PRESSION

On admet ordinairement que la pression normale, qoi s'eicerce entre un fluide et un corps dans leur mouvement relatif, est égale, sur chaque élément de la surface choquée directement par le fluide, au produit de cet élémenl, par une constante A, par la densité du fluide, et parle carré de la vitesse relative estimée suivant la normale à l'élément considéré.

Si Ton prend respectivement pour unités de temps, de

longueur et de force, la seconde, le mètre et le kilogramme,

les expériences faites sur les projectiles donnent en

moyenne

Nous appliquerons cette loi; et de plus nous chercherons à déterminer directement la pression dans quelques cas simples, à Taide de principes incontestables.

La théorie de la résistance des fluides a vivement préoccupé les géomètres du dernier siècle. Newton le premier, puis les Bernoulli, d'Alembert et d'autres ont beaucoup travaillé sur celte question; mais leurs eflbrts ont eu peu de succès. La théorie reste encore presque tout entière à trouver.

1 . Déterminer /« sommet du cône flroit auquel doit appartenir un tronc, dont on connaît la hauteur et la

HYDRODYNAMIQUE. 5l3

grande base, pour que la pression exercée sur la petite base et sur la surface connexe, dans le sens de Vaxe, par un fluide qui se meut dans la même direction, soit un minimum.

Soient %f la vitesse du iluide, p sa densité, h la hauteur du tronc de cône, a le rayon de la grande base, b celui de la petite base et a Tangle des génératrices avec Taxe.

La pression exercée sur la petite base est

La pression normale exercée sur la surface convexe étant le produit de Api^* sin*a par Taire de la surface, la coin* posante parallèle à Taxe est le produit de hpvi* sin'a par la projection de la surface courbe sur le plan de la base, c'est-à-dire

/pM^sin'a.TT [a} — A*).

La somme de ces deux pressions est le produit d'une quantité donnée et du binôme

à^ sin* X -h 6' cos' a,

II s'agit de déterminer ol par la condition que ce binéine soit un minimum.

Remplaçant &cosa par sa valeur acosa — h sina, et égalant à zéro la dérivée relative à a, on trouve

a cot a -:: -//-+-

y/«' + iA..

Celte éiiuation exprime que le sommet du cône et le contour de la grande base sont à égale distance du point milieu de la droite qui joint les centres des deux bases. Nevvtox, Principia^ lib. Il, prop. 34t sdiol.

U. «• KDIT. 33

5l4 MÉCANIQUE RATIOlîlîELLE.

2. TVou^er fouies les surfaces de révolution qui jouissent de cette propriété, qu'un fluide^ animé d^une vitesse parallèle à Vaxe de figure^ exerce dans la direction de Vaxe, sur la portion de surface comprise entre deux parallèles quelconques, une pression qui est un minimum.

L'axe de révolution étant pris pour axe des x, la pression exercée dans le sens de Taxe est proportionnelle à rintégrale

/^\di) , r dy^

prise entre des limites constantes.

Il s'agit de déterminer la relation qui doit exister entre jr et X pour que cette intégrale soit un minimum.

Ce problème se résout par le calcul des variations. Mous considérerons x gI j comme des fonctions d'une variable indépendante, choisie à volonté* Nous n'aurons rien à changer dans la fonction comprise sous le signe

1 9 puisqu'elle ne contient que des différentielles premières. Soient L, U, M et M' les dérivées partielles de cette fonction prises par rapport à x, y^ dx et dy. Les équations de la courbe génératrice seront

Or, si l'on pose —■ = p, on trouve

HTDAODTNÂIUQIII. 5lS

D'après ces valears, la formule (i) donne immédiatement

(3) :typi^ = a{i^p^)\

a désignant une constante arbitraire.

Cette nouvelle équation permet d'éliminer y de la valeur de M^ en sorte que Ton a

Substituant cette valeur et celle de \J dans la formule (2), il vient

Cette équation est vérifiée, soit par p = o, ce qui représente un cylindre, soit par

b désignant une nouvelle constante arbitraire.

Occupons-nous de cette dernière solution, seule intéressante.

Si Ton éliminait p entre les équations (3) et (4)t on aurait Téquation finie de la courbe génératrice^ mais Fig. g^. cette élimination n'est point

y nécessaire pour trouver la

I forme de la courbe.

/ ^,.^' Remarquons d'abord que

/ y^ l'on peut supposer la con-

stante a positive, sans nuire ^^ à la général! té de la solution;

. car le signe de cette constante

ne dépend que du sens suivant lequel on compte les coordonnées positives. La constante b dépend du point de l'axe de révolution qui est pris pour origine des coordonnées \ on peut donner à cette

•5tl6 MÉCANIQUE RÂTIOHNELLE.

constante telle valear que Ton youdra, sans que la forme de la courbe soit changée.

Ceci posé, Tcquation (3) peut s'écrire

Pour une valeur positive de -» cette équation ne peut

pas être satisfaite par des valeurs négatives de p. Lorsque

~ est supérieur à 3, la valeur p z= i^ substituée dans le

premier membre, donne un résultat négatif; donc il est alors deux valeurs positives de p qui vérifient Téquation. La règle de Descartes montre qu'il n*y en a jamais un plus grand nombre. Les valeurs de x qui correspondent à ces deux valeurs de p sont réelles, d'après Téquation (4)9 quelque grande que soit la valeur attribuée à

~* Donc la courbe se compose de deux branches infinies.

Lorsque - est très-grind, les valeurs p = -» p = i/-

rendent négatif le premier membre de l'équation (5) 5 on en conclut que les deux valeurs correspondantes de p sont Tune très-grande, l'autre très*petite, c'est-à-dire que les deux branches, à mesure quelles s'éloignent, tendent à devenir parallèles, Tune à l'axe des j^ l'autre à l'axe des X, Elles n'admettent point d'asymptotes, car x converge vers l'infini lorsque p augmente ou diminue indéfiniment.

Chacune des dérivées ^j —- n'est annulée que par

une seule valeur positive de p^ et cette valeur est la mémo

pour les deux dérivées, savoir ;; =::= v^i. La valeur corres-

pondante de - est — =• Cette valeur lend égales les deux ■ ^ 3v'3

urDAODYHAMIQVE. 5l.7

racines réelles de Téquatiou (5). Comme alors il ne ré«' pond aux deux racines qu'une seule valeur dex, il s'ensuit que les deux branches de la courbe viennent se loucher. Tune Faulre en un point  ; à ce point leur inclinaison' sur Taxe des x est de 6u degrés. En outre, la courbe n*tf pas de points d'inflexion. Le point A est un point de rebroussement, carTéquaiion (5) n^est vériûéepar aucune

valeur réelle de p lorsque — est inférieur à — = • Ce point

de rebroussement est du premier genre, puisque, à partir de ce point, p croit sur Tune des branches et décroit sur Tautre.

La plus petite valeur de y, — -=ri ne peut être nulle^

car, si Ton fait a = o, la surface se réduit à un plan perpendiculaire à Taxe, et alors la pression est évidemment un maximum et non un minimum. Il suit de là que la surface de moindre pression ne peut jamais recouvrir entièrement le cercle qu on obtient en la coupant par un plan perpendiculaire a Taxe. Mais on peut faire en sorte que Touverture centrale soit aussi petite que Ton veut. U suffit pour cela de donner à la constante a une valeur très-petite. Cette faible valeur de la constante u*enipèche pas la surface de s^étendre indéfiniment en longueur et en largeur^ car quelque petite que soit celte constante, pourvu qu'elle ne soit point nulle, on peut toujours assigner une valeur de p suffisamment grande jiour que x eiy dépassent toute quantité donnée.

Ce problème est Tun des premiers exemples du calcul des variations que Ton rencontre dans les écrits des géomètres du dernier siècle. C'est à Newton (*) que Ton en doit la première solution^ il énonça, sans la déuiouti^er,

(•) Principia, Ub. II, prop. 34, schol.

5i8 mécahique mATioiniBLLB.

la propriëté des tangentes représentée par l'équation (3). Pins tard Fatio Duiller (*), donna une démonstration analytique, mais elle est fort compliquée. L'Hôpital (**) la sîmpliâa beaucoup. Jean Bemoulli ^***) se consola de n'avoir pas été le premier à résoudre cette intéressante question, en se récriant sur la facilité du problème, qnll dit avoir trouvé sans plume ni papier pendant qu'il reposait sur son lit.

On trouve dans le Traité du Navire^ de Bouguer, et aussi dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris pour Tannée 1733, la solution d'un problème du même genre que celui qui nous occupe : Une base qui est exposée au choc d'un fluide étant donnée, trouver le conoïde dont il faut la couvrir pour que l'impulsion soit la moindre qu'il est possible. Bouguer entend ici par conoïde une surface telle, que les sections parallèles à la base soient semblables, et soient percées en des points homologues par une même perpendiculaire à la base; cette droite est celle qu'il nomme Vaxe du conoïde. Il arrive! ce résultat digne de remarque, que le conoïde de moindre résistance au mouvement suivant Taxe est aussi celai pour lequel la résista/nce suivant .l'axe est un minimum quand le mouvement/ est oblique; et spécialement, si la base est un demi-eercle et que l'axe passe au centre, la résistance totale est un minimum quel que soit le mouvement.

3. Déterminer la figure d'équilibre que prend une , masse liquide placée entre un plan horizontal H, un plan

(*)Demurorum inclinatione frucl{feras ad arbores sustinendas; Londres,

(**) Mémoires de V Académie des Sciences de Paris, 169g, p. 107.

(»♦*) Acta eruditorum, 1699, p. 5i3, et 1700, p. ao8. — Opéra, 1 1, p. 3o7 et SUIT.

HTDEODTHÂMIQDE. 5l9

vertical V et deux plans M, M' perpendiculaires aux premiers^ lorsquelle est soumise à V action d*un courant d'air dirigé perpendiculairement an plan Y.

Il nous suffit de déterminer la section AP (kite dans la surface libre de la niasse liquide par un plan parallèle fi^ gg aux deux plans M, M'.

Prenons l'origine des coordonnées au sonunet A, l'axe des x dirigé dans le sens de la pesanteur et Taxe des jr dirigé en sens contraire du courant.

Soient s l'arc de la courbe AP compté à partir du point A, a la densité du liquide, v la ritesse du courant, p la densité de Tatr et k la constante définie dans les préliminaires.

Le liquide supérieur exerce en vertu de son poids, en un p<nnt «{uelconque P de la courbe, une pression égale à

gax.

Au même point, la pression exercée par le courant d*air est

Égalant ces deux pressions, et posant, pour abr^er,

il vient ou bien

Hy^^J^a..

5aO MÉCANIQtJE RÀTIONNKLLE.

Celte équation a pour intégrale, comme on sait,

rt — X

rz=z U^ax — x^ -k- a arc ces

On n'ajoute pas de constante, parce que la courbe passe à Torigine.

La surface libre du liquide est donc une surface cylindrique qui a pour base une cycloïde ; le rayon du cercle

générateur de la cycloïde est -^ •

Euler, à qui nous empruntons ce problème, a considéré le cas où le courant d'air est incliné à l'horizon. Euleu, Jeta Jead. Petrop,^ *777> P^""^- ï> P« '90.

4. Déterminer la forme et le mouvement d'une bulle qui s* élève à travers un liquide.

Soient QQ' le niveau du liquide, ARA' un demi-méri- Fig. 89. dien de la bulle. Prenons pour axe

des X Thorizontalc OX qui passe au point B où la tangente au méridien est verlicale. Nommons :

y la hauteur au-dessus de («t axe d'un point P appartenant k la branche supérieure de la courbe méridienne; y la distance au même axe d'un point P' de la branche inférieure; b la distance OA ; b' la distance O A' 5 5 l'arc AP 5 z la distance du point O au-dessous du niveau QQ';

V la vitesse du point O ou r-;

p la densité du liquide ambiant; (J celle de la bulle.

UYOAODYKîAMIQUE. 521

Nous admetirons que la pression exercée par le liquide ambiant sur cbacun des éléments de la surface de la bulle est égale à la pression qui aurait lieu si la bulle était en repos, plus la pression due à la vitesse relative. Nous supposerons, comme à Tordinaire, cette seconde partie de la pression proportionnelle au carré de la vitesse. De plus, comme la bulle se déforme lentement, nous pourrons admettre, sans grande erreur, que cbaque point de la surface est animé de la même vitesse que le point O.

Ceci posé, la constante définie dans les préliminaires étant toujours représentée par /r, les pressions normales exercées aux points B, A, P, rapportées à Tunité de surface, seront respectivement

Or la pression au point P est égale à la pression au point A, plus la pression due à une colonne fluide de même nature que la bulle et d'une hauteur égale à la différence de niveau h — y. On a donc

dx'^

De même, en comparant les pressions exercées aux points P et B, on trouve

Ces équations donnent les suivantes :

, dx^ ^ = ^d?'

La dernière montre que la branche supérieure APB est

522 MéCÀNIQUE BÀTIOHlfBLLB.

une demi-cycloïde, engendrée par un cercle de diamètre b roulant sur Thorizontale OB.

Considérons dans la bulle un filet vertical PP' de trèspetite section o). Le poids de ce filet est <*fif^(j"-f- J^')i la pression qu'il supporte au point P dans le sens de la pesanteur est (i), tùg(pz — (7/), et la pression yerticale qu'il supporte au poin t P' de bas en haut est ^gp(* "♦"J'O 5 donc la force accélératrice qui tend & le soulever a pour valeur

On trouverait de même, pour l'expression de la force accélératrice qui tend à soulever le filet central AA',

p-q- b' ^ fj à-hb''

Les accélérations verticales des diverses molécules de la bulle étant peu différentes les unes des autres, on peut égaler les forces accélératrices des deux filets. Il en résulte Téquation du mouvement,

et aussi

dt"^ (T b-hb''

On voit, par cette dernière relation, que la branche inférieure A'P'B est une demi-cycloïde dont les ordonnées verticales ont été diminuées dans un même rapport.

Il reste à déterminer la quantité i^ On y parviendra en égalant la masse connue de la bulle, M, au produit de la densité a et du volume calculé en fonction de b' à Taide

HTDHODTHÂJIIQUB. 5a3

des équations de la conrbe mëridienne. L'équation est

M = lirai (x-hy)xdx.

Remplaçant j' par j-jr^ y par -(n-coso)), x par

- (&) + sinb)), et intégrant par rapport à a> entre les limites o et TT, on trouve

Il s'ensuit

D'après cette valeur et celle de b, l'équation du mouvement devient

dv û — 9

irp3^ (Zn^ ,\

di "" fj yig^[^-^^y \ ,6 3/ " Si la bulle est liquide, l'équation est de la forme

• dv

A et B désignant des constantes. On sait Tint^er une première fois en quantités finies.

Si la bulle est gazeuse, on devra poser a = hz^ h étant

une constante, puis remplacer v par — — - *, alors on aura

une équation du second ordre, où ne figureront que les variables z elt.

Pagani, Journal de 3f. Creile, t. XI, p. 384; i834-

$a4 MéCÀMIQUE RÀTlOnVELLE.

Maupertuis (^) a déterminé le mouvement d'une bulle d'air en la supposant spliérique. Cette hypothèse étant certainement bien éloignée de la vérité, rAcadémie de Bruxelles considéra le problème comme non résolu, et le mit au concours pour Tannée 1828.

6. On suppose un liquide oscillant sons V action de la pesanteur^ dans un siphon qui est formé de deux tubes verticaux réunis par un tube horizontal de même diamètre. Il s^agit de démontrer que la pression moyenne exercée, pendant chaque oscillation^ sur un élément de la paroi du tube constamment en contact a^ec le liquide, est inférieure à celle qui s'exercerait sur le même e'/fment si la colonne liquide était en repos.

On entend par pression moyenne exercée pendant une oscillation le rapport

prit

OÙ p représente la pression à l'époque f, et T la durée d'une oscillation.

Soient p la densité du liquide ;

/ la longueur de la colonne \

z la hauteur du liquide dans lune des branches verticales au-dessus du niveau qui convient à l'équilibre;

A la distance de Télément considéré au même niveau d'équilibre, cette distance étant comptée positive audessous du niveau *,

2o la valeur de z au commencement de chaque oscillation.

D'après le principe de d'Alembert, et en supposant que

(") Uémoires de l'Académie des Sciences de Paris^ 1733, p. a55.

hydrodyuamique. 5a5

le moavemeDt ail lieu par tranches perpendiculaires à Taxe du tube, la portion de la colonne liquide qui se ter* raine vers Télément considère doit être en équilibre souft les actions réunies de la pression p qui s'exerce sur la base, du poids de la colonne verticale située au-dessus de l'élément eisj et d'une force égale et contraire k la force accélératrice de la même colonne verticale. On a donc Féquation

pz=gp(h-\-z)-hp[h -H») ^• Eu outre, on a trouvé précédemment (p. 5oy)

IVaprès ces valeurs, il vient / pt/t i Je I cos-—£//

— Y— -s^pA-^-^-^p^l^-VJ T

/ cos' ^ «//

8i le liquide était en repos, la pression moyenne serait gph ; donc, par le fait même des oscillations, la pression moyenne est diminuée de

/ Combes, Journal de M. Lioutille, t. YIII, p. 4^^; i843.

5a6 MÉCÂIIIQUE AÀTIOHIIBLLE.

M. Anatole de Caligny (^) a construit sur ce principe un appareil très-simple, composé de deux tubes sealement, qui est capable d'élever Teau à une petite bauteor, par Teffet d'une agitation irrégulière produite dans le liquide du réservoir supérieur. C'est encore dans cette diminution de pression occasionnée par le mouvement du liquide, que M. de Caligny trouve l'explication de ce fait singulier, que certains cours d'eau du littoral se jettent dans la mer, selon toutes les apparences, bien que Tenr niveau soit moins élevé qu^elle.

6. Calculer directement la pression totale exercée contre les parois d^un tube^ dans lequel se meut un liquide sous Vaction de forces quelconques, en supposant que le mouvement ait lieu par tranches perpendiculaires à Vaxe du tube.

Rapportons le système à trois axes rectangulaires.

X, y^ z les coordonnées d'un point de la courbe qui forme l'axe du tube -,

s Tare de cette courbe qui se termine au point (x, /, z);

OL l'angle que la tangente à la courbe au même point fait avec l'axe des x ;

b) l'aire delà section du tube au même point;

V la vitesse du liquide qui traverse cette section \

X, Y, Z les composantes parallèles aux axes de la force accélératrice qui est appliquée aux molécules situées sur cette même section \

p^ dsj pj ds^ p. ds les composantes parallèles aux axes de la pression que la trancbe liquide comprise entre les

{*)Jounud de M. liounUe, t VIII, p. a3.

HYDRODYNAMIQUE. Sa^

sections faites aux extrémités des arcs s et s + (ls exerce contre la paroi du tube-,

PjT la pression totale que le liquide exerce sur le tube dans la direction de l'axe des x ;

p la densité du liquide ;

OToj ^oj «0» Wo, v'oj et jTi, 5,, ai, 0)1, 1^1 les valeurs de x, 5, a, co, t^ correspondantes aux extrémités du tube.

Si Ton exprime que les forces perdues se font équilibre sur la tranche considérée, il vient

Il en résulte, en particulier, que la pression totale exercée dans la direction de Taxe des x s^xprime par la formule

L accélération -^ peut se représenter par — — \

mais il faut observer que v est une fonction de t et de s^ CL une fonction de s seulement, et que la dérivée est ici une dérivée totale. On a donc

dv

pcosa

ds

cosa

dt^

dt

ds

dt^

les dérivées qui figurent au second membre étant des dérivées partielles.

De pins, on a les relations

ds

— - = p, ds cosa = dx^

dv dv^

528 MÉCASIQUE AATIOAIIELLE.

Sabstituant ces valeurs dans Texpression de P„ on obtient

— pwtf p^ («', cosa, — p. cosx«}.

Des formules semblables donueraieni la valeur de la pression qui s'exerce suivant Taxe des j^ et suivant Taxe des z.

Le terme qui contient la dérivée -^ disparait quand le

mouvement est permanent.

Si les forces appliquées au liquide se réduisent à la pesanteur, alors, nommant II le poids du liquide conlenu dans le tube et a Tangle que fait Taxe des x avec la verticale, on. aura

p I Xvids zsz n cosa ;

et, si Ton se borne à considérer le mouvement lorsqu'il est devenu permanent, la pression totale ne sera point changée, de quelque manière que Ton courbe le tube, pourvu que les extrémités conservent la même différence de niveau et des directions parallèles à leurs directions premières; il faut néanmoins exclure les coudes brusques qui changeraient la nature du mouvement.

Ces formules ont été données pour la première fois par Euler. La démonstration qui précède est de Coriolis (Journal de M. Liouville^ t. IT, p. i3o; 1837).

7. Démonti*er directement, parle pn'ncîpe des forces vii^eSy qaune veine Vqidde^ tombant sur un plan quelle ne quitte qu après avoir perdu toute sa vitesse perpendicuUnre au plan, exerce sur cette surface une pression normale, proportionnelle au can^ de la vitesse ivlaWe

HTDRODYNAMrQUE. 5 «9

de la veine et du plan estimée suivant la normale an plan .

Jean Bebnoulli, Comment, Petrop,^ '7^7»

p. S-j. — Opéra ^ t. IV, p. 422,

8. Revenons à Thypothèse diaprés laquelle la pression qui s'exerce entre un fluide et une surface solide, dans leur mouvement relatif, est proportionnelle au carré de la vitesse relative estimée suivant la normale, et proposons-nous les problèmes suivants.

Trouver le centre de pression d^un demi-cercle qui tourne autour de sa base dans unjluidc homogène.

Le centre de pression est situé sur le rayon qui partage la surface en deux parties symétriques, à une distance de

la base égale à la fraction —^ du rayou.

9. Un cylindre de révolution^ homogène, placé debout sur un plan horizontal, est exposé au choc d'un vent gui souffle dans une direction parallèle au plan. On demande quelle est la vitesse du vent nécessaire pour ren» verser le cylindre, en supposant la surface du plan de telle nature^ que le cylindre ne puisse pas glisser.

Si l'on nomme P le poids du cylindre, / sa hauteur, p la densité de Tair, h la constante définie dans les préliminaires et V la vitesse cherchée, on trouve

10. Déterminer la forme d^ équilibre d'une voile rectangulaire, dont deux côtés opposés sont maintenus dans des directions parallèles entre elles et perpendiculaires à la direction du vent.

La surface cherchée est évidemment une i^urfac e cylindrique.