CHAPITRE IV

Sur la resoSuiian des questions géométriques.

M. JlLïï Géométrie, comme en toute autre science , les ques* tions ne peuvent s^ présenter que sous forme de théarèmes ou de problèmes. Un problème Aura pour objet d'etfectuer une construction d'après les i^pports que doit avoir la chose à ^nstrfiire avi^ des choses données ï pour y parvenir, on cheriîhera à ramener la construction demandée à unf autre plus 5imple> celle-ci à une plus simple encore, jusqu'à ce que Ton en obtienne une que Ton puisse exécuter immédiatement*

Il y a deui choses à considéra dians la résolution d*un pro* blême, la liaison des constructions et le dessin. Nou^nenou» occuperons dans ce moment que de la première, et nous regarderons un problème comme résolu quand nous pourrons de proche en proche le ramener aui constructions élémentaired que l'on sait immédiatement effectuer.

Dans le choix de ces construction^ élémentaires, on adA considérer deux choses, la simplicité de leur composition et la facilité avec laquelle elles pourraient être exécutées au moyen des inslrumèns graphiques. Les seules lignes que les géomètres anciens et modernes aient voulu reconnaître comme, élémens de leurs constructions sont les droites et les cercles, et ils re* gardaient comme non résolu tout problème qui aurait exigé que Vtm traçât une autre courbe quelque simple qu'elle fût d'exécution : c'est ainsi qu'ils nous ont laissé à résoudre le problème de la trisection de Panglé, de la duplication du Cube, etc. Cependant Iféwton s'est un peu affranchi de cette oonU-ainte et a donné des solutions dans lesquelles îl fait entrer des conchoïdes , couA'es très simples, mais cependant moins faciles à décrire que là ligne di^oite et le cercle.

Le même embarras n'existe pas dans la démdnstratîon des

théorèmes : comme on a pour unique but de démontrer la yécité d'un rapport désigné et non d'exécuter graphiquement ce qui y est relatif, on reste entièrement dans les abstrac tk)ns , et l'on peut ranger dans la même classe toutçs les choses démontrées possibles, quelque difficulté que puisse offrir leur e:!^écutiDn : il^i^s'a^t quç d^ oe qui est, et noade ee que l'on peut faire.

55, Q\iant à la marche «i suivre dans la résplutioi^ dies pro* blêmes , ij est difficile de rien dire de général à cet égard sans tomber danç le vague. Il est é,vidçnt d'abord que pour aper-> cevoir comment les conditions données détern^inent ce que l'on cherche, il faut étudier toutes ce& conditipns s^p^^ent^ puis dans leur ensemble; et oomipe elles n'existent ensemble que quand la construction demandée est exéputée, on s'exprime ordinairement en disant qu'on suppose le problème résolu. Mais après cela , si l'on veut ehejpcl^c^ cop^nent les diverses parties de cette; construction dépendent Içs, unes de$ autres et se ramènent à un petit nombre d'enti^e eUes, et comment celles-ci se ramènent à d'autres connues., c'est ce que l'on ne pourra fstire que quand la nature de la question sera déterminée, et il serait, inu^jle de oherchçr à çq| égt^vd des règles générales. .

Il en est de même de la démonstration de^ theovè^aes; dlre^ qu'il faut les ramener à d'autres plus simples ^ c'est à pe^ dq chose près ne rien dire : on ne peut indiquer de^E^cbe-positiv^ que quand on désigne au nioins Iç geii^re de la, proposition.

Or, moins il est pQssible de prescrire de règles générales» plus il ^ est n^essaire dç faire des rçcl^erches p^tiçujj^f^s,.et c*est peut-être dans la Géométrie qne. cette, néqess^t^ sq &jt le plus sentir. Nous devons, donc récotmmande^ auj, élèves de résoudre le^ plus grand noipbre . possible de qij^stiops, et suf-* tout de le^ résoudre cQn^plèiejoaent et dj'e:!Lajçninier t<^es les circopstances particulièçfif\;qui pe^v/ent s'^ r^nqqntp^. Ni(M»s leur offrirons un assez grani^ nK^lure, d'ex^eiHÛG;^ do^c^ gQnre> bous' y avons joint d^s sqj^ji^ti^ns snqcin^ctes qu'il ne leur re»* tera plus qu à d^vel^ppciï^-. , .

Nous allons ajouter quelques obserTatîons aux géaéralités précédentes et fkîfe Êonnaîlre l'avantage qu'il peut y avoir quelquefois à intervertir l'ordre qui semble le plus naturel entre les données et les ré^ltats demandés.

De la marche à suivre dans la résolution d& certains

Problèmes de Géométrie.

5S. Dans tout problème graphique, on donne certaines choses construites, et on propose d'en construire d'autres liées d'une certaine manière à celles-ci. Or , il arrive souvent que les choses à construire peuvent être exécutées isolément dés premières^ et que U seule difficulté consiste à leur doiinér la position qu'elles doivent avoir relativement à celleà-ci< Dans tous les ca9 de ce genre , il y a deux marches À suivre : on peut partir ées constructions données, et opérer ^r elles jusqu'à ce que l'on ait obtenu ceHes que Pon demandait , et alors le problème est résolu : ou bi^n commencer par construire les choses qui doivent avoir l^s rapports demandés avec les données, et d'après ces mêmes rapports construire sur elles ces données ; il en ré^ suhera un système identique avec celui que Von cherchait, puis* ' que les données et lesr résultat;^ y seront liés de la manière^ demandée ; il ne restera donc plus qu'à en reporter les diverses parties au Keu oh on avait voulu que la construction fut exé« cutée.

il peut se faire que le système auxiliaire ne soit pas identique avec celui que Fon cherche, et lui soit seulement semblable: c'est ce qui arrive quand 'les' grandeurs absolues des résultats ne sont pas dbnnées , et qUe Pon ne connaît que leurs rap-pQTfs. Dans ce cas, au Jieu'dte'reporter sur le premier système des parties égales à celles du seôond , on lés porte proportion* nelles, et dans un rapport déterminé par deux grandeurs ho-^ mologues cpzélconques*

(Sa)