CHAPITRE VI

Géométrie de$criptwe.

62. LiETTB partie de la Géométrie a pour objet de ramener autant ^e ]Kk$siMie les oonstructknas dans Pespaoe, à des construdioBs sur un aeul pUa. A cet effet on rapporte les points à deaiL pkns fixes perpendicuiaires entre eux , et on les déter*mîne par les pieds des perpendiculaires abaissées de ces points me (es deux plans ; ces pieds sont œ^'on appelle les projections 'cb$ points €Qrre$ponâia!is.

luÉ^ lignes se déterminent par la suite des projections de leurs difiërens points qui forment deux lignes placées respective* ment sur les deux plans de projections; de sorte que les- lignes daas l'espace , sont l'intersection de deux surfaces cylindriques perpendiculaires aux plans de projections^ et ayant respectiTement pour directrices les projections de ces lignes.

Quant aux surfaces^ on les détermine par les élémens de leur génération. Ainsi une surface conique est donnée par son centre et sa directri<^ ; une surface de révolution par son axe et sa génératrice ; et ainsi des autres surfaces dont on donne le mode fk génération. De cette manière, toutes les quantités géomé- Idqaes seront déterminées par des projections faites sur les deux plans rectangulaires 9 et toutes les constructions dans l'espace se ramèneront déjà à des constructions sur ces deux plans. Enfin y «n les réduira toutes à un seul plan ; en rabattant Vun des plans ^ projection sur l'autre par un quart de révolution autour de l^iir ligne d'intersection, qu'on nomme ligne de terre» En opérant ainsi, toutes les constructions s'exécuteront sur un même plan et détevmmeront celles de l'espace, auxquelles eltes ne seront pas identiques , nkais qui s'en déduircmt par la liaison ^în^le des points avec leurs projections.

63. Or I il ne suffit pas que les constructions dans l'espace soient déterminées par d'autres ^ il est souvent nécessaire deles connaître par elles-mêmes; et il restera indiquer le», moyens à employer pour construire sur le plan donnée toutes, les parties du système dans l'espace ^ et en déduire enspite 1& solide même que Fon voudrait déterminer matériellement.

Si par exemple il s'agit d'une construction plane quel-' conque dans l'espace , on concevra que le plan oii elle est ren-* fermée se rabatte sur l'un ou l'autre des deux plans de projection ^ ou sur tout autre |d[an parattèle; on déterminera la position de tous les points après ce rabattement^ et on connaîtra alors la véritable forme de ce qui n'était donné d'abord qu!en projection.

V S'il s'agissait de construire un polyèdre donné par les pro* jections de tous ses sommets ^ on commencerait par déterminer^ comme il vient d'être dit; la forme de ses différentes faces ^ et leurs inclinaisons mutuelles. Si l'on voulait ensuite former ma^ térlellement ce polyèdre avec un bloe donnée on y tracerait d'abord l'une quelconque des faces ; à chacun de ses côtés , on taillerait le bloc suivant ' des plans faisant avec la base les angles connus ; on tracerait sur ces divers plans les faces dé* terminées précédemment » et on continuerait ainsi jusqu'à la confection entière du polyèdre Si l'une des faces du solide était courbe et du genre de celle»

> qui sont engendrées par la ligne droite y on déterminerait toutes, les autres faces et leura inclinaisons ^ puis on construirait comme tout -à-l'heure le solide correspondant^ et il ne resterait plus qu'à tailler la dernière face. Cest à quoi l'on parviendrait en déterminant les points extrêmes de la droite génératrice dans un grand nombre de positions ^ et taillant le bloc jusqu'à ce que la règle pût s'appliquer exactement sur la surface ^ depuis un quelconque de ces points jusqu'à son corres^ pondant.

On emploira des procédés analogues dans les cas plus coin* pliqués \ on développera sur un plan les surfaces qui en seront

^ susceptibles y et on taillera sous la même forme des matières

SleiibleS) auxquelles on fera reprendre la forme oonTetiable en les appliquant sarle corps que Von aura à construire* Une foule <le moyens de ce genre sont parfaitement connus des ouvriers^ et quand on leur donne les élémens des constructions que four-« nit la Géométrie descriptive y ils parviennent sans difficulté à la détermination des solides avec toute l'approximation qu'on peut désirer» . .,

La Géométrie descriptive remplit donc deux objets ; elle donne par des constructions planes la solution des problèmes de Géométrie dans 1* espace^ et elle faijt connaître tout ce qui est nécessaire a l'exécution matérielle des solides dont on peut avoir besoin dans les arts. Nous n'entrerons pas dans de plus grands détails sur les diverses questions que cette tliéorie peut offrir j elles se trouvent exposées avec tant de clarté dans les ouvrages de M. Mghoe, que nous croyons inutile d'y rien ajouter. Nous nous bornerons à en indiquer les principales applications*

64. La coupe des pierres est un des arts qui en tirent le plus grand parti. La construction des voussoirs peut devenir, tellement compliquée par les diverses circonstances qui se rencontrent dans les édifices ^ que sans le secours de la Géométrie descriptive il serait quelquefois presque impossible d'en venir à bout Ces constructions s'exécutent, comme nous l'avons déjà fait connaître , au moyen des faces et de leurs inclinaisons.

65. La coupe des bois ou la charpente se trouve dans le même cas , et en retire les mêmes avantages par des procédés analogues.

66. La théorie des ombres, si utile pour la représentation exacte àfis corps > se fonde immédiatement sur la Géométrie descriptive ; on y a pour objet de déterminer la courbe qui sépare l'ombre de la lumière sur un corps dont on connaît exac* tement la forme et la position par rapport au point lumineux. Cette courbe n'est autre chose qne celle de contact du corp»avec une surface conique circonscrite, ayant son centre au point lumineux, ou avec une surface cylindrique parallèle aux rayons de lumière si le point lumineux est à une distance infinie, comme

(fia) ,

oft le suppose povr la lumière du soleih Ajattft délq^miné les projections de cette courbe, il ne s'agjt pIuB que d'en déduire Vefiet qui doit en résulter sur le tableau oit s'exécut0 le dessin; problème qui est du ressort de la perspective Uimure*

67. La perspective a pour objet de déterminer sur une surface donnée la trace de tous les rayons visuels partùnP d^un point conYiu , et terminés aux différens points d'un système dejigures quelconque. La figure qui eu résulte sur la siûrface de perspeo iAwe produit sur la rétine un système identique de fbnae srea celui que produirait le système donné dans Pespaoe;: et poat rendre Fillufiîon complète , il* n'est plus besoin que de donner aux différentes parties du tabietoê tracé sur la «nrfiace , la cola* ration et le degré de lumière qai se trouyent dans lès" parties correspondantes des objets donnés. Ou déterminera alors , comme nous l'avons indiqué précédemnient , les projections des courbes de séparation d'ombre et de lumière | et on en déduiner Pfnter-^ section de la surface du tableau avec le cène qui * aurait soil centre à Toenl de rQbserTaAeur,et*ponr directrice cette^ courbe même. Ces lignes de séparatiow sont d'un grand secours pouf donner une idée nette de» fermes en relief, d'après- leurs reptésentatioDssur une surface qui le plus souvent eaUb plsane ; et leur efièt est tel , qu'il suffit presque à kû seul pour laite ressortir avec éyid^useles diverses sâmioshés des: c^els. IMIaîs plus ces- lignes sont caractéristiques^ ^is> eHes: esigettt de précision y puisque la namndre erreur infbie sur Ik fwme' qu'elles font supposer aux corps qu'dAes repcésentent : on ne saurait donc apporter trop de soin à leur détermination , ni trop employer à cet èflet les procédé» de la Géeanélirie descriplive Cette scienoe esH en général trop négligée par les artiste» , et ii en résulté souvent dans leurs tableaux des Comtes -grossières- , des contie-sen^' cboqnans , qu'il» auraient évité» au moyen des notions éiémenrtaiires de la: Géosmétrie descriptive.

68. Il est encore dam» la penpeetîvB de» I^es aussi essetn taellei que lei courbes de séparation' d'ombre et de lumièi>e ; ce soBit celles que déto^mieent sur les suv£auoe8^ les» rayons visuels caLtrénaes:^ on. le» nomme courbes apparentes} elles sépieirent

U partie visible de la partie invisibW, et déterminent sur le tdhleau le cootour- où se teEmine la^ per^Mctm de Fe^jet. Geê courbes ne sont autre cliose que celles de contact du corps aTcc le cône circonscrit ayant son centre à l'œil; on trouve par cette condition leurs projections et paip suite leur perspective sur le tableau.

Ayant ainsi déterminé sur le plan du tableaa toutes les figures nécessaires ; on le rabat sur l'un des plans de projection^ et on a ainsi la perspective exacte du ^stème proposé. Il ne reste plus qu'à placer les couleurs , ce qui est du ressort de la peinture. Mais il faut bien se pénétrer de cette vérité ^ que la perspective linéair^e ou l'esquisse est la partie la pltis- essentielle ^ et que sans elle la perfection dans le reste ne serait rien, tandis qu'elle suffit à elle seule pour représenter les. efiet£. principaux.

Il est inutile de pousser plus loin les exemples. Les applications de la Géométrie descriptive s'étendent à toutes les questions, bh l'oA a à considérer des points dans Fespaee; l'Architectiira , U Topographie:, et i^wie foule d^rts- raéeaniqueB oh l'on a h^âM^in d^une description esaote de mi^bines, en retinrent les .plu$ grands avantages; et il serait à désirer que soi» iividQ fût r^gai:dée oomme aussi indispeusable dans tous oes arta que les procédés, tedbai^ptes. qu'on s^cst kabituè à r^aretw r^uime &u£KsdBâi«

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