Pbobl^ms. Trouper Us dipiseura d'un degré donné d'un
polynôme
jp"» -f Ax"'-'+ Br"-*4-. . . -f. V.
Si l'on désigne par n le degré des diviseurs , leur forme gêné-* raie sera
Le quotient du polynôme donné par ce diTisear s^ra de la forme
Faisant }e produit du diriseur par le quotient et l'égalant au dividende, on aura m équations entre les m inconnues m, C^, ..fiy eta,b, ,,Uy d'où l'on déduira à la fois les coefficiens des ditiseurs du degré n et du degré m — 7».
1 29. pROBiiaiB. Eliminer une inconnue entre deux équations
d'un degré quelconque.
Soient les deux équations^ ordonnées par rapport, à x^
x^ + Px"-' + Qx"-* + . . . + V = o,
dans lesquelles les coefficiens P, Q> • • • > V, P', Q',, . ., V, de x , peuvent renfermer d'autres inconnues.
Toute valeur d'^ qui convient à ces équations doit introduire une racine commune en x par sa substitution ; les équations résultantes doivent donc avoir un commun diviseur x-~«; on aura donc
0?" + . . . 4- V' = (x^-«) Çx"-» 4. «X»-* + . -f ^'), Eliminant x-^«, il vient (x«..+V) (x"-* + a'x»-*^ + i/) = (x»+.. +V') (x"»-\.+f>
Cette identité fournira m+n— -1 équations entre lesquelles on éliminera les nt-f-n— â coefficiens a. . . f^^ a\ , . i/ qui n'entreront qu'au premier degré ^ et il restera une équation de condition en y qui exprimera que les premiers membres ont un diviseur commun du premier degré : les valeurs d'y que l'on en tirera seront donc celles qui conviendront au système des deux équations 9 conjointement avec les valeurs d'x que donueront les diviseurs correspondans égalés à séro.
La formule de ces diviseurs sera
■ ■ ' " ■ = HX *4- n :
d'où l'on voit que si à une valeur d'y correspondaient plu*
(ti9) sieurs Tâleurs à*x, an aurait néoessairement Ks=o , H =so j sans quoi l'équation Kx-f* Hrso ne pourrait être satisfaite par deux
valeurs de x. Jjsl forme - troutée pour x annoncera donc que le
diviseur commun en jp est d^un degré supérieur au jHremîer^ et on le chercliera par la méthode connue.
ia3. PROBLJtMS. Connaissant èes Jacteurs du premier degré du dénominateur d'ufte fraction rationnelle, la décomposer en autant de fractions ayant des numtérateurs indépendajis cTx^ et pour dénominateura respectifs ces facteurs du premier degrés Soit la fraction '
Soient, «, C, • . • ^^ les seconds termes des facteurs du dénominateur pris en signe contraire et supposés tous inégaux ^ et P, Q, . • . , S, les numérateurs des fractions partielles; la pro^ posée devra être égale à
Chassant les dénominateurs et identifiant, il viendra
OÙ Ton remarque que chaque terme est divisible par son déno^
minateur et ne le contient plus après la division , et que tous les
autres ont ce même dénominateur pour facteur. On pourrait >
comme précédemment, tirer P, Q. . , en identifiant les coeffî*"
ciens des mêmes puissances de or, mais on observera que cette-
identité ayant lieu quel que soit x, ne sera pas détruite si l'on
fait a; =*; ce qui ne laisse subsister que le premier terme du
M ' second membre , et donne pour valeur de P l'expression ■ " ■ '
^ \x — a) dans laquelle on fait a?=« après la division par x— «. Pour ayoir Q, on fera de môme x=:C^ et ainsi des autres ^
et l'on aura pour P> Q>. • • des \aleurs finies et indépendantes
de X.
Cette décomposition n'est ptus possible lorsque le dénomina*
leur a des facteurs égaux y car si , par exemple, on a^vait « ;= C ,
quand on ferait x=:«f, l'équation (i) ne serait plus identique,
puisque le second membre seul deviendrait nul; mais on peut
toujours déterminer par le même moyen les fractions partielles
qui correspondent aux facteurs inégaux , en y ajoutant une
fraction de la forme -z r-, x— -r étant un facteur du degré
(a? — ry °
p de N, et 11 un polynôme du degré C/>-*-i) en x, qu'on obtiendra facilement d'après les. fractions connues et la proposée. Or on peut opérer la décomposition suivante :
+ TT — rr^r; • • • +
(x — ry Çc — ry ' (x— r^"* x— r
A', B'^ . . . , S% étant indépendans de x , il suffira de chasser le dénominateur (x— r)^ et d'identifier les deux membres, ce qui fournira autant d'équations que de coefiiciens , A' .., . S^ * Cette identité sera .
R = A' + B'(x— r) + CCx — r)* . . . + S'(x-r)'»-^
Mais on peut encore déterminer A', . . . , S', plus simplement de la manière suivante. On fera d'abord x=:rj et on aura A' et l'équalîon suivante :
Faisant encore x = r, on aura B'j et Ton continuera ainsi Jusqu'à S\
On agira de la même manière lorsqu'il y aura d'autres facteurs multiples que (x — r). ^
4i. Remarque. Toute fraction rationnelle pouvant être dé-
composée en fractions simples de la forme , lorsque son
( jai )
dénominateur n'a pas de facteurs égaux , et le développement de cette dernière donnant la progression géométrique indéfinie
— fi ( 1 4. î 4- î^ + 1, + et c. ) ,
il s'ensuit que le dévelo]>pement de toute fraction rationnelle , OU; end'autres termes, qu'une série récurrente quelconque est la somme d'un nombre de progressions par quotient marqué par le degré du dénominateur. Le terme général du développement s'obtiendra facilement en faisant la somme des termes généraux d'un^ même degré de toutes ces progressions.
BiciPROQUEMENT. Si l'on ajoute terme à terme plusieurs progressiotis géométriques , on aura toujours une série récurrente , car toute progression peut être le développement d'une fraction
, X étant donné et A, a déterminés par la progression
proposée.
124. Peoblème. Trouver les conditions , générales pour quf un polynôme du second degré à deux variables soit décomposahle en deux facteurs rationnels du premier degré. Soit le polynôme
y* -f- axy + ^-c* + cy + dx -i- e»
Ses deux facteurs du premier degré seront delà forme
y — mx— /i et y — m'^; — n'.
Leur produit sera t
y'— " (m -|- m')xy'j- mm'x^ — ('i + n')y + (m/i'-f* n^')x -|- «/i' • L'identifiant avec le polynôme proposé^ on aura les 5 équations
. Eliminant m y m\ n, n, on obtiendra l'équation de condition
(ac— udy — (a*— 4è) (c» — 4e) ;
ou bien d* — acd = 46e — a*e — bç^K
( laa )
Si l'on demandait que le poljnome fût un carré parfait , il faudrait que Fon eût m'z=zm et ii'=/i*, les équations précédentes deTÎendraient
Eliminant m et n ^ on aurait les trois conditions.
]â5. PaoBiiuo:. Tromper le développement de la puissance vdl entière d'un binôme x-f"2^*
(x -f- ûf)"* n'étant autre chose que x* dans lequel on change X en x+ A; les deux premiers termes seront, d'après. la théorie des dérivées x*^ + mx"""*a. Daos tous les autres termes , la somme des exposans d'x et d'à sera m y d'après les règles de la multiplication , et on pourra représenter le développement par
(x+a)'"=x"*+OTx"*'"*a +Ax'"""*û*+Bx"'"" V+Cx"*-^a+ + etc.
Or, soit qu'on augmente x ou a*de A, on a le même résultat (x + a + A)** ; donc , le coefficient de A à la première puissance , est le même dans les deux cas. Prenant donc la dérivée du second membre , d^abord par rapport à x , puis par rapport à a , on aura deux expressions qui devront être identiques > et qui seront
^^-1 ^ jj^j^ — i)x"""*a + A'Çm — 2).x'""~3a* -|- etc. , TOX*»-* + 2Ax~-* a + SBx'"-^ a^ + etc.
* Identifiant , on aura
m{m — i) 3= aA , A(m — 2) = 3B, B(m— 3) = 4C^ etc. y
dou A= -^ , B = ^^ ,etc.,
ce qui donné une loi facile à saisir pour les cbeiïiciens du développement. . ^
. 1 aS. Pbobl&m£. T^oui^er le même développement en supposant m quelconque. ^
( 123 ) Toi^t se réduit à faire voir qu'on peut toujours supposer au, développement , la forme
Pour cela, posons - = », on aura (x + a)" sa: x"(i+a)"»*
Si m est une fraction - , on aura à extraire la radne a de
(i -f- s)^ > ce qui donnera un développement procédant suivant les puissances entières et positives de z. Si m est négatif , il faudra diviser Funité par un développ^nent procédant de cette même manière I ce qui donnera un quotient du même genre. On aura
donc,* dans ces deux cas ,
(i -f.z)«=i4.A2j-HBa*+Ca*+etc.
Remplaçant z par -, et multipliant par x"*, il vient
{x + û)"* = x" 4- Ax*~"a + Bx'^^a* + etc. .
Or, on sait que dans tous ces cas, la dérivée de x^ est ttup"^' ^
OQ a donc
|(x +a)" = x" + Tiix'^^'c + Bx"»~*û* + etc. ;
d'oul'on déduira les mêmes valeurs de B , C, etc. , que dans le cas précédent. Seulement, quand m ne sera pas entier et positif, la développetnent sera indéfini , même pour dès valeurs particulières de m , parce que ces coeffîciens ne deviendront jamais nuls. 1 2j. FaosiiAis. Trouver le développement suivant les puiS"
sances ascendantes de s. de la fraction i —.
■^ i— ax — ox*
En effectuant la division et ordonnant par rapport aux puissances ascendantes de x , on sait que le quotient procédera sui* vantles puissances entières et positives d'xj de sorte que l'on pourra établir l'identité
«+ Cx
i— ex— 6x*
= A + Bx + Cx* + Dx^+Ex^ + etc.
( lai ) - Chassant les dénomioateurs , il vient
— Afl
— Ba
— Ca
— Da
—Ai
Egalant les coefficiens des mêmes puissances d'jp, on aura les équations
A=cc, B-*Âa=se, C— Ba— Ai=o, D— Ca— B6=30,elc.;
d'où Ton tire A=«» , B =afie+C , Ç ^ Ba+ Ai , D=Ca+Bt , etc.
De sorte qu'à partir du troisième terme ^ cKaque coeffîciënt est égal à la somme des deux précédens multipliés respectivement par les constantes a et h, Cliaque terme se déduit alors des deux pré' cédens en multipliant l'un par ar et l'autre par 6x*. Une pa-» reille série se nomme récurrente , et les constantes par lesquelles on 'multiplie les termes , forment ce qu'on appelle Y échelle de relation.
On obtiendrait des résultats analogues , en supposant le^ deux termes de la fraction d'un degré quelconque.
1 s8. Probi;èm£. Etant donnée une équation y en trouver une autre dont la première ait pour racines les carrés des différences entre les racines de la seconde.
Soit l'équation donnée
x" + ax»~' + 6x''"~* + . . . . + 1/ = G.
Désignons par m le degré de l'équation cherchée , on aura la
relation connUe
-i i =r ni
d'où m* — m — 2/1
et m =
1 zh V^ I 4- 8/t
On ne pourra prendre que le signe -f- du radical ^ parce que m doit être positif ^ et cpmme il doit de plus être rationnel et entier ; il faudra que i -f-8/t soit un carré ^ ce carré étant im*
pair, le numérateur i + V^ i -+• 8/i sera pair, et par suite m s^rà entier.
Cela posé, représentons l'équation cherctée par
x*^ + ««"""• 4- ffr"»""* rf- . . . + ^ = o-
En cherchant pai* les moyens oonniïs son équation aux carrés des différences , on obtiendra une équation du degré n qui devra être identique avec la proposée. On aura par là n équations entre les m coefficiens de l'équation cherchée. Or si n est plus grand que. 5, il sera plus grand que m, puisqu'il est égal à
•^ , et l'on aura plus d'équations que d'inconnues ; îl
y aura donc n^-^m équations de condition entre les coefi&ciens donnés qui se joindront avec la condition que i«{-8n soit un carré.
129. Nous allons chercher à développer les fonctions a*, log(i-t-^)» sinx et cosx, suivant les puissances entières positives et croissantes de la variable x.
Problème. Pour déi^elopper a*, on observera d'abord que a* se réduisant à l'unité quand on fait a:=o, le terme indépendant d'x dans le développement doit être 1, et les autres ne doivent renfermer aucune puissance négative de x, sans quoi cette hypothèse les rendrait infinis. De plus, il ne saurait y avoir d'exposans fractionnaires, car alors le développement aurait plusieurs valeurs correspondantes à une seule valeur d'x ce qui ne peut avoir lieu, pour la fonction a' ; ce développement sera donc de la forme
a'= 1 4- Ax -f- Bx* + Cx"* + Dx*+ etc
Or, si l'on y échange x en x -f* ^ > on a le même résultat qu'en multipliant a* par a*, c'est-à-dire 1 + Ax + Bx* + etc. par i+AA+Bfc^-f-etc. '
Prenant dans les deux cas le coefficient total de la première puissance d'A , on aura, en les identifiant,
A + aBx -H 3Ca;» + etc. = A -f A*x -f- ABx* -f- etc. -,
( lat ) • -
id*oii Ton tire
aB = A*, 30 = AB, 4D = AC,et«., . et enfib
Le développement de a* devient
a'=» + Aa: + -^ + ^-^ + ^^^^-^+etc.
Il ne reste plus qu'à trouver la râleur de A» Ce développe^ ment ayant lieu quel que soit x , posons Ax = i ^ il deyient
(i)...a =a + \ 5 + -" — 7 + etc. = e.
, ^ ' i.fl i.a.3 * 1.2.3.4 *
Les termes de cette série diminuant rapidement , si l'on calcule la somme des dix premiers termes , on trouvera
6=3,7182818 etc. à moins de 0,00000003 etc. près.
De Féquatîon a = e > on . tire en prenant les logarithmes dans un système quelconque y
•7- log a = log c • d'où A = -^^ — .
A '^ loge
Si l'on désigne par t les logarithmes pris dans la base e (ces Io]garithmes ont reçu le nom de logarithmes népériens) , on aura A ;=: /'a^ et par suite
(a)...à* = i+x/'a + i^— ^ + ^— ^ + etc^
Faisant a =6^ on trouve
(3) . , .e* =5 1 + X + — - + ? + etc,
)3o. La valeur de e est incommensurable ; mais on peut en approcher autant qu'on veut En effet
- ^ 5 H 7-7 -f: etc. < - + : 1 + «te,
Or - H ^ f- etc. = 1 ; donc e <r 3 ;
mais 6 ^ a ; e n'est donc pas un nombre entier.
Si e était une fraction irréductible — , on aurait « <m , ny> 1 ,
et Ton pourrait mettre e sous la forme
n •' \ a 2.3 ^3..,nJ a.3..«ficii4'i (M-iXi+a) J
Multipliant les deux membres par s. 3. 4. • «n^ il Tiendrait
La somme de tous les termes de la série
— « ^ - — '* . r ' ■ — N + ctC' 9 serait donc un nombre en*
lier «. Or^ cette somme est moindre que
+ . , ,v^ + etc., et ^ . + . ■ ,>a + «*<^ = -'
71+ 1 ' (n+iy n+i'(ji + iy' n
Le nomJire entier m serait donc moindre qu'une fraction -
plus petite que l'unité ; ce qui est absurde;
La valeur de e est donc incommensurable.
i3i. Lorsqu^on prend pour valeur approchée de e la somme des n premiers termes de la série {i), l'erreur £ est moindre que
