CHAPITRE Vm
Sur la disoussion des Equations des lieux plans..
^9* v^UA^TD on veut discuter le lieu plan d'une équation à deux yarîable^ et quejcette équation peut être résolue par rapport à l'une d'elles 9 on donne successivement à l'autre toutes les valeurs depuis o jusqu'à =h oo ^ et on voit quelles valeurs correspondent à chaque fois pour la première variable. On peut s'assurer par la si le lieu est fini ou infini ^ continu ou corn'posé de plusieurs branches séparées, si les points vont en s'éloignant ou en s'approchant des axes des coordonnées, et l'oit suivra ainsi d'une manière approxima1|ive le cours général de la courbe. Mais lorsqu'on en voudra connaître la nature d'une manière plus approfondie , il fatidra poiuvoir déterminer en chaque point quelle est la direction de son cours , de quel côté elle tend à s'infléchir, de quelle manière varie sa courbure, etc., etc., et beaucoup d'autres propriétésquiooncpiurent à donner une idée nette de son étendue et de sa forme^ Nous allon» examiner les principales d'entre elle» et indiqua les moyeûs généraux de les découvrir»
Des droites Tangentes et des Normales.
go. On appelle tangente en un point d'aune courbe, I4 Kr mite vers laquelle tend une sécante qui tourne autour de de point, et dont un des autres points d'interâection avec 1» courbe se rapproche indéfiniment de d^ premier point.. . •
En considérant la courbe comme limite d'un polygone rec4 tiligne inscrit et dont les côtés décroissent indéfiniment ,' on voit que la tangente en uït point est la limite de la directions d'un des p6tés ou élémens du polygone^ el c'est ce que Foa
(88) exprime en disant que la tangente indique la direction de l'élément de la oourbe au jx>Snt de contact.
91. Pour déterminer Féquation de la tangente en un point donné > il 8n£Sra , d'apris ce que nous venons de dire , de calculer l'ange que tend à faire avec Taxe des x la sécante menée par ce point, et dont la corde interceptée tend à devenir nulle. Soient donc x% y' les coordonnées du point donné'y et F(x,y) = o Féquation de la courbe; la sécante aura une équation de la forme y — ^ =s m (j; — x'), et il ne s'agît plus que de déterminer la limite de m.
O>nceT0ns pour cela qu'on transporte l'origine au point x^^y\ l'équation de la courbe deviendra
oo en développant comme nous l'avons tu (n** 39),
0=P(^,y)+n^«+F'(y')y+Ax»4-Bxy+Cy-|-l)y+. . . . ,
équation qui se réduit à la suivante , puisque F(x',y) est nul*» vu* que le point donné est* sur la courbe
L'équation de la sécante devient yr::mxy et pour avoir ses intersections avec la courbe, il faut chercher les solutions fxunmunes à leurs équations. Reportant donc dans la première la valeur d^ tirée de la seconde , on aura pour déterminer les obscisses des points de rencontre,
o = F'(x')x + F(y')/nx + Aa;* + Bmx* + Cin*x»+. ... ;
équation <pii donne d'abord o; = o , ce qui devait être , puisque l'origine est sur la courbe : supprimant le facteur x, il vient
o EX F(x') + mF'(^)+ Ax -^.Bmr +
Or, podr qu'un seoDfid point de rencontre vienne 6e réunir à l'tnnginey il faut que cette équation ait une seconde solution nulle, ce qui donne la condition
F(a;^) + mF{/)=ro; d'où l'on déduira la valeur de m loisriue la sécante se réduit
( B9 ) à la tangente ; cette valeur- est ni = — ^,) / ; la reportant
dans Féquatlon générale de la droite qui passe par le point ^Vy I ^^ ^^^^ pour Féquation de la tangente
y-y-- FJyj^'^''^'
9^. On appelle normale la perpendiculaire à la tangente menée au point de contact; son équation se déduira donc facilement de la précédente d'après la condition connue qui exprime que deux droites sont perpendiculaires entre elles : cette équaticm sera^ si l'on suppose les coordonnées rectangolairesj
Si les axes font entre eux tm angle quelconque 9 , Féquation de la normale deviendra
^ . F-Cy-)-F( x^)cos9
95. PaoïiLàaiB. TVouver l'équation d'une tangente ou d'une normale menée par un point non situé sur la courbe*
Soient et, jS les coordonnées du point par lequel on veut mener la tangente; désignons par a%y celles du point de contact 9 on aura d'abord F(r', y') = o.
L'équation de la tangente sera de la forme
on exprimera qu^He passe par le point ce, fi au moyen de Féquation '
qui, jointe à F(x',y) = o ,- déterminera les coordonnées x',^* des points de contact. Le nombre des tangentes sera égal à celai des solutions réelles du système de ces deux équations. ,
Les points àe contact pourront être déterminés géométrique^ ment par rintersectipn de la courbe donnée , avec celle que re-
présenterait Téquation C— y = — ^"t (*""*')> clans laquelle on traiterait a/ et y^ comme variables.
Dans le cas des courbes du second degré , cette dernière ëquation se réduit à celle d'une ligne droite^ et fournit une construction tr^ simple du problème.
On ferait des calculs du même genre pour la normale.
94. PaoBiiaiE. T^rouver têguation éPune tangente ou iPun$ normale parallèle à une ligne doniiée.
Soit y = mx l'équation de la droite donnée ; il faudra , pour
la tangente cherchée , que Ton ait — wr~A =''**^*^*^^'*T*^
jointe à F(x'yjr')=o^ déterminera les points de contact. Le problème pourra encore se construire par l'intersection de la courbe donnée , et de celle que représenterait l'équation
Cette dernière se réduira encore à une droite | dans le cas des courbe^ du second degré.
S'il s'agissait d'une normale , on aurait à résoudre les deux équations
Ou peut par là déterminer les limites de la courbe dans le sens des x ou des j^ ; il suffît de chercher les points où la tangente est parallèle à l'un ou l'autre des axes» Il £aut en excepter le cas particulier où la courbe aurait enl^es points ,, ce qu'oa nomme une inflexion y c'est-à-dire un changement de sens d^s sa courbure; alors elle traverse la tangente au point de contact ; et la limite dont nous parlons n'existe plus.
95. PKoBLàME. Trouver V expression générale des squs-tan* génies et sous-normales.
Oa appelle ainsi le» parties de Taxe des x comprises entrv le pied de Fordoimée du point de contact , et les points où l'axe des X est coupé par la tangente et la normale*
Cela posé e soient x' ^y' ^ les coordonnées du point de contact M (^g« 9); TP et PN seront respectivement la sous-tangente et la sous-normale. Or ^ par la propriété du triangle rectuigle , on aura TP ==/ tafag TMP et PN =y tang PMN , oa en remel^tant les valeurs de ces tangentes
Voyons ce que deviendront ces formules quand les axes des coordonnées feront entre eux un angle ^ , différent dé l'an^ drdit Si Pon désigne par « l'ange de la tangente avec l'axe des x, on aura TP par la proportion TP i ^ V. sin (I — «) S sin «;
d'oi. TP= /T^*-*l Or, ..-$:f=-g^.
sm« ' sin(l — «) F^Cy)
. On aura donc pour la sous-tangente , la même formule
^^ F(aO. '
Four déterminer la sonsriionaaile , on aora la propmtion
FN:y :: sinPMN ZsmMNP :: oos(l— <t) :cos<c;
On peut encore tirer immédiatement les formulés précédentes des équatiops mêmes des tangentes et normales , en cber-' chant la valeur de x— j/ correspondante ày = o. Ce moyen est le plus simple et le plus analytique ^ et je n'ai présenté le précédent que pour ojTrir une application des transformations trigonométriques.
Du centre des courbes.
