LA SOLUTION DES PROBLÈMES

1 la X BOBLèicB. On donne trois méldt^ges composés de trois substances différentes , et on demande ce qu'il faut prendre de chacun pour former un nouveau mélange où ces substances se trouvent dans des rapports donnés^

Soient agbfcles nombres^ qui inâîquent combien il y a^fl^ fois les quantités 4X>nnue8 A^ B, G de ces trois substances* dans le premier mélange; d, è^ y dans le second $ g y h^kdskuffle troisî^e; et Z^ m, nce qu!il doit j aToir de-cKaque substance dans une quantité du mélange dhercbé marqp^ par 1+ m,^/i. Les quatre mélanges seront représentés par — . ~

aA.+bB+cC, dA+eB+fC, gk+hB+kC, lA^m^+ipC

Soient X, y^ £ les nombres par lesquels il faut multiplier le» trois mélanges pour formel le quatrième, on aura

ùAx + bBx + cCx + dÂy + eBy+fGy -|p ^A«i -f- ÂB» '^kCA:=:lA + mB + nC ^ .

Egalant les parties des mêmes substanoe&r0»pectitesj, il vient .

àx+dy^-gz'==l, \bx + ey'^hz:=:m, çx-^^-^kzz^in.

Equations que Ton résoudra A'àprès les rèigles côrihue^i* »^'

11 1. PBOBLiMSw Etant donnés les prix et- les proportions de trois mélanges , trouver lés prix de chaque iubstanvel ' . i

( io5 ) Soient p^ q,rle8 prix respectifs des mélanges dtannés

et X, y, z les prix respectifs. de A, B, C; on aura les trois

équations suiTantes:

cj:+.iy+c»=p, dx+ey+fzzszqy gx^^hy^k%ts^r.

1 1 2. ProbiaÈme. On donne trois prés dont les surfaces respectives sont b, e, g> où t herbe est d'égale hauteur, et croit Sun même mouvement uniforme* Le premier est épuisé par un nombre a de bœufs dans Je temps c\le second par un nomkrB d de bceufs dans le temps f : on demande combien le troisième pré pourra nourrir de bœufs pendant le temps h.

Désignons par m là hauteur primitive de l'herbe, par y la quantité dont elle croit dans l'unité de temps , par v' la quantité d'herbe mangée par chaque bœuf dans la même unité de temps ^ et par x le nombre de bœufs demandé. On aura les trois équations

{m + i/c)b = aci/ , (m -4- yf)e s= df\/ , {m + vh)g = xhif\

Pour trouTcr x au moyen des nombres donnési il faut élimi-^ ner m, V et v' ; ce qui peut se faire dans ce- cas quoiqu'on ui'ait que trois équations , jparce que tous lés termes contenant Funè de ces trc^s quantités , leurs rapporté seuls sont considérés dans les équations, et il n'y a réeUement que deux quantités à faire

disparaître ; savoir, -7 et -7.*

Les tirant des deux ptemîërés et les important dans la trûi- «i&ie^elleaonne • - i...., ^..,,

ii3. PaÔBiiiMEi DeitX'vnobiles parcourent une même Ugn>Éf iun aumvement uniforme; on connaît la distance quilles éé'* par4 à un Postant* ocmnu , leurs vitesses ^t le sens de leûr^ num\fement , H on denuavde lé temps au bout dutjuelils^se* rencojttrironL : ^ : >

( io6 ) Soient V; v' les TÎtesses des mobiles^ c^cst-à~dîre ies espaces qu'ils paroosrént dans ruuHérde.Uaaafo, éldU 4ttsifl|a^quî les sépare. S'ils Tout dans le même sens ^ on peut considérer celui de derrière comme animé de la différence des deux vitesses, et ayant à parcourir l'e^ce d. S'ils Tont en sens contraire^ ils se rapprodicipt à chaque unité de temps dé la somme des ;^îiiesses; on peut donc considérer l'niji comme anin^é^de la sonmie des TÎtesses et ayant à pâroburir la distance d. Or l'espace parcouru est égal à la vitesse multipliée par le temps ^ donc le

lemAS'sera ■'■ . ■ ^\ xw.» . ".■ " ■ > ; suivasit quefejnôtivement sera^4ans

le même sens ou en sens contraire.

. Mais pour, mieux faire ressortir lies différentes ciroonstance& que ce prqblëme peut offrir^ rapportoi^s les posJLtioiis à un point fixe A de la ligne droite ou courbe que les mobiles parcourent y et désignons par ç, e' leurs distances' à' l'origine A après Te temps t, et par a, a' les mêmes distances pour l'iÂstant que l'on considère comme origine du temps j on aura pour équations du mouvement de (^aoun d'eux.

e =ss n -f- Vf , è' 2= a' rf-V'if«

Si l'qn veut maintenant qu'ils soiept & jmje distiagpe dç^^c^TTi l'un de l'autre , il n'y aura qu'à poser e7-.e'===.:J;j;(^^ <^,,j^^ fera. trois équations entrjB e, e\ t. P;0]ar,^l^ujc ];ei^cpptre^ ;}].£^i^^

faire m=o , et l'on tirera comme pi^cédéJnment jf =?.-^j-— j.

Des trœs équatioi^s Qnjre, e^e^ay-a^t, m,v^ vVo^,pqi^t ^ifer un grand nombre de problèmes différens^ en.pi;e;Qant ppuç inconnues trois quelconques de ces huit quantités. On devra observer seulement que si lé sens d'un des n^oiaiemens était différent de celui que nous avons supposé ^l'espace parcouru se retf an€îher^t4e. ai.aâque*l!qn -eltfurmeraitvdansilÀ^ sanjt sa. vinsse négative : il en serait «femâxie $i&¥t« consîdérAii un instant antérieur a l'origine supposée au. tempf^ la.dist«)ciG(^ dk cetiinstant à l'ortgigae pourra ètre.OM«iâérée'€0ini|ifeiaiéglùyfT»'.i afin de pouvoir faire usage des formules précédenties oji^les iir.

( 107 ) stâiicea à f o^Sginç des temps, œoî^saient ayec L'espace ^ tandis que daiuoe cas f^sp^kce décroît )(^fiqiie I^a di0tftnçè$ a» ajant^égard à oea cîroonstancés, le problème nWrira jamais aucune difficulté , et son énoncé se trouve ainsi généralisé :

Etant données les positions.de deuxmobiles aU^rnénteinstçnli ainsi que leurs vitesses et le sens de leur mouvement, trouver leur point de rencontre sur la droite qu*ils parcourent depuis fcmp temps indéfini. '

11 4* PaoBiiMEi T^rouver les rencontres successives de deux mobiles sur une courbe Jçrih^e. . '^ ,:. 1 1

Ce problème revient au précédent, en observant que lorsque Ie$ mpbiles SQnt au même point , la rencontra suiv^pte.a^ta Ueui, quand celui qui a la plus grande vitesse aura gagné sur l'autre toute l'étendue dé la courbe qu'ils pai^cgturénl. En appelant c cette longueur , la troisième équation ^ -— e^ '=:ïî±m deviendra e— ^= ±:nc pour la rencontre du rang (^^-^^ ^)< ^^ ^près^soit ayant le moment pris pour origine des temps.

ii5. PROB^JbcE. On propose de déterminera chaque instant la position d^un mobile dont la vitesse change d'une manière continue e( proportionnellement au ^mps. ,

Dans le mouvement varié^on nomme vitesse à un instant quel- QOO^Q'oeBe.iKfdeiaqaeHe le point se mouseiai£ JsÀ;)et;ca|i9e9 ^i; s^âsent si^vrla&oes^id^iit^uhitenfeent èllaissaieiit:Wteu¥ew«(nt! uoiform^irCalftipolé^ a^it t^\e tempapeiidaiiti leqt«â le ppintr&'(y^ mu, et^d» TJiilease qu'il ja acquise; dde. sèra^iamlement ôonime,^. puisqu'Oia^ saitqu'eUe efii:{flN»pûrttonadlé aiitemperel que.IfOOo estsuppeaé eonnaitre sa isaleur 4t un insjttoi donné»; par ^coUplei après l'unité de temps; il ne reste doooqu'àjdéteiv^erl'aqiMei parcoum^n.fioanctîoiidef/ ett ... * ; <^.

Pour cdftv partageons t en. un nombre quelfionquie 7td!i9tei^. mUes égaui^ v^la vitesse devant oroitre aussi de quantités égalis,

sera a Iji fin de chacun 4 eux ^ , — , — , > v. ,

• n n. fit

Or. ai l'un supfiose que pendants le premier intervalle la lûtdsse. soit constante et feale à -, pour Iç.séqoud à -77 ;,el ainsi de suite

( »o8) jasqu'à v y la somme des espaces sera trop grande , tandis qu'elle serait trop petite si le premier intervaHe de temps^ était parcouru

ayec une TÎtesse nulle , le second a^ec la-Tltesse -^ Qt ai^i de suite

jusqu'à ^ f— 'j l'espace cherché est donc compris entre ces

dfiiux sommea..

Les espaces partiels de la première seront

*''♦■■ if t \ av t , 5v t \ t

un n n n n ■ n

et formeront tmeprôgression par différence^ dont là somma sera

La Seconde sommé sera de même'

. il! >

t (11-^1)1/ ,1». . t (n-r-iV .

-.i.^ ^.-f ou -.^î ^-^^i. ou

Or la différence de ces deux sommes est '— . et devient de

pins en pins petite à masure que l'on fftit croitre 'n, M^îs alors la vitesse s^approche de plus en pivs'dé vari^ dfutïe' manière • continue > et etf mèmetempï Pespace tend' indéfinimi^nt vers 7 vl^ qni> est la* limitedes deux sommes entre lesquelles il est compris-, done d'après le'théorème des limites , l'espaoe ptocouru: par le mobile d^JBtnmon^ensRnt de»ntinu sera 1^ Vf; Désignant cet espace par e, on aiira donc e=s ^ vt.

Si l'on appelle g la vitesse acquise après l'unité de tellfips^ on aura par l'hypotkèsev=g'f; d'oii e= J-gt* et v*=s5 2gè.

La nature office une- application simple de ce mouvement dans la chute des corps (dans le vide)' par l'action de la pesanteur; car recevant à chaque instant une impulsion égale dans le sens delà verticale ^ leur vitesse doit croître unifbnpément^ c^est-àdire dans le même rapport que le temps.

GoaoLLAiiuc. Si le mobile s'était mu pendant le même temps t

( log )

arec la Titesse finale t/ ,■ il aurait paroouru un espace double, car d'âpre la théorie du mouTement uniforme cet espace serait vl.

11^. PaoHLèME. Trouver la vitesse qu il faut imprimer à un corps , pour le faire parvenir verticalement à une hauleur h avec une vitesse a.

On remarquera pour cela que pendant qu'il remonte la pesanteur diminue autant sa yites^e qu'elle l'augmenterait s'il descendait* Si donc on désigne par v la vite^sse demandé.e> elle sera précisément celle que le corps acquerrait s'il tombait djB .la hauteur h partant avec la vitesse initiale a. La titesse gagnée V— a sera donc, d'après les formules précédentes,

V — a =^ V^gh , d'où V = a -}- K «agA.

CoROzxAiiiE. Si on lance Tcrticalement de bas en baut un corps avete la yitesse a, et qu'au moment où elle sera éteinte on lui imprime la Titesse b , if montera moins haut que si on lui imprimait d'abord la vitesse a + 6. Car l'espace dans ce dernier

cas sera ^ ^ • et dans le premier il ne serait que — -4 .

Ces deux espaces seront bien parcourus dans le même temps , mais la vitesse initiale est plus grande dans un cas , jusqu'au point où elle se réduit à b comme la seconde.

11 7. PaoBLàncx. Trouver la vitesse que la pesanteur a cornmuniquée â un corps tombant librement pendant une seconde.

Supposons pour cela qu'on ait pris la seconde pour unité de temps et qu'on ait laissé tomber d'une hauteur connue h un corps que l'on aura choisi très dense pour diminuer l'effet de la résistance de l'air ; soit t le nombre de secondes que le Aiouvement a duré / on aura y en faisant abstraction de la résistance de l'air,

*=g7> d'où g = 'jr.

Substituant khel t leurs valeurs connues, on trouvera g ex-^ primé en unités de longueur ^ cette valeur pour la latitude de Paris est g = g^jSoSS.

On & ireconnti que cctle vitesse yariait arec la latitude : siron 'désigne par m celle qui ^ lieu pour la latitude de 5û** et ^ar m' celle pour la latitude ^> on a m' i=m(i— 0,00^857. 6os à f). Au pôle on a ^rst}^ et m'= 771(1+0,002837); à l'équateut ^::=:o et m'=m(i— o/x)a837); raccroissement de pesanteur de Téquafteur au pâle est donc âm(t>,oo2857) , ce qui fait à peu près tfç de sa tatleur moyenne.

1 ii8. P^oBLÈaiBi Trouver lès diverses rencontres sur une courbe fermée dé deux inohiks dont la vitesse croit proportionnelle» ment au temps.

Pour le premier mobile, on aura en désignant par e sa di« stance à l'origine après le temps t , par a cette distance pour le temps zéro , et ï>ar g la vitesse acquise après Tunîté de temps ,

e = a+igt\ I^)ur le second mobile, on aura

et pour la rencontre de l'ordre n , on aura e' — e = (/i ~ 1 )c , e» désignant par c le contour de la courbe ; d'où l'on tirera

a'^a+(^=^^Xn'-^)c, et ,^y/^(^^-M(5^.

119. Problème. Connaissant la pesanteur spécifique de deux corps, trouver dans quel rapport ils entrent dans un mélange donné.

Nous commencerons par donner une idée rapide de ce que c*est que la pesanteur spécifique et des moyens de là déterminer.

On appen© pesanteur spécifique d'un corps, le poids d'une unité de son volume; on la rapporte ordinairement à celle de l'eau, et alors i| suffit de diviser le poids d'un volume quelconque du corps par celui d'un pareil volume d'eau : ce dernier poids se détermine au moyen de ce principe , qu'aTi corps plongé dans un liquide y perd une quantité de son poids égale à celui du volume de liquide déplacé. Et en eflPet, le corps i-emifecé alors un volume égal de liquide qui , étant e^ équilibre ; devait être

piHiSsé âe bas en haiiit p^r mie force rertiùale égàte à aon poUU * le cor|»s plotigé doit donc peirlre une quantité égale du sien. Par conséquent > pour trouer la pesanteur spécifique d'un corps quelconque^ on le pèsera dans le vide^ puis dans l'ejau^et on divisera le premier poids par la perte qu'il aura subie*

Si l'on 'veut déduire le poids d'un corps de sa pesanteur spé* cifique^ on la multiplieç'a par le Toluate^ l'unité étant toujours le poids de J'unité de yolume d'eau.

Si l'on yeut déduire au contraire le volume ^du poids> ondiyi* sera ce dernier par la pesanteur spécifique. '

Gela posé , soient Pf p' les pesanteurs spécifiques des deux sabstançes , et p" celle du mélange donné que l'on déterminera comme il vient. d'être dit , ainsi que soi| volume m. Soient x et y les Tohimes des deux substances; on aura

X +^ = m , px4- p'y=p*m ;

d'où « = ^ ^Xto, y=t— £;Xm.

Enoncés de Prùbtefites du premier degré.

PRonubsB* Une p^çonne possède a francs qu'elle fait valoir à un certain intérêt , et elle doit b francs dont elle paie un autre intérêt^ l'intérêt de la première sommç surpasse de c celui de la seconde. Une autre personne fait valoir d francs au second intérêt , et paie l'intérêt de e francs au premier taux ^ elle retire f francs de plus qu'elle ne paie. On demande les taux des deux intérêts,

PaoBiJbds. Une personne achète un certain nombre d'aunes^ d'étoffe à un prix qu'on ignore. Si elle achetait cinq aunes de plus d'une étoffe qui coûte 3 francs dé moins^ elle paierait le même prix ; mais si elle achetait six aunes de plus d'une étofi^ ([ui coûte 4-francs.de moins ^ elle paierait 18 francs de moins. Il s'agit de trouver les nombres d'aunes et les prix de chaque espèce d'étoffe.

PftoBLÈutE. On demande les biens de trois personnes A, B, C^

( lia )

sachant que le bien de A augmenté de m fbb la somme des* biens de B et C, Tant p ; que le bien de B plus n fois la somme de ceux de A et G ^ Tant q ; enfin que le bien de G , joint à / fois ceux, de A et B , yaut r.

PlioBLÂME. Partager les nombres donnés a y by c, d, e. .. chacun en deux |>artîes telles que le rapport d'une partie de a à une de 6, de l'autre .de b à une de c, de l'autre de c à une de d'y de la seconde de da une de e, etc. jusqu'au rapport de la seconde partie du dernier nombre à la seconde de a , soient tous donnés.

• Probiâmiç. TrouTcr les biens de six personnes, A, B, G, D, E, F, sadiant que la somme des biens de A et B est a; que celle des biens de G et D est & ; que celle de £ et Fest c ; que le bien de A Taut m fois celui de G j le bien de D, n fois eelui de E , et le bien de F, p fois celui de B.

Problème. Trouver les huit quantités A, B, G, D, E,F, G,H, connaissant les sommes ou les différences deux k deux , de A et B, de G etD, de EetF, deG etH; et les rapports de A àCi de D à E, de F à G, et de H à B,

Généralement , les quantités A , B ^ G . • . étant en nombre pair am y il 7 aura un cas d'impossibilité ou d'indétermination lorsque m sera pair y et le problème sera toujours possible et déterminé lorsque m sera impair. ^ - P&oBiiacE. TrouYCi; les arêtes d'un parallélépipède rectangle y sachant qu'elles sont entre eUes comme les nombres niyn^py et que si ces arêtes varient des quantités respectives , o^ &, ç, la surface totale aura varié d'une quantité g.

Problèmes indéterminés du premier degré.

PROBLiiME. Trouver des multiples des deux nombres 54 et fS qui diffèrent entre eux d'un nombre donné r.

Problème Le mois lunaire étant de 529^ lâ^ 44^, et par suite sa longueur étant à celle du jour solaire comme les nombres io63i et 36o, on demande les multiples de ces deux nombres qui différeront de r.

•( ii3 )

PflOBiiiME. Trouver les nombres quï^ divisés par 5 y 5, 7 donnent les restes respectifs Q, 4,6.

^ Pboblème. Payer une somme de 3457 francs. en pièces de 5 francs et de a4 francs.

PaoBLibfS. La piastre valant 5 francs 8 sous^ et l'écu de France valant a francs 1 5 sous, on propose de payer 1000 francs en piastres et en écus seulement,

PboblemÉ. On à trois lingots d'argent de trois titres diflerens. Le premier est au titre de 11 deniers; le second de 10 j-, et le troisième de 9 ; combien doil-on prendre d'onces de chaque lingot pour en faire un lingot de 3o onces dont le titre soit à 20 deniers ?

pROBLÈMi:. Trouver en nombres entiers les côtés d'un rectangle tel que sa surface contienne quatre fois autant de mètres carrés que son contour contient de mètres.

Solution. Soient x et y les deux, côtés , on aura xy =?: S[x -J-y) j

d ou JC = ~r = 8 -^ •.

Il faudra donc que y — 8 soit diviseur de 64 ; égalant suqt oessivement j^ — 8 à chacun des diviseurs de 64 (tant positifs que négatifs) , et cherchant les. valeurs positives correspondantes d'x, on obtiendra toutes les solutions entières de l'équation.

Si Ton avait l'équation^ générale ory=^ m{x -^ y) ^ pn trouve-

rait ar = m + , et l'on traiterait les diviseurs de m* comme

on a fait pour ceux de 64»

Problème. Trouver en nombres entiers les arêtes de parallélépipèdes rectangles à base carrée , tels que leur volume vaille cinq fois autant de mètres cubes que leur surface contient de mètres carrés.

Ce problème se résout comme le précédent.

Pbobiàme. Soit a le côté d'un carré donné en nombrp entier , on demande en nombres entiers les côtés x^y d'un rectangle, de manière que les deux figures aient leurs surface^ proportionnelles à leurs contours.

lie oalcul conduit h égaler 2y-— a aux difiPérens diviseurs de a% et on ne devra prendre parmi ces diviseurs que ceux qui augmentés de a donneront des nombres pairs.

Problème. Trpuver quels sont les polygones réguliers d'une même espèce ou d'espèces différentes au moyen desquels on puisse couvrir exactement un plan indéfini.

Enoncés de Problèmes du second degré.

PaoBxijtfB. Trouver trois nombres , connaissant chacun des quotiens qu'on obtient en divisant chacun des produits de deux d'entre eux par le troisième.

PROBLiscE. Trouver trois nombres^ connaissant le produit de chacun d'eux par la sonmie des deux autres.

ProbIiÈbcb. Trouver trots ncmibres, connaissant le produit de chacun d'eux par la différence des deux autres.

Ce problème est indéterminé ou impossible. On le résoudra aiiisi que le précédent en déterminant d'abord les trois produits xz, ocy ^yZy puis en en déduisant les trois carrés x*, j'*, s*.

ProblÎbss. Trouver deux nombres dont on connaît la somme a^ et la somme des cubes nq.

On prendra pour inconnue la différence 22£2 des deux nombres, qui seront alors exprimés par 5-f-d et j— rf.

Problème. Un négociant a un certain nombre d'aunes de drap, et 90 aunes de plus d'un drap moins fin \ les valeurs totales des prix des aunes de chaque espèce sont égales. S'il vendait chaque espèce au prix de l'autre, il retirerait pour les premières 900 fr., et pour les secondes d5oo fr. Trouver les deux nombres d'aunes.

PaoBiiMS. Trouver deux n<»nbres dont on connaît la eomme

ou la différence am, et la somme ou la différence - des quotiens qu'on obtient en les divisant mutuellement l'un par Fautre. PROBidbCB. Deux courriers partent au même instant, l'un de A pour aller en B, l'autre de Bpour aller en A^ leurs vitesses 1 sont uniformes et dans un rapport tel, que le premier arrive eu B quatre heures après qu'ils se sont rencontrés, et que le

{tiS )

;si&{y>ii(l arrive en À. neuf heures après cette rehcontre. On demande le temps employé par diacun pour parcourir la di* «tance AB.

PaoBiiBa. Uti négociant escompte deu^ billets , l'un de 8776 ûr> payable dans neuf mois, l'autre de 7488 fn payable dans huit mois : il a payé pour le premier 1200 fir. de plus que pour le second : on demande le taux de Fintérét.

PR0Bi4à]tfB. Un négociant a acheté un certain nombre d'aunes d'étoffe peur 1 7228 fr. ; il en prend 34 pour son usage , çt il vend le reste pour 1800 fr.) de manière qu'il gagne 3 fr. par aune : on demande le nombre des aunes.

PaoBubcs. Une personne qui possède 100000 fr. partage cette somme en deux parties, qu'elle fait valoir à deux taux différens et pour lesquelles elle retire en tout 54oo fr. d'intérêt» Si elle fisiisait valoir la première partie au même taux que la seconde, elle en retirerait 36oo û*. d'intérêt 3 et si elle faisait valoir la seconde au même taux que la première, elle en retirerait âooo fr« On demande les deux taux et les deux parties de la somme proposée looooo fr.

PaoBLiMS. Çn vendant un cheval 1 1 louis, on a gagné pour cent autant que le cheval avait coûté : on demande quel était ce. prix*'

Problèms. Trouver quatre nombres en proportion par quotient, connaissant la somme aa des moyens, la somme 2b des extrêmes , et la somme 4c des carrés des quatre termes.

On prendra pour inconnue auxiliaire le produit p des moyens ou des extrêmes. On trouvera ainsi que la demi-différence des

moyens est V^a^-^p, que la demi-différence des extrêmes est

V/à'— p-, d'o4 l'on condura Fexpression des quatre termes en fonction de p; on égalera la somme de leurs carrés à 4c, ce qui donnera p = a'-f- &*•— c , et les quatre termes seront connus.

i^aestions qui conduisent à des équations qui se ramènent à celles du second dçgré^

PaoBiiaiE. Trouver deux nombres dont on connaît le produit ^ et la somme ou la différence de leurs carrés.

PaOBLiMS. Trouver deux nombres dont on connaît la somme ^Sf et la somme ou la di£Pérence a^ de leurs quatrièmes puis*sances. On appellera ax la différence des deux nombres ; alors ils seront exprimés respectivement par s-^-x ^s — jc, et le calcul n'offrira aucune difficulté.

PaoBLius» Trouver quatre nombres en proportion par quotient^ connaissant la somme des moyens^ celle des extrêmes, et celle des quatrièmes puissances des quatre termes.

On prendra pour inconnue la différence sr des moyens.

PROBiiaCE. Trouver quatre nombres en proportion par quotient, connaissant la somme des extrêmes, celle des moyens, et l'excès de la somme des cinquièmes puissances des extrêmes sur la somme des cinquièmes puissances des moyens.

PROBiiiME. Trouver quatre nombres en proportion par quotient, connaissant leur somme, celle de leurs carrés et celle de leurs quatrièmes puissances.

Problème. Trouver quatre nombres en proportion , .connaissant la somme des quatre termes, celle de leurs cubes, et celle de leurs cinquièmes puissances.

Pr<»lèmx. Trouver deux nombres dont on connaît la somme p ' de leur produit et du produit de leur somme par un nombre donné a, et dont Ou connaît aussi la somime ui} de la somme de Jeurs carrés et du produit de leur . somme par un nombre donné â&«

On prendra pour inconnue la somme 2X des deux nombres et leur différence sy , les deux équations seront alors

d'où Ton tirera par l'addition et la soustraction de ces deux

("7) équations ,

équations qui n'oif riront' aucune di£Giculté.

1 âo. On peut Toir par plusieurs des exemples précédons combien le choix des inconnues peut simplifier les équations. Le dernier problème^ par exemple^ aurait conduit à une équation complète du quatrième degré ^ si l'on ayaitpris pour inconnues les deux nombres demandés. Il faut autant que possible choisir des inconnues qui entrent d'une manière symétrique ou avec une simple différence de signe dans l'expression des nombres e^tre lesquels on donne des relations. Il en résulte alors^ ou des similitudes qui abrègent les calculs en les ramenant les uns aux autres^ ou des destructions de termes qui les simplifient considérablement. C'est ainsi que dans un grand nombre des problèmes précédens nous avons pris pour inconnues la somme , la différence ou le produit des nombres cherchés ; et l'on sentira tout l'avantage de ce choix^ si Von résout les mêmes problèmes en prenant immédiatement les nombres cherchés pour inconnues.

il arrive quelquefois que certaines quantités dépendantes des inconnues sont susceptibles d'un moindre nombre de valeurs que celles-ci; et si on les prend pour inconnues ^ on sera conduit à des équations de degré moins élevé. C'est en ayant égard à toutes ces considérations , qu'on peut parvenir à donner de Télégance et de la simplicité aux .formules^ et même à résoudre des problèmes qui, sans cela, seraient au-dessus des forces de l'analyse actuelle.

Problèmes sur les coefficiens indéterminés,