CHAPITRE m

De la Trigonométrie,

71. JuA Trigonométrie a pour objet ide déterminer les valeurs numériques des côtés et des angles d'un triangle c[uand on connaît les valeurs numériques des quantités par lesquelles il est détenmné; c'est ce qu'on appelle t^oudre un triangle.

Pour résoudre ce problème dans toutes les circonstances qu'il pouvait offrir, il était nécessaire et suffisant de trouver des relations générales entre les côtés et les angles d'un triangle j car alors: la détermination des quantités inconnues se serait ramenée à une simple résolution d'équations. Mais la différence de nature des angles et des côtés conduisant à des relations trop compliquées pour pouvoir être employées avec avantage, on

( 68 ) a renoncé à faire entrer les angles dans le calcul, et on a cherclié à leur substituer des quantités qui pussent les déterminer ou être déterminées par eux d'une manière simple , et qui en même temps pussent être facilement comparées ayec les cdtés des triangles.

. La première idée que Fdn a eue a été de déterminer les angles par les cordes qu'ils sous^endent , en supposant leur sommet au centre d'un cercle connu ; mais on a abandonné ce mojen pour un. autre plus commode. On a supposé semblablement les angles formés par deux rayons d'une circonférence connue , et on les a déterminés soit par la perpendiculaire abaissée de l'extrémité d'un des rayons sur le second -, soit par la tangente au cercle menée par l'extrémité d'un des rayons et terminée au second -prolongé > soit enfin pér la distance dû centre au point où ce rayon prolcmgé rencontre la tangente. Ces trois lignes ont reçu respectÎTement les noms de sinus , tangente et sécante de Pangle. On a nommé cosinus , cotangente > cvsét^ante du même angle ^ les sinus, tangente et sécante de son complément; et il est éyident que tous les angles moindres que l'angle droit sont entièrement déterminés par une quelconque de ces six lignes ; il en serait de même pour les angles compris entré un et deux angles droits , entre deux et trois, entre trois et quatre. Mais quand on ne sait pas d'aTance entre lesquelles de ces limites doit se trouver Tangle chercbé, il ne suffit plus de donner la valeur d'une ou Éiême de plusieurs de ces lignes , il faut encore y joindre certaines circonstances dont .nous parlerons plus tard. Ainsi l'angle détermine sans ambiguïté toutes les lignes trigonométriques dont

/ nous avons parlé ; tandis que celles-ci peuvent ^nvenir à la fois a plusieurs angles^ et nécessitent par conséquent des données de plus pour ôter toute incertitude (^)^

Gela posé , on a formé une table o& Ton place tous les angles de seooi^de en seconde, ou seulement de minute en minute, depuis kétù jusqu'à un demi-angle droit, ce qui a suffi pour tous les

cas, a cause de la symétrie des lignes suivadtes. La distance de

{*) Voyez rApplication de PAlgèbre à la Geonuftrie , de Keyaaud.

(69) deux angles consécutifs est assez petite pour qu-on puissiTy sans erreur sensiBle , substituer à un angle quelconque celui qui en approche le plus dans la table ^ car l'erreur sera toujours moindre que la moitié de cette distance: cette table donnera donc le, moyen de déterminer les angles par leurs lignes trigonométrie» ques y et réciproquement ; il ne restera plus ensuite qu'à trouver les relations générales qui lient ces lignes arec les côtés des triangles , ce qui n'offre aucune difficulté.

La construction de celte tablera offert un trayail très long , vu le grand nombre d'angles dont on a été obligé de calculer les lignes trigonométriques. On obtient le sinus et le oosinus d'un angle par le moyen des séries suivantes ,

JC^ 1?*^ ^7

sin X — X — 5 -f- 'i A c "~ "■ + . . . .

cosa:±=i + 5^7 ?+....

Bans ces séries , x représente le rapport de l'angle proposé à celui auquel est opposé un arc égal au rayon du cercle y et dont la valeur est connue avec beaucoup d'approximation. G>mme elles sont très convergentes y il suffira pour chaque valeur de x d'en calculer un très petit nombre de termes ; l'erreur sera toujours moindre que le premier des termes négligés (^). Le sinus et le cosinus étant déterminés, on en déduira sans peine les quatre autres lignes y au moyen des relations très simples qui les lient les unes avec les autres.

Connaissant la table des angles et des lignes trigonométriques correspondantes , ainsi que les relations des côtés d'un triangle quelconque avec les lignes trigonométriques de ses angles y on peut résoudre les "triangles dans tous les cas où l'on connaît un nombre de données suffisant à leur détermination. Nous n^entrerons pas dans le détail des transformations de toute espèce qu'on peut faire subir aux formules trigonométriques , pour les rendre plus facilement applicables aux différens problèmes

{*) Voyez le no i86 des ^otet de Reynand sur VAlffhhtc»

(70 ) qu'on peut avoir a résoudre ; nous tious Ijornerons à la préparation générale qu'on leur fait subir , pour que le calcul des logarithmes y devienne applicable.