CHAPITRE V

De V homogénéité en général.

75. JLiORSQv'oN veut résoudre par le caicufl une question sui* des quantités d'une nature quelconque/ 6n les suppose toutes exprimées en nombres par rapport à une unité arbitraire de Ik même espèce, et on cherche à établir de^ relations entre' ce^^ nombres d'après les conditions qui lieat entre elles les quantités qu'ils représentent. Si l'on peut parvenir à établir ces équations^ il est évident que leur forme sera indépendante de l'unité^ pui9^ qu'on n'y a eu nullemeut égard ; les nombres seuls qui expriment les quantités varieront avec l'unité^ mais leur combinaison sera toujours la même 3 et tant qu'ils seront représentés par des sym-

boles généraux , le» équations ne subiront aucun ehaiigement. Examinons les conséquences qui en vésc^tent sur la forme de ces équations.

Goncerons d'abord que Ton ait pris une des quantités données pour unité , les nombres qui représenteront les autres seront leurs rapports avec eelle-^ci, et c'est entre ces rapports que lés équations auront lieu. Que l'on imagine ensuite qu'oilf' passe à une autre unké quelconque , toutes les quantités seront exprimées par des nombres qui sercmt aux premiers dans lé rapport inrerse des deuitfiniUllT'mais leurs rapports entre elles ne cbangeront pa^7 tt' ^ jtt ff^ të'wFéquations primitives auront encore lieu. Or tétis^M^Ukibés diè^oès équations ^ n'étant que des fonctions de Ses f ap|lilrfrj^oontfendront au numérateur et au dénominateur lé tinteie ÀonfKre de facteurs provenant de l'expression des quantités env nombres : si donc on chasse les dénominateurs, tons les termes auront un même nombre *de facteurs marqué par leur dénominateur commun. Cette égalité entre les nombres de facteurs qui se trouvent dans chaque terme et qui proviennent de l'expression en nombres des quantités en question , a reçu le nom d'homogénéité : ou voit, qu'elle existe dans toutes lés équations que peut fournir une question quelconque sur des quantités de quelque nature qu'elles soient De plus, il est clair qu'elle se conservera dans tous les calculs jqui se déduiront de ces premières équations : car les transformations ne feront jamais qu'augmenter ou diminuer également le degré ou le nombre des facteurs de cliaque terme; et d'ailleurs riea n'empêche de supposer que l'on ne passe à l'unité arbitraire qu'à lafin du calcul, et nous ▼enoBs de voir que ce passage produit toujours l'homogénéité.

yS. Si la question renfermait des quantités d'espèces, diffé^ rentes , on les supposerait toutes exprimées en nombres a» moyen d'une unité de leur espèce respective , et les raisonnemens précé^ dens feront voir que l'homogénéité aura lien par rapport 2rchaque espèce en particulier *, c'est^àndire qu'il y aiû*a dans chaque terme un nombre égal de facteurs relatifs aux quantités d'une même espèce t d'où il suit qu'il faut au moins deux quantités de chaque espèce; si la question n'en renfermait qu'une seule , ont

(74) serait oUigé (i';efi introduire une autre , et pour que l'équation fut ifiyariable ^ il faudrait que cette tlernière quantité eût une valeur qui s'annonçât dans le calcul par des propriétés sp^iales. C'est ce qui a lieu par e!(.emple pour les angles , parce que quelques-uns ont des propriétés que n'ont pas les autres ; mais il n'en serait pas de même des lignes , et l'on ne fiourrait par conséquent proposer de me^e en équation une question où il n'en enti^erait qu'une seule.

Il peut arriver que les qismtités d'une tnème espèce que renferme «me question se partagent en classes qui ne puissent se mêler d'une manière quelconque , et qu'elles n'entrent dans une même équation que par leurs rapports avec d'autres de la même classe;, c'est ce qui arrive, par exemple, dans la Trigonométrie: les côtés des! tri angles ne peuvent se combiner arbitrairement qu'çntre eux y et toutes les fors qu'on les compare aux lignes trigonométriques, il n'entre dans les équations que les rapports de ces côtés entre eux et de ces lignes entre elles. Dans tous les cas de ce genre il y a homogénéité par rapport à chaque dasse, puisque tous les termes ne r|nferment que des rapports de quantités d'une même classe; et l'unité peut être prise diffé* rente pour chacune. Ainsi on pourra prendre le rayon pour unité des lignes trigonométriques y et toute autre ligne pour unité des côtés des triangles.

77» £^ dans une question quelconque on prend une des quantitéis données pour unité , les équations hcHnogènes^ qùé l'on pourrait «voir obtenues cessent d'en présenter l'apparence, parce qu^un des facteurs devenant le nombre i on se dispense de l'écrire : mais l'homogénéité existe toujours^ puisque ce facteur 1 provient de l'expression d'une quantité en nombre, et elle reparaît sous la forme ordinaire dès qu'on passe à une unité arbitraire.

Quelquefois aussi l'homogénéité peut exister sans être apprente ^ quoiqu'on n'ait fait aucune hypothèse particulière sur l'unité : si l'on considère, par exemple, l'équation du mouvement uniforooe ez=zvt dans laquelle c désigne un espace , v une vitesse y et t tm temps, il semble qu'elle a lieu entre trois quan-

tilés d'espèces différentes ; mais v est le rapport de la vitesse du mobile proposé à celle d'iux .autre mobile .qui dans l'unité de temps parcourrait l'unité de longueur , et l'on substitue ordinairement à ce rapport oelui des espaces^ parcourus ; alors le nombre v représente l'espace parcouru par le mobile pendant l'unité de temps et rapporté à l'unité de longueur ; il y a donc homogénéité relativement aux espacée. Quant au temps ^ on observera que l'espace v varie en raison inverse de l'unité de temps y et que par conséquent il peut être considéré comme le quotient d'une quantité indépendante de cette unité par l'expression en nombre d'un certain temps déterminé ', l'équation est donc encore homogène par rapport au tepaps.^.

Généralement, lorsqu'une équation renfermant plusleurjs espèces de (juantités ne paraîtra pas homogène par rapport à chacune > on verra que cela tient toujours à ce que les nonilires relatifs aux quantités d'une espèce dépendront de l'unité d'une autre, et pourront être considérés comme les rapports de nombres indépendans de cette unité à l'expression en nombre d'une quantité de la seconde espèce : ce qui mettra en évidence l'homogénéité.

Tels sont les principes fondamentaux de Hiomogénéité dans Papplicatîon du calcul aux grandeurs de toute espèce ; on en a beaucoup abusé dans les démonstrations qu'on a voulu donner à priori d'un grand nombre de principes sur les différentes branches des Mathématiques; mais il n'entre pas dans mon objet de m'en occuper en ce moment ; je n'ai voulu que poser les principes et non critiquer les applications qu'on en a pu faire.