CHAPITRE IV

Sur Vappliàation des logarithmes aux calculs

trigonométriques.

72. jlJes angles croissant dans la table par degrés très petits ^ les différences entre leurs lignes trigonométriques successives seront, passé un certain point y très petites par rapport à ces lignes. Ces dernières devront donc être exprimées par un grand nombre de chiffres , soit qu'on prenne une unité très grande ou très petite , par rapport au rayon ; le calcul en serait donc très pénible , si on ne le facilitait au moyen des logarithmes : et c'est ce que l'on a pu faire dans tous les cas.

En conséquence, on a cherché Içs moyens de rendre le calcul des logarithmes d'une application commode pour toutes les formules. On a d'abord joint à la table des lignes trigonométriques celle de leurs Ic^arithmes, pour éviter la peine de les calculer à chaque fois , et on a pu aussi y mettre une plus grande précision , puisque c'était un travail fait une fois pour toutes : on s'est même dispensé de donner les valeurs de ces lignes^ et Fon s'est contenté de placer leurs logarithmes à côté de l'angle correspondant. Voilà ce que l'on a fait. quant à la disposition de la table ; voyons ce que l'on a du faire dans la préparation des formules.

Pour qu'on puisse déterminer le logarithme d'une expression au moyen de ceux Aes quantités qui y entrent, il faut que ni celles-ci ni aucune ibnclion d'elles n'y soient combinées par addition ou soustraction : il est donc nécessaire de transformer foutes

(7« } les expressions en produits o» quotiens de pBÎssances quelconques de quantitésr dont la table 'fasse immédiatement connaître les logaritFèmes ^ tQvt se véduif donc à indiqHer de& imoyens g/baé* raux d'opérer cette tranaformatîon. ' -

^3. Dans quelques .cas^ partiomliors cer probjfoiie se. résout d^une manière smipte y maïs à laquelle on tt'a cherché à donner aucune extenskyor 'On a montré comment on pouvait transSbrnuer enprodiHt la somme .o» la dipèrence de deux-sinas ou de deux cosinus ;■ je vais faire Toiv comment on y feuî ramener la somme •a la difGbence de deux fonctions monômes quelconques ;

Soit l'expression A zhB, dans laquelle A et B désignent deux fonctkmsF monenie» quelcon^es de lignes trigonMiétrîqués et autres IsM^teurs. Si chacune de ces fonctîons^ est mohidre que le rayon R de la taUe, cm posera A = sin x', B s= siny^ et Pon caleùlera xétj par ces deux équations ÂnAquèTIes les^ logarithmes seront iaimédîatement applicables; il ne reste)pa donc plus qu'a transformer en produit sîna:ihsinjr^ ce qui n'offre aucune di£Biculte. Si A et B ne sont pas plus petit» que le rayon R, on les dÎTÎsera par une quantité K dépendante de leur forme ^ et telle que les quotiens soient moindres que R ; ce qui sera toujours facile à faire 9 puisqu'il suffira de diviser par le produit de tous les facteurs plus grands cpie R : on rentrera alors ïans le cas précédent ,

l'expression K^rg-d:— J devéïiant R(sinaM!isin^).

Il est inutile de dire qu'on aurait pu semblablement égaler A et B à deux cosinus, puisque leur somme ou leur dilKârence se change aussi facilement en un produit i-. - ■ '

74. On peut encore donner un autre moyçagéoéfial de tran^ former vm binôme en un monôme* .' • t • , ' . - • a

Si FoB a une différence A*-^By on la mettra. sous^ la: forme

Af 1 — ---\ Si -r est plus petit que l'unîtc, on pourra égafèr

-r- au carré d'un sinus ou dVn cosîntis, et ,A'-^fe ctevîcudr»

A (i — ^sin'x) ou A ces' Xy x étant un ancle .détcmikic par

Féqttation — =:= sîn*x à laquelfe on peut appliquer iaiméitia-'

B teiiaent les logaritlimes. Si ^ ^^ pl^ grand que Tunité^ on posera

•--âesec^a?; et il tiendra A— »B = A (t — -sec^x) =:— A tdng'x.

Si l'on avait aq contraire une somme A+B, ondÎTiserait

pftr A et on poserait "r-stanjg^x; ce qui peut toujours avoir

lieu , puisque lestangentes passent p^r toute» hs^ valeurs depuis o jusqu'à l'infini; on aurait alors A+ft=:^ .V\*-4-t«ig' . N-^Ase^x. Ces divers procédés ne sont susceptibles. ^*Mucnx^^€(^toefûmk et donnent le moyen de transformer eiLim prjoduU la fQ| nn^ ou. la différence de deux monômes, et par conscquevÉ de prodie ea proche^ d'un polynôme qvielconque : par là lesJqgiMrithmes pei»- ▼enJt être appliqués à tous les calculs de la Trigonométriey.efr la |Hromptitude des .opératipns ^ trouve réunie à la précisio» des résultats.