CHAPITRE VI

Des Problèmes ou l'on fait seivir le calcul à déter^ miner une formule de construction,

78. JL«OR8Qir^oif a trouvé la formule algébrique qui représente une ligne y on peut^ au lieu de la valeur numérique, chercher un procédé de construction qui dans tous les c^s semblables conduise à la détermination de cette Hgne. Ce procédé constitue ce qu'on peut appeler une formule de construction , et nous allons faire conuaitre ce que l'on peut établir de général à cet égard. "

G>nsidérons d'abord le cas d'une formule algébrique rationnelle ^ et commençons par la supposer monôme : comme elle doit être homogène y il devra j avoir un facteur de plus au numérateur qu'au dénominateur, et elle pourra être mise sous la

forme

ab d f

c e g On construira d'abord une quatrième proportionnelle m aux

ah

lignes c,afby elle représentera — *,' on en cherchera une autre

aux lignés e,m,d, elle représentera — X - ; et on continuera

ainsi jusqu'au dernier facteur.

Si l'on a un polynôme rationnel homogène, on le ramènera facilement à un monôme en mettant en facteurs communs tous les facteurs moips un de l'un des termes , et il ne restera plus qu'^à faire la somme de lignes exprimées par des monômes fractionnaires et rentrant dans le cas précédent : ainsi ; par exemple ,

le jf(Aynome'.abc''\;»def+ghh se mettrait fOus la forme. . . ah(c -( — 7- "f" jt) ^ ^^ construirait les lignes représentées par

les expressions — r-f ^T'> ^^ ^ ajouterait à la ligne c, et le

polynôme proposé serait devenu le prodttit de trois lignes connues.

Lorsque l'expression algébrique d'une Kgne sera le quotient Jejd^uxpcdyiiomes rationnels, on n^menetia cllMun d'eux à un monôme et on agira ensuite comme nous Tarons indiqué. . 79. Si l!homogénéité n'était pa» apparente, on l'établirait en introduisant où i^ serait nécessaire des facteurs ou diviseurs ^aux à l'unité, parce que nous avons vu que cela ne pouvait provenir que de ce que l'on aurapris une des lignes en question pour unité , ce qui l'aura fait disparaître de tous les termes où elle entrait , soit comme facteur ^ soit comme diviseur.

Mais il y a plus : on peut, sans rien changer au résultat, introduire l'unité comme facteur ou diviseur^ même dans les expressions homogènes dont on peut quelquefois faciliter ainsi la construction. Car on ne 'change pas par là la valeur numérique de l'expression, ni par conséquent la candeur de-la ligne, oorrespondniite.

. Passons aux expre$$«Gpi(ii i^adicales. Une racine s'extrajant par la division fies exposans, le é^pé^d'un terme soumis à un radical se trouve divisé par l'indice de ce radical; une ligne sera donc oonâtJTuite par un, radical du degré m quand la quantité qui lui sQi;a.6o^umise sera de ce même degré. L^s seules racines que l'on puisse, extraire par des> constructions simples sont celles dont le degré est une puissance d^ 9 ', elles se réduisent alors à de simp1^&^^^raqtion^ sucoes^iv^s de racines. carrées; il suffît donc d'indiquer la construction générale de ces derniëries»

Si la quantité dont il &ut extraire la racine carrée est du second degré, on la ramènera facilement à un moncMne composé de deux facteurs, entre lesquels on cherchera une moyenne proportionnelle qui sera la ligpe demandée. Si le radical affecte une expression d'u»» degré différent du second, on commencera par

{ 78 ) la réduire à ua jaonome et rendre s^n degré divisible par â en introduisant l'unité comme facteur s'il est besoin ; puis on partagera le pro<hiil en facteurs du second degré ^ dont on extraira la iracine comme il Tient d'être dit^ et le radical sera changé en un produit rationnel. On rendra ainsi toute l'expression rationne)je, ot; <qp o^natruira ensuite comme nous l'avons indiqué ci-dessus.

Au jpi^yen 4e «es princijpes on pourra trouver des formules ^né^rdl^ dc^ <xm9trj»ctiofit par .la. ligne droite et le cercle pour tous les ppoUèmiea dont la solution ùudjtique conduira à des ^xprP^ions ralÂCMineUes ou ren&iîmtot seulement des radicaux içnX l'indice soit une puissance de-â«

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