CHAPITRÉ V

Dii la mesure des quantités géométriques^

57. iyj.E»uiuEa une chose ^ c'est trouver son rapport à l'unité: 'toute la théorie des mesures doit <[onc se réduire à trouver y -de la manière la plus simple, le nipport de deux quantités de même espèce.

Les quantités les plus faciles à comparer entre elles sont les nomhres entiers> et c'est à eux par conséquent qu'on a dû <;hercher à ramener toutes les autres. A cet effet ^ on conçoit runité portée sur la grandeur ï, mesurer, et si elle y est contenue exactement, le nombre entier qui en résulte est le rapport demandé. Si elle n'y est pas contenue un nombre entier de fois, on imagine les deux grandeurs décomposées en parties respectivement égales \ le rapport des deux nombres entiers résultans est le rapport de la quantité proposée à celle qu'on a choisie pour unité, et donne par conséquent la mesure de la première.

Mais cette manière de procéder suppose qu'il existe une quantité qui puisse être contenue exactement tant dans l'unité que dans la grandeur à mesurer , c'est-à-dire que ces dernières aient une commune mesure. Or il peut arriver que deux quantités n'en aient pas , et alors elles ne sauraient être décomposées en deux nombres entiers de parties égales \ leur rappprt ne peut donc être exprimé par celui de deux nombres entiers, ni même de deux nombres fractionnaires^ car celui-ci peut toujours se ramener au premier.

Cependant , comme on ne se fait une idée nette des rapports des grandeurs qu'en les ramenant à des rapports de nombres, on est obligé dans ce cas de se contenter d'une simple appioximation, et elle est encore préférable a l'idée vague qi:te

Fon se ferait da rapport de deux grandeurs, par & suirpld^ connaissance qi^'en donneraient les yeux et le toacber. D^ailleurr cette approximation peut être poussée, aussi loin qu'on le désire I car on peut paijtager l'unité en parties aussi petites qu'on Tetït , et en les portant autant de fois que possible sur la .quantité à. mesurer^ le reste que Von négligera étant moindre qu'une de ces parties , pburra devenir plus petit que toute quantité donnée, et le rapport que Ton obtiendra différera aussi peu qu'on le voudra du véritable.

Telle est la marcbe à suivre quand les quai^tités peuvent être comparées immédiatement par superpositions ccname, par exemple, les lignes droites, ou les arcs de cercle décrits dé rayons égaux. On clierche d'abord leur commune mesure par le procédé arithmétique du plus grand commun diviseur, et on en déduit, comme noua l'avons dit^ leur rapport en nombres entiers..

Mais toutes les quantités ne se prêtent pas avec la même facilité aux superpositions. Ce qui se fait immédiatement pour les lignes droites, serait impossible , par exemple ^ pour les surfaces de polygones quelconques. Dans^ ce cas, on cherche k transformer les quantités en d'autres équivalentes , qui puissent être plus facilement divisées en parties égales» Cest ainsi qu'on ramène tous les polygones au triangle, et le triangle au rectangle, parce que deux rectangles sont faciles à décomposer en parties égales.

Ayant ainsi ramené les quantités aux plus simples de leur espèce, on cherche s'il n'est pas possible de ramener celles-ci i des quantités d'une autre espèce et plus faciles k comparer. Nous avons déjà dit que lés plus commodes étaient les lignés^ droites et les arcs de cercle de rayons égaux ; ce sera donc à ces. deux espèces de grandeurs qu'il faudra tâcher de ramener toute& les autres.

Les angles s'y réduisent facilement , parce qu^ils sont dans le même rapport que les arcs interceptés entre leurs côtés et dé« crits de leurs sommets comme centre avec des rayons égaux» Le rapport de ces arcs pourra doue être pris pour celui dest

an^es; et If mesure des angles se trouve ivimédlatemecit ra-^ V^efxée k .celle de3 arcs décrits id'mi même raison. Cest ce iju'oa exprime en disant i^'un apgle a^ cepatre a pour mesure Tare compris eptre se^ c6té8 : <m veut dire .par là qiye si Fou décrit du mième raycm un cercle ayant ^n centre au sommet «le l'unité d'angJe , et qu'on prenne Vote intercepté pour unité d'arc, la me&ure de l'angle pressé seata. exprimée par le même ^omhre que celle de Farc compris entre ses côtés.

Les angles dièdres s'y ram^e^it immédiatement , parce qu'ik sont dans ie nji^me rapport que les an|^es rectiligaes formés par le$ perpeipidiculaires à Farète menées par un m^ne point dans d;iacu2i 4c& deux plaQs.

XjCS aro$.de rayons inégaux s'y ramèneroat aussi , parce qu'ils^ font entre eux c^mme les angles .au centre multipliés par les rayons. JL>eur rapport sera donc le produit du rapport de deux cingles par le rapport de deux rayons : ce qui irentre dans les cas précédeq;»* .

Les polygones pouvant toujours se transformer en rectan^es , j^ ceu^L-ci étant entre eux comme les produits des nombres qui exp^imeffJt les rapports de leur base et de leur hauteur à l'unité lixiéaire, )a m^mxe de toutes les surfaces rectilignes se {rpuye rai^en^ à celle des lignes droites. L'unité de sur^ce que l'on choisit ordinairement est le quarré fait sur Fuuité de Ionjgueur; par là? on s'épwgne la mesure de la base et de là hauteur du rectangle pris pour unité , la multiplication des deux npmhres résultais et la diyision des produits relatifs aux deux rectangles. On dit alors qu'un rectangle a pour mésave le pro«^ duit de sa base par sa hauteur; ce qui signifie, comme o^i le Toit, que son rapport au carré de F unité linéaire est lé produit des rapports de ^ ha$e et de sa hauteur à cette mène unité. Le^ volumes des pplyèd^s se ramènent à ceux des ppamides, oei|X-ci aux prismes , et enfin aux parallélépipèdes rectangle^, etc. , dont la m^^ure ^ ramène à celle des lignes droites.

5^. Quant à la mesure des cercles et de leurs diverses parties., elle $e ramène à celle de leur circonférence et de leur rayon, l^iai^ comji^e on ne connaît pas encore de moyen de ra-

meii^ le rapport 4^iuie circonférence k utie ligiiè droite & Je» ruppcAtts de Aeun arcs de eercle ou dé d'eux droites^ on est obligé de se borner à uhe approximation. Si l'on prénaît un cercle fK)ujr unité de Burfiliee, Itt mesure d'un autre cercle reyiehdrait à celle d'un carré, parce que deux cei'cléâ sdnt entre eux comme les carrés de leurs rayons ; mais alors la difficulté se retrouverait dans la mesure des surfaoes qui ne seraient pas des cercles. C'est après avoir eu égard à toutes les considérations de ce genre qu'on s'est accordé à rapporter toutes les stirfaces au carré : lorsqu'on veut ensuite passer à une autrer unité, il suffit de prendre la mesure de cette unité par rapport à la^ pt^eiôïère, et dé diviser par elle toutes les pretnières mesures.

Semblablement , la mesure des surfaces cylindriques , conîqtfes , spbériques et des volumes compris par ces surfaces y se ràlnëne à celle des circonférences et des lignes droites , et ne peut par conséi()[uent s'effectuer par des superpositions.

La c^oi^afaitoh des quantités auxquelles on ne peut trouver de cotainRitie ïncstiï*e eMré elles , soit qu'elles puissent être supperposées , soit que leur forme ne le permette pas , s'opère au moyen âé méthodes particulières qui méritent une attention^ spéciale, et dont nous allons donner une idée rajiiide.

Méthodes des limites et de la réduction à Vabsurde^

59. La méthode des limites ayant été exposée précédemment ,. il ne reste plus qu'à montrer comment on l'applique aux quan-» tités géométriques. Supposons d'abord qu'il s^agisse de trouver la relation qui a lieu antre deux rectangles de même hauteur et leurs bases , quand lees bases n'ont pas de commuM mesure ,. sachant que les rectangles sont dans le même rapport que teurs bases , quand elles sont commensurables. Soient R et R' les deux rectangles, et a y ci leurs bases* Imaginons un rectangle R'' de même hauteur , ayant une base a" ^a% et commensurable avec a ; on pourra faire approcher a" de a' autant qu'on tou- dra, sans cesser d'être coihmensurable avec a, car il suffira^ pour cela de décomposer a. en parties indéfiniment décrois^

( 56) aanteSy et de Ie$ porter autant que pessible swr it, le reste sevit moindre qu^uue de ces parties, et par conséquent deviendra aussi petit qu'o^ voudra } a" a donc a' pour limite^ et par suite R" a pour limite R', puisque leur différence est un rectangle qfk\ a pour base la différence de a' à a"« Qr « on a

R' a* Lar relation des limites sera donc rrr- = — »

Beux rectangles de même hauteur sont donc toujours entre eux. comme leurs bases.

Prenons un second exemple où les quantités, puissent avoir une commune mesure, sans qu'on sache la découvrir» Soienjt deux cercles de rayons différens^ on demande la relation entre leurs circonférences et leurs rayons. Pour y parvenir , on cherchera là relation entre des quantités qui puissent s'approcher indéfiniment des deux circonférences ; on choisira à cet effet des polygones inscrits; on les prendra^ pour plus de simplicité, réguliers ; et pour les comparer plus commodément , on leur donnera le même nombre de côtés. Désignant leurs périmètres par P, Vy les rayons par R et R^ on sait qu'ils satisferont à la relation suivante , quel que soit le nombre de leurs côtés ^

Or, on démontre facilement, en circonscrivant des poly-^ gones semblables, que P et P' peuvent s'approcher autant qu'on veut des circonférences C, C ; donc la relation de celles^ ci sera

Il est inutile de citer un plus graad nombre d'exemples, pour jaire concevoir l'esprit de cette méthode , connue sous le nom

( 57 ) de Méthode des limites. Il est clair qu'on peut l'appliquer st Ton veut à des quantités qui auraient une mesure commune^ et qui seraient moins commodes à comparer que celles qu'on leur substituerait*

6o.La seconde méthode à laquelle op donne le nom de réduction à r absurde , consiste à démontrer que la relation demandée est d'une certaine forme, par l'absurdité qu'il y aurait à supposer qu'elle fût de toute autre. Il faut donc assigner d'abord une forme à la relation , puis énumérer toutes celles qui pourraient êtres supposées si celle-là était fausse ^ et enfin démontrer pour chacune d'elles qu'elle est impossible.

Ainsi dans le premier exemple cité on aurait dit : deux rectangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases , même quand elles sont incommensurables ; car si cette propàr* tion n'a pas lieu, on pourra en établir une entre ces trois premiers termes , et un quatrième qui sera nécessairement plus petit ou plus grand que le correspondant des quatre premiers. On aura alors deux démonstrations à faire ,^t elles sont si connueà que nous ne prendrons pas la peine de les rappeler ici.

Quand au second exemple , on aurait commencé par avancer que deux circonférences sont entre elles comme leurs rayons ; pour cela on aurait supposé que cette proportion fût fausse , et on aurait vu qu'U serait toujours possible d'en former une avecles trois premiers termes et un quatrième plus petit ou plus grand que son correspondant ; ce qui aurait encore conduit k deux démonstrations d'impossibilité. ,

6u Cette dernière méthode, la seule employée par les anciens , a été conserrée jusqu'ici, dans les élémens , aTCc le même respect que toutes les autres formes que les premiers géomètres employaient , faute des ressources que nous possédons aujourd'hui. Examinons à laquelle des deux on doit donner la préférence.

La méthode de réduction à l'absurde , présentant la térité sous forme de théorème, suppose connu ce que l'on cherche *, la seconde indique la marche à suivre pour le découvrir ^'elle est

( 58) dofic rédtlemeiït la méthode «^m^etitîoii : ^smis ce k*apport , ell^ mérite la préférence.

Mais., non-seulement die est supérieure sotf^ le ra^pport de la marche , elle l'est encore presque toujours dans les détails. Il est généralement plus facile àè faire «in cboijL eommode de ra-^ riablfô > que de disposer les oon^ructions qtti dôi-vent faire ressortir Tabstirdité^ et d'ailleucs il y a toujours plusietilrs «upjpositioas à faire, qui entraînent autant de tléttiofisti^atiofirs distinctes^ tandis que par la méthode deslnniteà, €fh n'a jamais ^'une seule relation à trouver , celle des tarfaMés. Il j a plus , là méthode de réduction à Tàbrarde , déjà infériez e à celle des limites dans les cas eu elle peut être employée , détient inapplicable quand on s'éloigne des éléiife«ns. La simplicité dés k*elations 9l permis d'énoncer comme théorème les rapports dés cercles et de leurs rayons , d'autant plus qu'on s'y trouvait conduit par la considération des polygones inscrits > qui était sttm indispensable f comme induction ^ que dans la méthode des limites. JVfais quand il s'agira d'évaluer les aires des courbes de nature quelconque , ou en ^néral de trcmver des relations <x»ftipli<J[tiées^ la forme théorématique deviendra tout-à-fait déplacée ^ et ou sera obligé de revenir à la méthode des limites ^ttï ptésaite toujours un problè«ne ^ et de plus entre des quantités plus simples que les proposées. Or, putsquie cette Aernière méthode est indispensable dès qu'on avance éasns la science , et Qu'elle est déjà supérieure dans les élémens, o* doit lui donner einisiamment la préférence.

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