CHAPITRE VIL

Vé là déterminaiian des points.

8o. iJEAvcotr]? 4et problèmes de Géométrie ont pour ob^ét de construire des points : pour y appliquer le calcul , il a fallu ramener la détermination des points à celle de certaines grandeurs : nous allons faire connaître les àirers procédés qu'on a pu employer à cet eifet.

On a. supposé des objets iixes auxquels on a rapporté tous les autres > et l'on a pu choisir potir cela Aes points ^ des droites ou des plans* Si tous les points à considérer sont dans un même plan , on y prendra deux points fixes , et tout point se déterminera par ses distances aux deux premier^; ces données cOnrien- <Iront à deux points différens^ excepté le ea^ où la distance des centres sera égale à la somme ou àla différence des rayons des deux cercles par lesquels on construit le point : la nature de la question déterminera lequel des deux points on doit prendre. On pourra encore déterminer les points par leur distance à un point et une droite fixe, ce qui se construira par la rencontré d'une droite et

A T9 ) d'un cercle cb présentant encore une double solution. On pourra aussi les reporter à deux <jijiC^\^ i^^^x^^^ .^^ déterminer par leurs distances à ces droites ; ces distances peuvent être dirigées $ous t^n a^lç qfi^(qo9^i{|iç.,aTep lç|S pr4^mif:r.e&i JUAi&il/«st plus Q9nunof]|^ fgiff ^feçt leur spjeut.r^sp^JLvemeiit paraUàlps. E^fîn^ bu pQuirra;gaçepdrie un point. 19t. une droite û\e& et.d^ternûneir tout poifft^par b longueur de ladrçit^e ^i.Ie jp^at A« premier et par son jnclin^jkçoypi ^ur la droij^ fi^e. Rien n'çinpécherait de suppoiser^ un ji^$^§r9i^.|ipn9^e de systèones^mai^ pn s'arrête à pjeu.pcjb^ e^ç;l^i^st|fenient.^ux,dffu^ ^cni^r^ Qomine. offrant gé^ néralemex^t des ,calcu}s. pliu| ^i^^p^s j et donnant le: moyen d'évi-. ter l'ambiguïté des solutions multiples par les sign^^ qi^i ,s^f£eçtQj^tr les quw^ti]^s;[À^^.k.défcçf:l^^iîf#tifl|^i^ points iw ùvi pl^Rse ramenai P^,4Ç;«?|id8\irs>?ftiJ,iîijléMï'^«> sait dn©ila}r€fiF, qui

81. Qwntvi^mpqîf^ ^(yés ^^^^ï^9]^'^hve:quél«ouqf^é dans l'^WW > ft1V;)p9r 4Spliq»if «1»» (k^ipii^^és ^md^f^ On les dé-T *enniqeir^^Jft^%4i^|ft«gfftÀ tmiftPfti»tftou,à trois droites fixe»

Qu. à uflii ^^i^s^^:c(u^Ii09«qH^4^ pomt^.^tde «1%

nom]^e,dQ<tiîoi$i«iii8^/$e «onstrujr/Olnt . alijr* phr des reiEMH^ntrefii desHffooe^ nftiéi^i^^^ qu-^yl^nApiq^cis- Ou,,p9»^c^neQre dà;*rminer, lesjMjà^^j^Jbuvs^i^^taMiaes^ trois ^pl^^ns:^ oomptée» paraU^e^^tf.aii:^ Ânt^nr^^çtions dç peà pbus^ o^par leurs distances k un poi;nt ivf^rfih U» indivfiiwaA de cas /dw^noes sttr trois d^oît^fj^^fcppnkà^f .par>le,pv09KiBÉ} ]M>i»t« lEnfim^: oà {leiiit prendrç ^^ jp|^v^ f^^fa^mi p$>Pft: 4e ee. tf^m- VEk€»»r . une droitQ &^ex^ais44t^9Îvç^ ^j|)ipinl44^r^le«u!idistaQ«e*àu points fixe, par l'a^lci qv'^U^ 'f€^%ilill#«jiaHl^^i!0Jfloli0tti sur; le pjaii primiti£et;pair lfaj|g>e de pe)to,pit^eieMo«tayec la- droite: fme* Onr pourrait multiplier à.l'itàâai c^ ^ystèines, mais 4>n n'emploie ordinair^in^z^, Que l^&,tnoi^. dertii«r9>oDar les raisons que nous arons données poaçjes j^ji^slèw^s, mhtifs aux pointo datis un même plan. • - . ■ » m . :j'.ri '>- *

Par là tous ies.pvûUëaussrsuif ia. détermination èo& points rcTenant à desproUemes sur les grandeurs 9 lès c3aLoid>4le l'Algèbre y deTiendiront immédiatement applicables.

Des lieux géométriques des équations.

8j. Pour qu'un point soit déterminé sur un plan , il faut que ses deux coordonnées le soient etlesHméines ; f t ikut donc qu'on ait entre elles deux équations. Chacune de ces équations considérée isolément oonyient à une infini de points contigiàs qui peuTcnt former une ligne d'une nature quelconque y et les points communs à ces deux lignes sont ceux dbnt les coordonnées satisfont aux deux équations à k fois'^ ce seront donc les points cberdiés y s'ils ne sont assujettis qu'aux conditions exprimées par ces équations.

On a nommé heu géoràétrique d'une équattéfn, l^nsemble de tous les points dont les coordonnées satisfont à Cette équation : on le construirait en faisant passer- 1^4itie des rariâbtes pali^ tontes les valeurs possibles d'une Aiaïkière continue /él^ déterminant à cliaque fofa ta valeur de là «eeGiùàt et peii* suit» lë'poilit correspondant : on au^a ainsi une. suite* àdftàibue de ^inte ^i fbrmeront une ligne &iie ou infinie y^ebm{M^<\fùnë'Ota de ^hsieurs ^branches distincjt&y suivant la nature dé Péqtiâtiôn proposée.

Les lignes peuvent donc être i^prêsentées par Aek équations , et l'on peut ^Ire servir l'Algèbife à la^ ^echél^èhc?^ leurs pro^ prîétés : il se présente à ce sujet deux problèmes généraux inverses l^un de F autre, et qui comjH^ennent tontes les appliea* tiens de l' Alg^re à la ttléorie* des^ courbée^; Dàn^ l'un on a pour objet de déterminer les jÀ^priétés géôméirïqties :dés courbes d'après leinr équation ; dat» l^aatre , de trouver leur équation d'après une propmété géométrique qtfi les caractérise exclusivement : dans le premier on paSâedcfT Algèbre k ht Géométrie^ dans le second de la Géométrie à l'Âlgëbfel ' ">' ^

• Si l'on considère les points situés d'une manière- quelconque dans l'espace, ils seront déterminés ^par trois ^coordonnées; il faudra donc connaître trois équations entre ces quantités. Chacune de ces équations conviendra a une infinité de points, et le» points communs à ces trois lieux seront les points cherchés, puisque leurs coordonnées satisferont à la fois aux trois équa*

lions. Ge$ lieux ne seront plus des lignes , mais des surfaced : car fil dans une équation à troi3 variables on donne une valeur à Tune d'elles , il restera une équation à deux variables qui , d'après les raisonnemensprécédensy déterminera une^certàine ligne : que Ton fasse maintenant passer la première variablepar toutes les valeurs d'une manière continue , on aura une suite indéfinie de lignes oont^uës dont l'ensemble ne peut Ibrmer ^ qu'une surfiaice.

Les surfaces • seront donc représentées analytiquem^nt jpaf des équations k troîa variables; et les lignes pouvant toujours être considérées comme l'intersection de deux surfaces , se trouveront représentées par deux équations à trois variables : quant aux points 9 nous avons déjà dit qu'ils le seraientpar trois é^a** tions. On pourra donc encore appliquer l'Algèbre à la théorie des surfaces et des lignes dans Fespace; et cette application conduira de même aux deux problèmes généraux dont nous avons déjà parlé au sujet des points sur un plan. Examinotis la' marche qu'il conviendra de suivre dans la résolution de ces. problèmes.

Méthode pour trouper les équations des lieux

géométriques.

83. Pour trouver l'équation d'une ligne oli d'une surface déterminée par des conditions géométriques données^ on considérera un point quelconque de ce lieu , et on exprimera algé-« briquement^ au moyen de ses coordonnées et d'autres quantités comiues ou inconnues, toutes les conditions auxquelles ce poi|it est assujetti par ^ la question : il en résultera des équations qui renfermeront le plus souvent, outre les coordonnées du point du lieu , d'aiutres variables qui en dépendront Or comme on ne cherche qu'une équation où les seules variables soient ces coordonnées, il faudra, au moyen de ces équations, éliminer toutes les variables étrangères, et l'équation à laquelle on parviendra sera l'équation cherchée : car elle existera entre les coordonnées d'un point quelconque du lieu proposé, et elle ne conviendra

(■8a ) «qu'à ces points, st les équations employées représentent fidële*' ipent les conditions géométriques et si le calcul n'a pas introiluit jie solutions étrangères.

Cette méthode est applicable^ la fois aux lignes et aux surfaces. Mais pour ces dernières > quelquefois les données géométriques font connaître leur génération par lignes et non par ^points : dans ce cas on considérera , non plus im point général, mais une quelconque de ces génératrices ; on déterminera ses équations ainsi que celles qui exprimeront toutes les conditions auxquelles die est assujettie , et on éliminera dé même toutes l^ -variables autres que les coordonnées des points de la gênéi^atrice* On serait bien arrivé au même résultat en considérant un point unique; mais ce qu'on aurait touIu exprimer pour ce point seulement, on l'aurait exprimé malgré soi pour toute la génératrice , et tout se serait passé de la même manière. . 84. Soient pour exeniples les deux problèmes sui^ans oh le lieu est déterminé dans le premier par points , et dans lé second par génératrices.

PaoBLiMS. Trouver le lieu des points à égale distance de ideux points donnés.

Soient «t| i3,y et fl&% /8% y les coordonnées des deux points ^nnés, et od yj' j z* celles d'un point quelconque du lieu. Si l'on appelle D et D' les distances respectiyes de ce dernier aux «leux autres^ on aura la condition p = IX. Pour exprimer que D et P^ sont les distances des points en question, on aura

D^=fx" — «)«» + (/ -./8)-+(a'-y)S Tf- ='(x'' — a!Y + (y - ^"^ + (^ - y )••

. Toutes les conditions étant exprimées, il ne reste plus qu'à éliminer les Tariables J) et D', pour avoir une équation entre les coordonnées x'^y' , zl seulement* Il yient alors

et enfin en réduisant et ordonnant.

3r(«i'— «)j/+ a(^— i8)y'4. 2(y'^ >)6'+ («»— «'•) + (^'— jS")

Cette âemière équation existant entre le» coordonnées cP un point quelconque du lieu ^ est Péquation même de ce lieu. «

pROBLiia. Trouver le lieu des intersections successives- dédeux plans perpendiculaires entre euv et passant respectivement par deux droites données dans l'espace^

Soient les équationi^des deux droites données

X =: a£ -f* ce y jp == a'z + *', y=zbz + fi, y^Vz + fi^',

les équations dès deux plans seront de la forme Aor + By + Cz+D^oy A'o: + B'^ + C» -f- D' = o.

On exprimera qu'ils passent respectivement par chacune des deux droites; au mojen des équations suivantes : >

Aa4-B6 + C=3o, AV + B'y + Cîï= G, A* + B^ + D = o, AV+By+D'z^o; '

la condition qu'ils soient perpendiculaires entre eux donnera

AA+.BB' + CC = o.

Ces cinq dernières équations exprimant toutes les conditions données, et les équations des deux plans/ ayant lieu pour tous les points de leur droite d'intersection qai est la g&iératrice du lieu proposé, il suffira d'éliminer «itre ces sept équations là huit variables A, B , G, D, A', B', C, D% pour avoir une èqua-i lion ei^tre les coordonnées d'un quelconque des points d'une quelconque des génératrioes , c^estp à-dire l'équation du lieM*

II' semble d'abord que^ les sept équations doiient être in*^ suffisantes pour éliminer les huit ooeffîcîens variables; mais on observera que ces dermieirs peuvent être réduits k six. en divisant les éqnsftions des* deux plans par un. de lemrs coefficiens. Leur élimination est donc possible de cette inanière^ die le sei'a donc auissi sans cette préparation i puisque les jéquati<riis né seront changées que par la sim^e suppressipn d'un fiMteur; ot>ott verra en effieti par le calcul^ qu'après l'élimi*

( 84 ), nation de six des coeflScieiiSi les deux autres (^isparattront d'eux-mêmes de l'équation GùS^ oèi ils seront faeteuni a tous les termes.

Des Solutions étrangères.

85. De quelque manière que l'on effectue Pélimination des Tariables auxiliaires^ Inéquation finale a lien pour tous les points du lieu l si les équations pk'imitives leur oonrenaient à tous ; car toute combinaison d'équations satisfaites le sora aussi par les mêmes Taleur& Mais il peut se faire ))ue le résultat contienne des solutions étrangères k la questioh, et cela pourra arriver de plusieurs manières. Cela peut tenir d'abord 'âi ce que les conditions géométriques n^ont pu être exprimées par des équations qui ne s'appliquassent qu'à elles seules^ ou à ce que l'élimination aura introduit des solutions qui ne se trouvaient pas dans les équations prin^itives ; et dans ces deux cas il est facile quelquefoisd'en dâ>arrasser l'équation finale , comme il peut se faire aussi qu'elles y restent sans qu'il y ait aucun moyen de les en faire disparaître.

Lors donc qu'on éiTectuera quelque élimination, il faudra examiner avec soin si les divers résultats intermédiaires n'admettent aucune antret solution que les équatiotas d'où on les déduit; s'il s^en trouve et qu'on ne puisse les supprimer , il faudra les suivre, dans tout le cours du Calcul et voir de quelle manière elles modifient l'équation finale. Il peut arriver que ces solutions soient susceptible^ d'en êtr^ extraites», bien qi|'elle9 n'aient pu disparaître des équations précédent^^, et alors e}les n'affecteront en rien le résultat cherché i .dans le cas con,traire^ on se bornera à ne tenir aucun comp^ tant df$ ce;s solutVms que de tout ce qui s'y rapportera. 11 serait 4i£Sjcile.d«i donner des rè^s générales sur œ point, et nous nous bprn^rons à quelques exmnples que nous générjdiserpns ^aqt^nt^ que possible. ... .

B6, Lorsque les points d'un lieu sont, déterminés par une droite passant par un point constant, il arrive souvent que les coordonnées de ce point, satisfont ii L'équation jfinale sans

convenir \ la question ; car alors l'équation c(e cette droite eàt de la forme y — C = A(j? ' — #) > *

C et « étant les coordonnées da point fixep^ir lequelelle passe. Or y s'il entre dans A comme facteur au premier 4egré y une des quantités à éHminer > son expression sera de la forme

Î1L(2=5 . et repp^ée dans les autres équations , die les re.-

3?"^ fit

dra satisfaites par jr == C, r 3;: « ; p^rœ que tous les termes auront poift* fficteur j^ — C p.u x — - « ^ quand on aura citasse les dénominateurs. Si do^c ces équations n'admettaient pas d'abord cette «olutiop, elle sera ^rangère , et on ne pourra cependant 86 dispenser de Ftntro^uire.

87. Plus généralement , si une des varisiîbles à éliminer se pré-

AF(x y) sente sous la forme ^-t~ -^ >^ les ^ux fcmctioxvs F et ^, ne re^-

fermant aticune autre variable que Xy^^ , il e^ clfiir qt^e les équations résultantes dç cette substitutiqxi admettront toutes les solutions des deux équations F(ar,^)=o, Fï^a;,j^; = ô, qui presque toujours seront étrangères à 1^ question. Tl arrive quelquefois qifelles se suppriment d'elles-^mânes dé f équation finale^ c!estce qu'on irerra? p^ exemple ;( dans le problème suivant :

ÇBOBiJacx. Trouver h lieu des pjeds des" perpendiculaires çbaissées dun foyer de f ellipse, sur ses tangentes. Soit Féquatien de l'ellipse ay+^*x*=:a*6*. Désignons par x' yy' les coordonnées d'un quelconque de ses points , et par c Pabscisse 4tt foyer ; il est fadle de voir qu'on ai^ra à.éliniîner x' et y' entre )e8 trois équations suivantes ,

ayy + b*xx' = q»i* , Or, si l'on tire^*' de la dernière , on obtient

•et la flibbfititaant^.Ies équations résultantes , admettront y <ni j7— - c, comme facteurs à tous leurs termes; ellea seront don« satisfaites par jr==:o et xc=Cy ce qui donne. le fojer par oh

, passent toutes les perpendiculaires \ de plus ^ il est facile de yoii*

. que cette solution sera étrangère à la question, car eQe ne satisfait pas à la première équation. AchcTant le calcul , on trouve

* une équation finale qui peut se mettre sous la forme

Or, le facteui* j^* + (x — c)* étant égalé à o, dpnne précisément le foyer pour unique solution. Le supprimant doiic y il reste < pour le lieu cherché l'équation y + ac*— a*==o, qui détermine le cercle décrit sur le grand axe.

%^. Voici maintenant un exemple du cas oii la solution '^ étrangère ne saurait disparaître du résultats

Pboblâmb. Trouver le lieu des points cbtenjis en prolonr géant ^unp quantité constante les. rayons rnené^ d'un point Jixe à une droite donnée.

En prenant le point fixe pour origine, et désignant par a et i ,1a distance du point k la droite donnée et la quantité constante dont on prolonge les rayons, une simple proportion conduit i l'équation suiyante entre les coordonnées du lieu ,

y^qzs

Vy^+x^

Chassant le4lénominateu', on a la solution y^^Of xss,Of qui est éyidemment étrangère ;■ et ne peut cependant être supprimée de l'équation.

III m«-