteadre indêfinioiont en K>iig\u'\ir ol en largeur^ car quelijae pclite que $oil cclli» i^msUntf^i pourrn qu'elle ne soii point nulle, on |^ni lonjoiiiia»sU gner une valeur de p suffisanimonl grando |H>nr qno .r p\ y dépassent toute quantité donnt^*
Ce problème est Tun dt's pn^miors i^xoniploR du oalrtl) des variations que I on renronti't» dann !«»• iW riu ilon giW»mèires du dernier siècle. C'osl à Mcwton (*) quo Ion imi doit la première soluiion*, il rnitnvn« R^n^ In ili^inniitri»i'|
(*) Prittcipia, lib. II, prop. H, «rhol.
5i8 mécahique bationhblle.
la propriété des tangentes représentée par Téquation (3). Plus tard Fatio Duiller (*), donna une démonstration analytique, mais elle est fort compliquée. L'Hôpital (**) la sîmpliâa beaucoup. Jean Bemoolli {***) se consola de n'avoir pas été le premier à résoudre cette intéressante question, en se récriant sur la facilité du problème, qn^l dit avoir trouvé sans plume ni papier pendant qu'il reposait sur son lit.
On trouve dans le Traité du Navire^ de Bouguer, et aussi dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris ^onr Tannée i733, la solution d'un problème da même genre que celui qui nous occupe : Une base qui est exposée au choc d^un/liude étant donnée, trouver le conoïde dont il faut la couvrir pour que Vimpulsion soit la moindre qu'il est possible. Bouguer entend ici par conoïde une surface telle, que les sections parallèles à la base soient semblables, et soient percées en des points homologues par une même perpendiculaire à la base; cette droite est celle qu'il nomme Vaxe du conoïde. Il arrive à ce résultat digne de remarque, que le conoïde de moindre résistance au mouvement suivant Taxe est aussi celai pour lequel la résîsta/nce suivant. l'axe est un minimum quand le mouvement/ est oblique*, et spécialement, si la base est tm demi-eercle et que l'axe passe au centre, la résistance totale est un minimum quel que soit le mouvement.
3. Déterminer la figure d'équilibre que prend une masse liquide placée entre un plan horizontal H, un plan
(*) De murorum inclinatione f rue l\fer as ad arbores sustinendas ; Londres,
(**) Mémoires de V Académie des Sciences de Paris, 1699, p. 107.
(•♦*) Acta eruditorum, 1699, p. 5i3, et 1700, p. ao8. — Opéra, t 1, p. 307 et SUIT.
HTDEODTIIAMIQUE. 5l9
vertical V et deux plans M, iVV perpendiculaires aux premiers, lorsquelle est soumise à V action d'un courant d'air dirigé perpendiculairement an plan V.
Il nous suffit de déterminer la section AP faite dans la
surface libre de la masse liquide par un plan parallèle
Pig gg aux deux plans M, M^
Prenons l'origine des
^ coordonnées au sommet
jr A, l'axe des x dirigé — dans le sens de la pesanteur et Taxe des y dirigé en sens contraire du courant.
Soient s l'arc de la courbe AP compté à partir du point A, a la densité du liquide, v la ritesse du courant, p la densité de Tair et k la constante définie dans les préliminaires.
Le liquide supérieur exerce en vertu de son poids, en un p<nnt <{uelcon<{ue P de la courbe, une pression égale k
gflX.
Au même point, la pression exercée par le courant d*air est
Égalant ces deux pressions, et posant, poor abréger.
il vient
ou bien
— dx.
5aO MÉCANIQUE RÀTIONNKLLE.
Cette équation a pour îutëgrale, comme on sait,
rt — X
r = V 2 <ij? — x^ -{- a arc ces
On n*ajoute pas de constante, parce que la courbe passe k Torigine.
La surface libre du liquide est donc une surface cylindrique qui a pour base une cycloïde; le rayon du cercle
générateur de la cycloïde est -^ •
Euler, à qui nous empruntons ce problème, a considéré le cas où le courant d'air est incliné à l'horizon. EuLEft, jécta Jcad. Petrop.y 1777, part. I, p. 190.
4. Déterminer la forme et le mouv^cmcnt d'une bulle qui s* élève à trai^ers un liquide.
Soient QQ' le niveau du liquide, ARA' un demi-méri- Fig. 89. dien de la bulle. Prenons pour axe
des X r horizontale OX qui passe au point B où la tangente au méridien est verlicale. Nommons :
y la hauteur au-dessus de t-ei axe d'un point P appartenant à la branche supérieure de la courbe méridienne; y la distance an même axe d'un point P' de la branche inférieure ; b la distance OA ; b' la distance O A' 5 5 l'arc AP'j z la distance du point O au-dessous du niveau QQ';
\^ la vitesse du point O ou — — ;
p la densité du liquide ambiant; (j celle de la bulle.
UYOAODYKAMIQUE. 521
Nous admetirons que la pression exercée par le liquide ambiant sur cbacun des éléments de la surface de la bulle est égale à la pression qui aurait lieu si la bulle éuit en repos, plus la pression due a la vitesse relative. Nous supposerons, comme à Tordinaire, cette seconde partie de la pression proportionnelle au carré de la vitesse. De plus, comme la bulle se déforme lentement, nous pourrons admettre, sans grande erreur, que chaque point de la surface est animé de la même vitesse que le point O.
Ceci posé, la constante définie dans les préliminaires étant toujours représentée par /', les pressions normales exercées aux points B, A, P, rapportées à Tunitéde surface, seront respectivement
Or la pression au point P est égale à la pression au point Â, plus la pression due à une colonne fluide de même nature que la bulle et d'une hauteur égale a la différence de niveau h — y. On a donc
gci^ - ^) -»- ^r' âs^ = ^p(* - *) ■*■ ^'P'^ -^g^i^—x)'
De même, en comparant les pressions exercées aux points P et B, on trouve
djt^
Ces équations donnent les suivantes :
.La dernière montre que la branche supérieure APB est
5 23 MÉCANIQUE mATIOHKBLLB.
une detni-cycloïde, engendrée par un cercle de diamètre b ronlant sur Thorizontale OB.
Considérons dans la bnlle un filet yertical PP' de trèspetite section w. Le poids de ce filet est ^g^iy'hy)^ la pression qu^îl supporte au point P dans le sens de la pesanteur est (i), ^g(pz — ay), et la presrion yerticale qu'il supporte au point P' de bas en haut est «ff /? (« 4-/0 5 donc la force accélératrice qui tend à le soulever a pour valeur
On trouverait de même, pour l'expression de la force accélératrice qui tend à soulever le filet central AÂ',
Les accélérations verticales des diverses molécules de la bulle étant peu diflérentes les unes des autres, on peut égaler les forces accélératrices des deux filets. Il en résulte Téquation du mouvement,
dv ^ p — (T b'
dt'^^ (T b-{'b''
et aussi
On voit, par cette dernière relation, que la branche inférieure A'P'B est une demi-cycloïde dont les ordonnées verticales ont élé diminuées dans un même rapport.
Il reste à déterminer la quantité b\ On y parviendra en égalant la masse connue de la bulle, M, au produit de la densité a et du volume calculé en fonction de b' à Vaide
HTDUO DT H AMIQUE . 5 a3
des équations de la courbe mëridienne. L^ëquadon est
nh
Remplaçant j^ par j-y^ y par - (i -Hcoso)), x par
- (o) -f- sînco), et intégrant par rapport à o) entre les limites G etTT, on trouve
Il s'ensuit
D'après cette valeur et celle de &, Féquation du mouvement devient
V*' /Sir» ,\ dt " 9 Wg'(p-<r)'\iG 3/ '
Si la bulle est liquide, réquation est de la forme
• dv
A et B désignant des constantes. On sait l'intégrer une première fois en quantités finies.
Si la bulle est gazeuse, on devra poser a = hzj h étant
une constante, puis remplacer ^^ par — — -, alors on aura
une équation du second ordre, où ne figureront que les variables z et t.
Pacahi, Journal de M. Oeiie, t. XI, p. 384; i834-
5ll MéCANIQUE RATIOHNELLE.
