CHAPITRE m

De V égalité dans les quantités géométriques*

5l. yj^ dit que deux quantités géométriques sont égales lorsque la seconde n*est autre chose que la première qui aurait changé de place sans que rien fût changé en elle; d'oii il suit que chacune d'elles peut être amenée; par un déplace* meut convenable, à occuper le èoiéme espace que l'autre.

Il résulte de là que pour s'assurer si deux quantités sont ^ales, il faut voir s'il est possible de transporter Pune de Manière qu'elle coïncide aVcc l'autre dans toutes ses parties, T)u en d'autres termes, si elles sont superposables. tl est bien entendu' que les volumes sont dépouillés de toutes les ptoprié^ tés physiques , sans lesquelles on' ne lés trouve pas dan^ la nature , mais dont Ils sont indépendans dans tou^ les rapports dont s'occupe la Géométrie. Ainsi la résistance et l'impénétrabilité de la matière ne gêneront en rien les superpositions des volumes , puisquHl ne s'agit que de Fespaoe figuré et kion tùsr tériel.

Après Inégalité absolue ou déâuperj^ôsition, la plus ^^ndé en applications est VégaUté en grandeur indépétadantnnettt de la forme; éH lui a donné le nom particulier ^équivalence. Ainsi deux lignes seront équivalentes lorsqu'elles auront la même étendue en longueur sans pouvoir êti^ * superposées ; deux surfaces seront léquivalentes lorsqu'elles renfermeront la nrèttie quantité de parties superficielles sans avoir la même ferme; c'est ce qui airivera lorsque de deux surfa^^es égales on retranchera une même surfooe à des places dil^entes \ il est évident qu'il restera de part et d'atftre la même qtiakitité sùperfioieBe, et que vependaiit la oûôinddi^Uïe ne sera plus possible» Il en serait ds même des volumes.

L^égalité en périmcti*e a ati*9Î ti^ên Un nom partieulîer j deux figures entre lescpicUes elle eiîste sont dites isopérû' mètres f ce rapport petit ddttnét* lieu à un grantil nontbiHs de problèmes cuf îeûi^ > xn«is il est beaucoup TùoiiiB fécond en conséquenciés que lëàprécédens' qui sont la bàste de tontes tes coxnpàfatsoins deé gipandeurs'géc»ttéfâ»iqtieé.

Outns ces diVetses sortes d'égalité partielleâ> il en est une autre qiii> pfti^ sofa impoitàtieéj méHté ttnê Atténtfoti patti^^ entière et que nous alloùs traitée sépâré<ni$nt< ^

De la Similitude.

5î2. On fait ordîbaîrémènt éônsister la similitude de deuit qUantHéà géométriques dans l'égalité des ihdinaisohs et des rapj^i*t5'des lignes ou des faces Itoniologues et l'identité de lettt* disposition. Cet énoncé renfermant des conditions sùra-^ Bohfiànte^^ </est-à-dire qui soAt des conséqttétrces nécessaires les nffeis dies: autres , on a cbetcbé une définition qui renfermât toutes les conditions qu'on voulait remplir/ mais qui hier renferniAt étfcSBfes seules. Les uns ont toùlu écarter la considéi^iation des att^ëseft tfinbroduîre. que des lorigûéurs; îfe oifit appelé figures gëAM&lés Wleà où il y avait égalité enttiô tes rappt5l:t^ des lignes ttécesl^aîrés à la détermination de chacune d'eues j maîaf â î^fefïSltHà'cîièt'tihér combien de lignciî étaient néceissfires à ht àitèmimiùA des Ê^rèi, efla dïèçulté n'étàtt pas «iminuée. BP'SRlIrti'és tfldt d^wrd iRfinî la èiinilitude pcAii* les liSançles etBSrtêti^aèâries, et ont appelé semblables les figUriéife '6tt Solides d^irèft'té^sl^.^pèkies liomôtogues sont les tothméts de' trt^nglëis^ ô^'dte teftryèdrësf seAiblàbles'âyâni dé« base* céiistantésîét sémhKlBLeàXniàhteite déBnîtidii à l'incbrivénient de ôepaîi rénferliiëi^dàïts te -seul étrolcrcé là^îàîlilîtttde des tétraèdiiesr et des autres scSfflk&yêé 'pltts il y manqué encore des conditions relatives à la disposition des tétraèdres ou des triangles ; sans quoi dte ïi'entraînerait pas la similitude. Je crois que l'on pourrait éviter tous ces inconvéniens en adaptant la définition suivante :

Deux quantités géométrique^ sont semblables > lorsqu'elles

peuvent être placées de manière fjuen joignant un point fixe avec tous les points de tune d'elles', on obtienne tous ceux de Vautre en prolongeant ces rayons dans un rapport constani^

De cette définition suivront immédiatement toutes les pro-* priétés des quantités semblables. On reconnaîtra facilement les deux plus importantes > savoir, qu'en joignant leurs points homologuesy les lignes résultantes seront également inclinées entre elles et dans* le rapport constant des rayons. Toutes les. autres s'en déduiront, comme on peut le .voir dans tous les traités élémentaires, tant pour les lignes que pour les surfaces et les volumes.

Le point d'où partent les rayons se nomme centre de simi^ litude; le rapport constant des lignes se nomme rappcMrt de similitude. Si l'une des fi^gures se transporte parallèlement à elle-même d'une manière quelconque dans l'espace, le centre de similitude se déplacera en même temps, mais le rapport de similitude restera constant , parce qu'il est égal à celui de deux lignes homologues des deux figures, et que ces lignes ne, changent pas de grandeui^. . '

53, Si, au lieu de prolonger les rayons, on les portait ea sens contraire à partir du centre de .similitude, la seconde figure serait encore semblable à la première, dans le cas oh elles seraient planes, parce qu'elle rentrerait dans le premier cas en lui faisant faire une demi-révolution autour du centre» mais la même diose n'aurait plus lieu si tons les points n'é* taient pas dans le même plan -, les faces seraient irespeptivement semblables et également inclinées, mais leur disposition serait inverse et il n'y aurait plus similitude. . On désigne qe non- Tcau rapport sous le nom de similitude inverse : il efÉt pour les surfaces, semblables ce que la symétrie est pour les sur* faces égales, et deux surfaces inversement semblablçs sont telles, que l'une quelconque est semblable à la surface, symétrique de la seconde.

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