On appelle centre un point tel que toute sécante qui

y passe a ses points de rencontre avec la courte situés deux, à deux k égale distance de ce point, tfoii il résulte d'abord que quand des courbes de degré impair auront un centre, il sera sur la courbe même, puisque les ^sécantes donneront généralement un nombre impair de rencontres ; dans les courbes de degré pair, au contraire, il sera hors de la courbe, à moins que dans ses diverses sinuosités elle n*y vienne passer un nombre pair de fois.

Une remarque importante à faire, c'est qu'une courbe ne peut avoir qu'un seul centre , ou qu'elle en a une infinité. Soient en effet A, A' (^. 3) deux centres d'une même. courbe, et M QuquelcoïKfae de ses ppints. Si l'on mène la droite MA et qu'on la prolMige d'une quantité égale en M', ce point appartiendra enoore à la courbe, puisque A en est un centre. Si de même on joint MA', M'A', et qu'on lés prolonge de quantités respectivement égales en N, N' , la drôite NN' sera parallèle à MM' et coupera AZ en un point A" tel que A' A* car AA' ; de plus oa aura A^NssA^'N', puisque MA t=s M'A*, d'où il suit que le point A'' sera encore tel, qu'une sécante dans une direction quelconque aura ses points d'intersection situés deux k deux à égale distance de ce point; il sera donc enoore un centre de la courbe: SemblaMement les deux oentres A'^ A* en détermineraient un troisième à la même distance de A'' et en ligne droite avec les trois premiers; et ainsi de suite indéfiniment des deux côtés du point A; car on peutsfaire à gauche ce que l'on vient de faire à droite : d'où II suit que si une courbe a deux centres, elle en a nécessairement une infinité en ligne droite avec les deux premiers et distribués tous à égale distance dans les deux sens Indéfinis* de cette droite.

Il est facile de juger que si tous les points de la courbe sç transportaient parallëlenient à la ligne des centres d'une quantité égale à AA", ils viendraient coïncider avec d'autres points' de la courb^. D'où , il suit qu'une pareille courbe coïncide toujours avec elle-même , quand on la transporte parallèlement à la ligne des centrés et d'une quantité égale à un nombre pair de fois la distaiiçç de de^x centres. Si cette dernière

(.93) dktance était nulle ^ tous I^s points de la droite seraient des centres, et qaelç[ue m^uvem^t qu'on donnât h la courbe par«^llèlem^t à cette ligne » lEîlle coïnciderait toujours avec ellemême ; ce qui ne peut eo^yenir qu'à un système de droites parallèles ^à la ligne des centfçs.

97. Il résulte encore de, ce qui précède, >..qM?Une courbe dont l'équation est algébrique ;ie peut janiais airok^ qu'un seul centre; car, si^elle en ayait deux, toutes les ligues parallèles k la droite qui les joindrait; rencontreraient la çpurbe en un nombre infinî de points, ce qui es|t impossjb][e4 II faut toutefois en excepter le cas |OÙ l!équation irepré^nterait un système de droites parallèles.

98. Gela posé, voyons comment, étant donnée, l'équation d'une courbe , on pourra détei^ipiner les coordonnées de son centre, ou s'assure^ qu'elle n'en 1^ pas* Or, d'apr^la^ défini^ tion que nous* avons donnée du centre, il est clair que si on le choisit pour origine et que x , y désignent les coordonnées d^un point quelconque de la ppurbe, — ,x et — jr.sqrçmt encore celles d'un autre de ses points *, il faujt dpnc , daii^s ce cas , que l'équation ne change pas quand x et jcchangje^ en même temps.de signe;;,; <^ qui nécessité,; que tous le^ tenues soient dç degré pair, p^r ?*4^ppoS au^t dei;(X .v^rialjiles , ou bien tous de degi'é impair ; parce qu'alors ils resteront les mêmes, ou changeront de signe à la fois, et l'équatiça^. restera la même. Réciproquement, l'une ou l'autre de ces circonstances est évidemment suffisante.

D'oi il résulte que" pour tçpiiver le centre dfp^ courba donnée p$M^ ^^n équation, ^i) :iajiiLt,:9^pres s'ê^re^ ^^^^ .^^'^^ ^Jn'est pas à roi:igJ«4e m4^>>ll'^sppi*^çi^ celle-ci ^n nn 'ppint quelconque du plan, et voir si l'on peut détermipefp les .cooç^ données. de oe point de, m^ni^^f- ^'il ve reste d^s Fqquation aucun terme de <l!Pgré imSI^i^rlijl M, courbe ^ d«^;degré pair^, et aucun terme de degré pair si la courbe est.,^e.^egré împaîr : car on scîU que isi^ <s0|ïtotr^nsfcirmation l^iterme» du plus fort degfîé^ne peit.ven^«diqpwaitre et restent 3 tels qu'ils épient. On obtiendra ain^-nn çtjrtnin noi^bre jjiféquajtiçns 9b il n^y aura d'inconnues. 9ie> l^ ec(pr,dann^^. ^^ ],'origine., e^

si elles peufeni étro toutes satisfaites en mime temps ^ U oourbe aura un centre qui sera la nouvelle . origine.

Quand la oourbe est de degré impair ^ le terme indépendant d'x et d'j^ disparaissant quand on la rapporte à son centre^ on voit se yériËer ce que nous avions déjà démontré à priéri g, savoir, que le centre se trouvera sur la courbe même.

Le centre des courbes algeluriques est donc toujours facile à déterminer, et l'on verra, en prenant une équation générale, qu'il suffira de résoudre deux équations du premier degré; d'oii Fon conclura encore qu'il n'y aura qu'un seul centre si ces équations ne sont pas indéterminées. Dans le cas où éDesIe seraient, ainsi que toutes les autres équations de condition , il suffirait alors que la première fût satisfaite pour que toutes le fussent , et cmnme elle est du premier degré , elle construit une droite dont tous les points seront des centres; ce qui ne conviendra, comme nous l'avons déjà dit, qu'à un système de droites pa* rallèles.

ïiOrsqu'on aura à discuter une oourbe à centre, il sera généralement avantageux de prendre ce point pour origine, tant à cause des termes qui manqueront nécessairement dans l'équation, que pour toutes les auti^es simplifications qu'introduira la symétrie delà courbe par rl{>por!tà ce point.

Des Diamètres d&s Courhes.

9g. Où' tiomme diamètre d'tÉne courbe , le lieu des milieux d'un système de èordes parallèles : ce lîeu peut-être une courbe d'un degréf' quelconque, qui se ti:oiivèra déterminée par celui dé la proposée.

Soit ¥{x, yy = o, Féquatiott d'une courbe donnée , et soit proposé dtf trouver l'équation du diamètre, des cordes parallèles à la droite y =rmjc "

DéiBlgnonsT par a/ ,y , les èodèdonnées du milieu d^une quiconque de ces cordes, et concevons >qu'on y 'trtmsporte Torîgine; Féqc^atiôn de la courbe deviendi^ F{x -!*• af', y 4- y') œ , et ceUe delà sécante sera j ssnup. four que Porigine soit an

milieu d^une des cordes produites par cette sécante , il est nécessaire et suffisant que Téquation eil x résultante dé l'éliminafîon d^ entre l'équation de la courbe et celle de» la sécante, ait deux racines égales et de signes contraires. Cette équation sera F{x -^ a;', mx +y) = o , etla condition dont nous Tenons de parler , s'exprimera par une équation entre ses ooefficiens. Cette dernière ne contenant de variables que xf ety' ^ sera l'é-* quation du lieu de tous les milieux des cordes parallèles à la direction donnée.

loo. En appliquant cette métbode à l'équation générale du second degré

oy* +bxy+c3^ + dy +ex -+•/== o,

on tronte pour l'équation finale en x

aimx+yy+b(x+x'){mx+y^)+c(x + xy '^d(mx+y) + €{x + x')+f=:o.

Or, pour qu'elle ait deux racines égales, et de signes con-" ttaires, il faut que le terme du premier degré disparaisse, ce qui donne

(aam + b)y + (fim + 2c)a7'-j-d/n + e=o. .

Cette équation étant du premier degV*é, apprend que tous les diamètres des courbes du second degré, sont des lignes droites.

En l'ordonnant par rapport à m , elle devient

mijàay' ^bx' + ^) + ^^ + ^y + «.=Q ,

et sera satisfaite, quel que soit m , par les vâlcruts de x' et y, qui satisferont aux deux conditions ., ' .

uay' + bx' 't^dz^io, acjj' + iy' + esso.

Or, ces équations sont précisément celles qui déterminent les coordon^iées du centre d^ là coutbë; d'où il s«it que tous î«s diamètres passent pa[r'le'oèritrt, et par coiîséquent derieniient* parallèles , quand ce centre s'éloigne à P infini:

101. Ayant l'équation générale des diamètres d'one courlie en fonction de la quantité m y qui détermine la direction des cordes, on trouTera les diamètres rectil ignés , s'il en existe, en cherchant quelles sont les valeurs de m qui introduiront dans cette équation des facteurs rationnels du premier degré en Xyy : de plus, on verra sans peine si parmi ces diamètres il y en à qui soient perpendiculaires sur leurs cordes; auquel cas on leur donne le nom particulier d'axe,f.

Des jisjrmptotes.

loâ. Une ligne 'd'une nature quelconque ^ est dite asymptote d'une courhe, lorsqu'à partir d'un de ses points > elle s'approche indéfiniment de cette courbe , sans jamais la rencontrer, quelque loin qu'on les suppose prolongées l'une et Fautre.

Les asymptotes rectilignes, les seules dont nous nous occuperons ici , peuvent encore être considérées comme les limites des tangentes, dont le point 'de contact s'éloignerait à l'infini; et plus généralement encore commo les limites des sécantes dont la corde interceptée s'éloignerait i)idéfiniment sur la courbe , en restant d'une grandeur constante , ou variant d'une matiière quelconque entre des limites finies. Soit en effet l'asymptote UV, et MN la corde interceptée ; les deux points M et N allant en s'éloignant indéfiniment sur la courbe « leurs distances à UY ont pour limite zéro , et par conséquent l'asjmp-> tote est la limite de la sécante. De plus, il est évident que cela ayant lieu , quelque rapprochés que soient les deux points M et N , il en sera de même quand ils coïncideront , et l'asymptote sera encore la Jiinite des tangentes^ dont le point de contact s'éloignera à l'infini.

io3. PaoBLèMS. Trouver les asymptotes pfirallèles aux axes des coordonnées. Pour qu'il y ait une asymptote parallèle à l'ase des a:, il faut quje la valeur d!y tende vers^une quantité finie, lorsque x tegd vers l'infini , et réciproquement cette condition est suifisante. On n'aura. don^ qu'à, diviser les deux membres de l'équation par la plus forte puissance d'x qui s'y trouve , et

( 97 ) voir si Féquation à laquelle elle tend k ce réduire quand x tend vers Pînfîni , peut étjre satisfaite par des Taleurs réelles et finies ày. Soient a ^ & ^ c • • • ces valeurs , les asymptotes parai* lèles à l'aie des x auront reqiectiTement pour équations

Si au contraire l'équation résultante en y n'avait pas de valeurs réelles et finies^ il n'y aurait évidemment aucune asymptote parallèle à Faxe des x.

On peut observer qu'une des conditions pour que cette équa-* tion soit possible , c'est que le plus fort exposant de x soit moindre que le degré de Féquation proposée, sans quoi quand on ferait tendre x vers Finfini après la division, tous les termes qui le contiendraient en dénominateur convergeraient vers zéro si y tendait vers une valeur finie, et il ne resterait que le coefficient du premier terme en x, lequel devrait tendre vers zéro, ce qui est absurde. La même chose aurait lieu si le terme du plus fort degré en x était unique et avait un coefficient indépendant d'j^. D'où il suit que dans l'un et l'autre cas,^ ne sau^ rait tendre vers une quantité finie quand x devient infini , et que par conséquent il n'y aura pas d'asymptotes parallèles à l'axe des x^ ■ ,

On ferait les mêmes raisonnemens pour Faxe des^.

io4. Appliquons cette méthode à Féquation du second degré; et comme il n'y aurait pas lieu à chercher les asymptotes parallèles à Faxe des x si le terme du second degré en x s'y trouvait, supposons-lui la forme

ay* Hh bxy + cy-4-«£r-|-e=so.

Divisant par x, il vient -^ + by + ^ + d+^ =Of

équation qui est satisfaite quand x tend vers Pinfini et y vers la valeur finie qui donne iy-f-<i=o; il ya donc une asymp-

d totc ayant pour équation ^ =:— » r > excepté le cas où 6=0,

Semblablement, si lé terme en y*. manquait, on trouverait

(ô8) une asymptote parallèle à Vx^edeêy et ayant pour équation

a: = — T > i moins encore que l'on eût 6 = o.

Or on sait que quand le rectangle xy se trouve dans Véquation et que l'un des carrés x* ou y^ manque , la courbe est nécessairement une hyperbole : d'oii il suit que Fhyperbole est la seule courbe du second degré qui puisse avoir des asymptotes parallèles aux axes des coordonnées; et comme ces axes peuvent prendre toutes les directions possibles , les courbes du second degré autres que l'hyperbole ne pourront avoir aucune asymptote rectiligne.

io5. PaDBilMCB. Trouver les asymptotes non parallèles aux axes, n suffira pour cela de changer la direction de'l'axe des x, et de déterminer toutes les inclinaisons sous lesquelles il devient parallèle à quelque asjrmptote. £n supposant donc les premiers axes rectangulaires , on fera

x=zx' 008 « , y^=ix' sin « +y' , .

et on cherchera les valeurs d'« pour lesquelles l'équation résultante donnera des asymptotes parallèles à l'axe des af. Soient f'^sia^y "sszbj . . • . les équations de ces asymptotes ; on repassera au premier système en remplaçant y par sa valeur en x et y y qui est y— X tang «^ et on remplacera « par les valeurs respectives que l'on aura déterminées.

Soit; pour exemple^ l'équation

ay*^ 4" bxy '^cx^-{'dy + ex +f= o ; elle devient par la substitution des valeurs de x et y ^

a(y»+ai;ysîn«+ap'»8in»«)+ij/cos«(y+x^sin«) + cj/* cos* A -J- d{y+x^ gttku) + exf cos «-t-Z^P-

Or, pour qu'il y ait une asymptote parallèle à Taxe des x' , îl faut que le terme du second degré en x' disparaisse } ce qui Joniie asin^if^ bsinmcosm'^cG(^*m:=zo,

d'où atang*«-4**&tang«<4"C = o; on tire de la tang m = ^ .

I>i«i«Bt&t mamtéfiant Inéquation (i) par x^i puis fSusiaût a?' ItiBniy il vient y{aasiatê '\' b oos *) -f <28in«-^6 0os«e=3û| d'oii

ydsiam'^eooSM d tang « «f* <^

&emplât$atity par «a Taleur eh Jc et^ ^ cette équation devieiit

dtan£;«4-6 y— «tang« = — "^ — --r*T>

et remettant enfin au lien âe tang m chacune des Taleurs trouviêed préoédemmént, on atort les équations des deux asyniptoted ^i âaront

On Toit que ai 6*— 4oc est négatif , tang « est imaginaire;

*î ft* — 4ûc =s: o , tang « devient -- — , et le dénominateur

aâtang«+6 devient md : il ne peut donc j avoir d'asymp* totes que quand on a &*^-4âc^Oi ce qui n'a Ueu que pour l'hjperbole.

i)e la Concanté^ de la Convexité et des Inflexions.

io6. Soit M {Jig^ 5) un point quelconque d'une courbe^ et UV une droite dans le même pkn ; on dit que la courbe est coiv* vexe vers UY aà point M lorsqu'à partir de ce point elle commence par Véloigner plus de UV dans l'un et l'autre sens que ne s'en éloigne la tangente au même point M; on la dit concave dans le cas contraire. D^oii l'on voit que si des deux côtés de la projection P de M sur 17 V et entre certaines limites on élevait des perpendiculaires à UT^ elles rencontreraient la tangente avant la courbe dans le cas de la convexité y et après ^ dans le cas de 1â concavité.

Nous nous bornerons à considérer la concavité ou la convexité des courbes ters l'àxe desx; cela sera suffisant potir déterfniner le sens dans lequel la courbe s'infléchit; et d'ailleurs la méthode

que nous ifkUqaerona s'élfndra fidlemont à dea droites quel* €onqne&

Soit donc jf =f (x) Péquation d'une oonrbe^ et d/, y' les coordonnées d'un quelconque de ses points; l'équation de la tangente en ce point sera y —y == ^'(^) X (x — x') ; faisant a;= j/-f-A, on aura pour la tangente ^— y' =:f'(jB'}Ai et pour la courbe

L^aûcroissement de l'ordonnée sera donc plus grand pour la courbeque pour la tangente^ quel que soit le signe de A , si l'on a ^"{pc'y^O'j car on peut toujours supposer h assez petit pour

que le terme ^"(x') l'emporte sur tous les suiyans. L'inTerse

aulra lieu si l'on a ^'{jxf) < o. Si donc l'ordonnée ^(jxf) est positiye, les points de la courbe seront plus éloignés de l'axe des x que ceux de la tangente dans le cas où l'on aura^''(j/)^o, et la courbe sera convexe vers Faxe des x : ils en seront au contraire moins éloignés dans le cas dé ^*(x^) < o , et il y aura «Jors concavité. Mais si l'ordonnée f(x') était négative y les points seraient d'autant plus prës de l'axe des x^que les accroissemens de leurs ordonnées seraient plus grands ^ et alors la concavité correspondrait à ^"(x^)^©., et la convexité à f'(x^)<[o.

Lorsqu'en un point d'une courbe la convexité se change en concavité ou réciproquement, on dît qu'il y a inflexion. Qr, dans ce cas, il faut que la fonction ^''{x) passe du positif au négatif ou réciproquement, et comme ce passage ne peut se faire que par zéro ou l'infini , il faudra que pour le point intermédiaire on ait ^"(x)=so ou ^"(x)=3 00, équations qui détermineront tous les points d'inflexion de la courbe.

Nous allons supposé l'équation de la courbe résolue par rap*port ky\ mais omune nous avcms fait connaître les moyens d'obtenir les dérivées successives d'y par rapport à x, d'après ime é<)«Httioxi quelconque F(x, j^) := Q , les considérations pré-: (Bédwtes pourront être appliquées à toutes les équations.

( »oi ) j

De la Similitude des Courbes.

107. Nous allons nous proposer de trouver Téquatton gêné-' raie des courbes semblables à une courbe donnée. Rien ne sera, plus Ipile ensuite (jue de reconnaître si deux courbes sont sem^ blables : il suffira de voir si'il est possible de ramener Péquation de Tune d'elles à être comprise dans la formule générale des courbes semblables à l'autre.

Soit donc une équation de cooj^Be F(x, j^) =2±o.

Nous pouvons prendre un point tjuelconque pour centre de similitude 9 et nous choisirons pour plus dis simplicité l'origine des coordonnées Soit m le rapport de similitude ; désignonsf par Xy y les coordonnées d'un point quelconque de la coiurbe donnée > et par x\y' celles du point correspondant de la courbe semblable^ on aura j à cause de la Similitude ^

^^::sim et d^cszm,

EKsûnaiit x éiy entre ces deux équations et ceDe de k ooarbe F(jp»jr)ssOy on aura l'équation de toutes les courbes semblables à celle-ci j et placées de manière que les lignes homologuea soient p^urallèles et' que le centre de similitude soit l'originer- Ces conditions ne restreignant que. la position et ncm la forme des courbes sembljiHe^, on est sûr qu'elles se trouveront tontes comprises da)t»S; cet-te formule générale 1 qui sera '

Appliquons .cet ré9t4tat à l'ellipse.' Rien n'empéisbe de la supposer rapportée à ses axes^ et son ^ç^tion sera alors. •«..., û*y*+ i*-Ç* = o*^* î celle des oourbeç semblables sera donc

ce qui donne une nouvelle ellipse dont les axes sont stam , s&m^ on Toit que leur rapport est le même que dans la première , et qu'ils peuvent passer par toutes les grandeurs, à cause de l'inr^ déterminée m. Les ^x)urbes semblables à une ellipse donnée sont

donc toni» les ellipses dont le rapport des axes est le même qtie dans oelle-eik

. Soit enoore réqiiati<m génénde des pan^les y^zr^pçs^. L'équation générale des ocmrbes semblables sera

jp=p|: ou j^-^^pA'-'^a:».

Or le eoeffioient ph!"^* pouvant passer par t;ontes,.les Taleur^ depuis zéro jusqu'à Finfini;; oïl voit que \&^ courbes semblables à la première sont toutes celles doi^t l'équation est de m^^e forme* D'oà il résulte^ comuie cs^.particnlief^ que toutes les paraboles du second degné août semblaUesk .

Prenons pour dernier expnple Féquatiouf énéra^Q des.hypçr« boles x"Jy" =p \ celle des courbçs sembUblçs sera aF^"=pA""t"% ce qui donne encore toutes les courbes comprises dans la mémo équation. Mais il ne faut pas croire pour cela que toutes les hyperboles du même degré soient semblables; il se trouve id une condition de plus , savoir, que les asymptotes sont les axes des coordonnées : d'où il suit que le» hyperboles d'nsi même degré ne sont semblable qiie lorsque f angle de leurs asymptotes est le même.

lod. Si Forigine n'était pas le centre de.silniUtufe et queles courbes eussent leurs lignes homokgues pi^paUiles, on pcfurrâit' ramener ce cas au précédent en transportant la seetonde parallfe^ lement k elle-même* Soient m,C les oo<vcbnUée»' du pc^nc qtti dans ce mouvement viendra coïncider avec Forigine ^ la seeonde courbe ; rapportée à ce point et h, dqs axes parallèles aux pre**

miers;i aura^nne équation de 1» formç Fr-r-, •21j;=tO;, §i la

première est F(x,^) =3 6. •*

Repassant au premier système ; cette équation devteii^a

Cette fcurmule dçnne tqutes l^s gdui^s sex^I^bles à; la.pror posée, ^t,dQut le poiiit hpniqlogMÇ kXov^ps^^^. pwr «ww^ données, «f et Ç-

.109* Supposons enfin que les ooiiTi>e8 ne soient pas placées de manière (jue les Hgnc^ homolo^es soient parallèles. Soit 9 l'angle que fait aree Paxe des x la ligne homologue de la seconde courbe, et «, C les coordonnées du point homologue à Forigine; si l'on transporte^pour dette courbe seulement, l'origine au point «, C, et qu'on prenne un système d'axes faisant entre eux le même angle que les premiers et inclinés sur eux de l'angle f ,1'éqnatioa die la seooiid^oodfbe dsTra encore é|re

Ff— , ^ 1 = o, si la première est F(a:,^) =0,

Les équations de transformation seront, en supposant les coordonnées rectangulaires,

Kouïontire{ , y m\ -^ > ^ . '.

iy ^=={y — b)cosf — (x — «ijsmf;

«bàrtant ces valeursf dians Fr -^ ', ^^j'^ss o , on aura pôUrPèqua-

tipu, générale des i courbes. s^f|;di)i^lei¥ à. la propos^e-.et situéeil d'm^ manière qi^elepnque dans un.pjUu^ .

pf(y— Osin^^ï*^*)^^ (y^^oos^— (i— «i)'sîn»'l

J^l ^ \^ — rrT: j ^^ ' ' ' ' ' M f =»<>'>

Nous ne pousserons^ pas plus loin la recherche des propriétés des courbes. Celles que. nous ^yons fait, connaître suffiront pour lesdiscuter d'une manière assez coniplète. Quant aux surfaces^ nous ne pourrions, sans sortir des bornes que nous nous sommes prescrites , j^n.expo8er la théorie générale ; nous nou^oontenterons d'en offrir des applications à , un jassez gi^and nombre de problèmes, et nous renTcrrons les élèves aux Traités de MM^ Mange ^liàgr^aft'ge et Lacroix. '' '''

Nous termjinprons ici les considéi^ations générales ,que npus avons cru devoir présenter avant lés ^plications particulières; nous allons maintenant pass$r à.'JA^rSËiçiQnde partie ;quL rcinfi^^ m^ tes.pç<Aîf W^s ^tr Jte* epMfîrçiçfis, %\j^ .nOns .©nt paint les plus tnropres à {^LÎfiç/Jbfe^ii epnoevoiJt Vespril 'd^^ A;u'- i

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