X-, car
-i- + / ^ w . ■ X + etc. ] ,
et ou Tient de voir que ■ . ■ + -7 — ; — r-> . \ + etc. < -.
( ia8 )
On peut donc toujours prendre n assez grand pour que l'erreu5 soit aussi petite qu'on voudra. *
Exemple. Si /izi=io, on trouve 62=2,7182818 etc. j l'erreur est moindre que — ou que ■ ^ ,,^ ou
que 0,00000002 etc.
i32. Problème. Développer log (i+x) suivant les puissances entières positives et croissantes de x.
On clierclie le développement de log ( i + a?) , parce que celui de log X devant devenir infini par x=o, ne saurait procéder suivant les puissances positives de x. Nous venons de trouver que dans le développem^t de a*, le coefficient de la première
puissance de x est ,—2 — ; si donc nous cherclions ce coefficient
log e
^ par une autre voie , nous connaîtrons le développement de log a
et par suite celui de log (i +^)> en posant azrni ^x. Or,
a' == ( I + (a— 1)] ' == 1 + ar(a-- 1) + ^^t£Zlii (a-.i )a4. ^^^^ et la somme des coefficiens'de la première puissance de x sera
Donc
|^ = („,)(iZL0r4-(^-(-^' + etc.
loge ^ ' a 3 "^ 4
Changeant a en 1 + a: et multipliant par log c, il vient
(i)...log(i+^) = toge(^x — — + y — -;^ + etc.J.
Si Ton prend e pour base du système , log e deviendra l'unité^ et désignant les nouveaux logarithmes par la caractéristique Hp on aura
(2)...r(i+^) = ^— ,— +y-~-4- + etc.
Cette série n'étant pas convergente pour des valeurs de x
plus grandes quie i . ne pourrait servir à calculer les logarithmes des nombres plus grands que â. Pour la transformer ei une autre qui soit conTcrgente, changeons x en — x, nous aurons
f(i — x)= — X etc.
Retranchant ce développement du premier^ il vient
7(.+x)-/'(i-x)=/'(l±|)=2(a:+^+^ + etc.)
Pour rendre cette formule convergente et d'une application commode^ faisons
= 1 + - : nous en déduirons
, et par suite
Cette série donnant la différence entre les logarithmes de deux nombres entiers consécutifs, fera connaître les logarithmes de tous les nombres entiers, en donnant à y les valeurs 1,2,3, etc. De plus elle est fort convergente, et il suffira d'en calculer un très petit nombre de termes. On calculera de cette manière les logarithmes des nombres dans la base e.
Si l'on veut ensuite construire une table, d'api^ës une base quelconque a, il suffira de multiplier tous Jes premiers logarithmes par y-; cette constante prend le nom de module; et sa
Trieur pour passer de la base e daasla base i o est 0,434^9448 1 9 etc*
i33. Il est ùlcïIs es parvenir directement à la térie qui exprime le logarithme cle a+x. En effet; ce logarîtlime ae réduit h zéro quand xs^Cg et ^uaad la base est donnée^ un tiombre n'a qu'un seul logarithme réel; on^ est donc coMluit 4 pbser
( I )...log( i '+'X)^M{x+ax*'^ba:^+cx^+ dx^+etc.)=f (x) ;
d'où /' ( r) =t M( i + aax + 3bx^ + ^a^ + 5dx^ + etc-)
Pour obtenir une autre Tsleur de f'Çx), on cliange x en x-^h dans f(,x) ; ce qui donne
f{x+h)=\os{i+x+h)=i<>s{{i+x)(i+-^y^
= log(i + x) + log^i + TÛT];)- Maisj d'après la fbrmule (,i)y
I066+— 7— "i^^W-j— + r-^ r; + etc.^.
Donc
Les deux valeurs de f^{x) devant être identiques ^ il faut que 1
aa =±: -— J , 36 = 4- 1 , 4c = — 1 , 5d = + i ; etc. ; d'où a = — i, & = + J, c = — 1, <f=: + ^, etc. La sé^rîe {1) détient
(ï). . .Iog(i + r) r= M(r -Ç H- ^ - ^ + etc)
Le module M ne pourra se déterminer que lorsqu'on don^ sera la bâte du système de k^avtthmes.
Désigaatit par / les iogaritliiaes qui correspondant à Mz^ i , ^ reiprés^tant p4r ^ la Ja^i^se 4g oe âjstàoie > la Ibrmale (a) conduit à la formule (2) (page 1 28) , et par saîte à la formule (3) {pa^ ^^9)9 cette dernière sert à caleuler les logarithmeâi des nombres entiers dans la base e, on efi déduit la Taïeur . . . «
o,4J455.'etc., de y — ; et ces logarithmes multipliés par le mo'
duk 0,43439 ^^^' > fottroifisent les logarithmes deis mêmes l:iom7
brespris dans le système tabulaire dont la base est i<9u
< Pour calculer la iMtsi^ ^ qui oorrespond à M =z 1 > on ohserye
que «i A eJELpriiâe V io> on aura «'^ szt ii;>. Prenant les logarithmes
tabulaires des deux membres de cette égalité y et dégiguant ces logarithmes par /, il vient
/(e*) = ho y mIû = I , / e :i= - = ;y — =s- o,43429 etc.
Cherdiatit dans tios t{:d?lés k quel nombre correspond le lofatrtthme o>434s9 «te., «m ttt>ute l{uià «^0:13,718^ etc.; ce qui s'accorde avec le résultat du ti"* 1 3l .
i34. Dans toute série dont les termes sont altemativementpontifs et négatifs , si chaque terme est moindre que le précédent , la somme des n premiers termes différera de la somme de tous les termes , d'une quantité moindre que /e n+ 1''"" terme. En effetj soit une série de cette espèce
fl, i, c, £?, e, jf, g*, etc., seront des nombres positifs > et on i<a, c<5^ d<c, e<d, /<«, g</, etc. Or
aura
S = a — i + (c — d) + (« -^f) -J- etc., S = a — 6 + c — (d — e) — {f — g) — etc.
Et ainsi de suite. Chacun des binômes compris entre parenthèses étatit positif, on voit que
S^«, S]>fl-^ft, S<c*-i-4"<^i S>a — b+-a — cl, etc.;
ce qui démontre le principe èaoncé. On Toit de plus que les sommes partielles sont altematÎTement au-dessus et au-dessous de la somnle totale.
1 55. Problème. Développer sin x et cos x suwant les pids" annces croissante^s de x*
Ces déyeloppemens ne pourront renfermer que des puissances entières et positives de x , par les mêmes raisons que dans les fonctions précédentes; de plus, sin x ne pourra renfermer que des puissances impaires de x, et cos x des puissances paires , parce que le premier développement doit changer de signe avec ar, et le second rester le méme/Et comme x=:o, réduit cos x au rayon i , on doit poser
sinx = aa; + ^'^+^Jc' + ^Jc'^ + etc. , ^ oos X =3 1 + *^* + ^^ + y^ ■+• ete-
Remplaçons x par x+h dans sin x, et prenons le coefficient de la première puissance de A, ce coefficient sera la dérivée de sin X ou de son développement. Or
sin (x -f- A) = cos h sin x -f- sin h cos x.
Remplaçant sin h et cos h par leurs développemens , qu'on obtiendra. en changeant x en h dans ceux de sin x et cos x, il viendra
sin (x + ^) = (^ ■+" *'^* "1" ^^0 *^^ ^ + (P^ + ^^^ + c*c.) cos X.
Ije coefficient de la première puissance de h , dans ce développement, est a cos x; l'égalant à la dérivée du développement de sin x, qui est
a + 36x* + 5cx* -|- 7^^ + ^*C' > on aura l'identité
a (i + *** "f* ^^ + etc.) = a -|- 36x* + 5cx^ -{- etc. j d'où
(i). ..«a;=:a, 5bi:=:au, 5cs=:aSf 7£? = ay^etc.
( i33 ) Agissant de la même manière pour cos x , on aura
cos (r + A) = Gos X cos h — &in x sin A.
Le coefficient de la première puissance de h sera dans ce oas — a sin X, et l'égalant à la dérivée de cos Xy il viendra
— a (ax + bx^ -f cx^ + etc.) = actx -f- éCx^ + 6yx* + etc. ;
d'où
(a) • . • 2* = — a*, 4C= — afr , 6y:==z — ac, etc»
Les équations (i) et (â) donnent successivement ;,.
Les développémens de sin x et cos .r deviennent
sin X = aa: -j 5-7-T — etc. , ^
a*x* , a^x^ cos a; = 1 — 1- -' — ^—7 — etc.
Pour déterminer la constante a , nous observerons que quand
sm uC?
X tend indéfiniment vers zéro , le rapport tend indéfini-
ment vers l'unité. En effet, si d'un point on mène deux tangentes à un cercle , la somme de leurs parties comprises entre ce point et les points de contact sera plus grande que l'arc convexe qu'elles embrassent; le même rapport existant entre Tune des tangentes et la moitié du même arc, il s'ensuit d'abord qu'un arc est plus petit que sa tangente ; or l'arc est évidem- ^
Sin X ment plus grand que son sinus. Donc est toujours plus
sm X sm X
grand que •: , mais plus petit qus l'unité* Or =3 cos x ;•
^ ^ tangj? r r -i tangx '
donc la limite est l'unité quand x tend ver^.zéro :>dapx: à plu»
4 sifijr . sinj? , forte raison qui est compris entre i et r , s appro-
X lauîr tic
sin JC cbera indéfiniment de i ; donc enfin la limite de est i . Or,
en divisant par x le développement de sin x , et faisant converger X vers o, on trouve a pour limite du rapport; donc a=^ 1 ^ et par conséc^uent
cos a: = 1 -^ 1 -Tv -^ ^ ' ' / "c " ^ +■ ^^*
Ces formules sont très convergentes pour k» arcs plus petits qu^un dem {^quadrant; car les ternies décroissant rapidement et étant alternativement positifs et i»égati|s », V^vew commue eu s' arrêtant à un terme est moindre que le suivant (n® i34) : c'est par elles quç l'on calcule les tables des lignçs trigonométriques.
i36. Si l'on change x eax^ — i dans le développement de e* (voyez page 126), on aura
Comparant cette série avec ceUes qui e^jtpiiimeat sin x et co6 x, on en conclura identiquement
'«^-r=cosA;+ \/''
e" ' = cos a; -f- y — i sm jr.
Si dans cette équation en chau^ a; en mx, il vieu^a
Qr e"«*^^ = (e^'^^')«» =: (cos x + \/^ sin x' )"" ;
< d'oin il résulte , quel que soit 7n ,
(10» » -f- V^— 1 sin or)** = cos nix + V^ — » si» mx.
Réflexions préliminaù-es et Problèmes sur t écoulement des liquides.
157. Ix>r89ue pendant des tamps ég^ux quelconques les quantités de liquide qui sortent d'un vase sont égales ^ on dit que la vitesse de l'écoulement est constante ^ et par vitesse on entend la quantité de liquide qui sort pendant l'unité de temps.
Lorsqu'au contraire les quantités de liquide qui sortent pendant des temps égaux quelconques ne sont pas égales ^ la vitesse de Fécottlement est variable*
lïous allons résoudre plusieurs problèmes en supposant que chaque yase est un cylindre vertical dont toutes les sections horizontales sont égales entre elles > que le liquide sort par un orifice horizontal pratiqué au fond du vase , que la surface supérieure du liquide reste plane et bcnrizontale , que la vitesse Tariable de l'écoulement est proportionnelle à la hauteur du liquide dans le vase ^ et que a désigne la constante par laquelle il faut multiplier la hauteur du liquide pour obtenir la vitesse correspondante de l'écoulement.
Gela posé : si la hauteur du fluide àhi» vm ¥ase élanl h mëtra*^^ chaque section horizontale de l'intérieur du vase e&t q mètres carrés^ le volume total du fluide sera qh mètres cubevrl^ésigaant donc ce volume par V mètres cubes , on aura
Vr:=çA; d'oi A=-.
kmsi , lé nombre d'unités cubes d'u liquîdEe* (kmtenu dans le Tase, divisé par le ncwmbre d*unités de surface* dfe chaque section horizontale dé l'intérieur du vase , donne poui* quotient le nombre de mètres de hauteur du liquide dans le vase.
Pour déterminer la valeur de a relative à un vase donné , ott mesurera la hauteur du liquide dans ce vase ; soit h mètres cette hauteur-, on laissera sortir le liquide pendant Tanifé dft temps, en entretenant toujours Peau à Ta même haufeuf ^; la ▼îtesse de Tëcoulement sera constante , et si la quantité de fluide qui sort pendant éette unité de temps est v mètres oube»jt alorSr
( i36) V «cra la vitesse de l'écoulement due à la hauteur h dujluide;
on aura v=ah, d'où 0=7-, On connaîtra donic a.
La vitesse de técoulement à un instant quelconque est donc ta quantité de fluide qui sortirait pendant Vunité de temps si a partir de cet instant la vitesse de r écoulement devenait constante.
La valeur de a sera supposée la même dans les vases que nous ^considérerons.
Ces hypothèses sont rarement d'accord avec ce qui se passe réellement dans la nature, -mais il ne s'agit ici que d'exercer le raisonnement des élèves.
i38. i **■ Problème. La quantité £eau contenue dans un vase est p j le liquide sort avec une vitesse variable proportionnelle à chaque instant à ta hauteur de Peau, Combien restera-t-il d'eau dans ce vase après t heures d'écoulement^ Toutes les sections horizontales du vase sont constantes et égales à q mètres carrés. Pour résoudre ce prbhlème , nous concevrons que l'heure , prisé pour unité d'e'teiiips, est divisée en n instans égaux; la
, , - . 1 heure ^ ^ j i
durée de chaque loosiliant sara > ou - , et les t heures con-
tiendront tii instaiis. Nous, supposerons d'abord que la vitesse de l'écoulement né varie qu'au commencement de chaque instant, c'est-à-dire que cette vitesse est constante pendant chaque instant et variable d'un instant à l'autre ; ce qui approchera d'autant plus de fournir la solution demandée , que le nombre des instans seri^ plus grand. Lorsque nous aurons trouvé la formule, géiférale, qui correspond à cette hypothèse, nous .supposerons quq le nombre n des instans contenus dans l'unité de temps est* infini; la durée de chaque instant devenant infiniment peti^e^ nous aurons exprimé que la vitesse de l'écoulement varie au commencement de chaque instant infiniment petit, c'està-dire d'une manière continue ; le problème sera donc résolu» Effectuons ces calculs, et cherchons d'abord comment la quantité d'eau contenue dans le vase à la fin. d'un instant, se déduit de c,e qu'il y avait au commencement de cet instant. Si la quan-
tité d'eau renfermée dans le vase au commencement d'un instant
est R, et si la hauteur correspondante du liquide est h , le vo-
R lume R du fluide sera égal à (/A, de sortç que A=— j la vitesse
constante de l'écoulement pendant cet instant sera - — , c'est-àdire que la quantité d'eau qui sortirait en une heure ou en n
instans, si la vitesse restait constante, serait - — ; ce qui sort
cR pendant un instant est donc — ; la quantité d'eau qui restera
à la £n de cet instant sera donc
Désignant par b la constante i — ' — , on voit que la quantité
à! eau renfermée dans le vase ai(, commencement dun instant quelconque étant R , pour obtenir ce qui en restera à lajin de cet instant , il sujjit de multiplier R par la constante b.
Cette dernière propriété conduit à la solution du problème , car la quantité de liquide contenue dans le vase au commencement du i®*^ instant de l'écpulement étant /?, les quantités d'eau qui resteront dans le vase à IcH fin du i*"^ instant , du a*,. . . , du i7i*''"% seront pi, pi% . . . , /?6'". Nommant donc x la quantité de liquide qui restera dans le vase après t heures d'écoulement , on aura
qn.
Pour trouver ce que devient cette valeu^c de x quand n est infiniment grand , c'est-à-dire quand' la viteàse varie d'une ma-
(a \"* 1 j , par la formule du binôme, et l'on verra aisément que ce développement peut se mettre sous la forme
( 1— — ) =i— H ^ — — ; 5-|-etc.
\ qn/ q X , a q'^ i . a . 3 q^
x^pb-=p(^^-fj'.
( "38 ) Lorsque n est infini , les fractions- , ^ f etc., se réduisent k
zéro, et en faisant — = x, la formule demandée deTÎeat
Or, en désignant par e la baae des logaritbmes népériens,, ei «in faisant x= — z dans la formule (3) (page i a6) , on troure
e *=i — a-4 — — ^ 4- etc.
Donc enfin , x :^z pe~*.
Cette valeur de x est très remarquable par sa sinlplicité; ell» fournit la sdution du problème proposé.
iSq. a* PHOBLincE» On a deux vases; tenu sort dupremierf entre dans le second , et sort du second par ta partie inférieure. Leau sort du premier vase avec la vitesse constante v'; elle sort du second vase avec une vitesse variaBle , proportionnelle à la hauteur de teau dans ce vase. Lorsque Pécoulement commence , le premier vase et le second contiennent respectivement p' et p mètres cubes deaxt. Toutes les sections horizontales du premier vase sont égales à q mètres carrés , et celles dit second sont égales à a mètres carrés. On demande combien il restera d*eûu dans chaque vase, après t heures d* écoulement.
Dans le premier vase^ il restera ip — tv') mètres cubes d'eau.
Pour trouver ce qui restera dans le second \ase> o» vairon -• nera comme dans le problème précédent^ et l'on dira : si a un instant quelconque, la quantité d'eau qui reste dans le second
Tase est R^ la hauteur de Peau sera —, et la vitesse lïe l'écoulement sera — ; pendant cet instant, il sortira — , il en entrera
— ; donc à la fin de cet instant, la quantité d'eau qui restera
(139) dans le vase sera
Ainsi y le nombre de mètres cubes d^eau contenus dans le second vase au commencen\ent d'un instant quelconque étant B, la quantité deau qui restera dans ce vase à la Jin de cet
insUmt sera f Rft + — V
Cette propriété générale conduit à la solution du problème j car au commencement de Pécoulement , le deuxième vase contenant p mètres cullies d'eau , si la vitesse ne variait qu'a» commence» ment de chaque instant ^ les nombres de mètres cvbes d'eau qui resteraient successivement dans ce vase;^ ser^ieut
Fin du I *■' instant pb -\ ,
Désîgnanl dùSKC psor or ]4.%uantkô d'eau qui rssti^fa d«n» ic second vase, après t heures d'écoulement , on aura
Mais 6 == 1 ; dcrnc 1 — A = — .
qn qn
Substituant cette valeur de 1 — 6 , on trouve
Lorsque n est infini, b^ devient e"* (n' i5^) , fe vitesse de ^écoulement varie d*une manière continue, et le nombre de mètres cubes d'eau qui restent dans le second vase après t heure»
( i4o ) d'écoulement est donné par la formule
i4o. 5* Problème. On a deux vases j l'eau sort du premier y entre dans le second^ et sort du second par la partie inférieure. Les vitesses d'écoulement ^ par les deux orifices, sont variables et proportionnelles aux hauteurs de l'eau au-dessus de ces orifices. On demande combien il restera d^eau dans chaque vase après t heures d'écoulement.
Nous conserverons la notation précédente ; et nous ferons
a , a ^^ , , at at ,
qn'^ ' q'n^ ' q ' q'
On a vu dans le n^ i58 ^ que la quantité d'eau qui reste dans le premier vase après t heures d'écoulement est p'e"*'.
Soit y la quantité de liquide qui restera dan^ le second vase après t heures d'écoulement. Pour trouver la valeur Ae y you supposera qu'au commencement d'un instant quelconque les nomhres de mètres cubes d'eau contenus dans le premier vase et dans le deuxième y soient R^ et R ; les hauteurs de l'eau seront — 7- et — ; les vitesses d'écoulement seront — r- et —
Les quantités d'eau écoulées pendant cet instant seront — r
et — ; donc à la fin de cet instant , le premier vase ne contiendra plup que
et le second en contiendra
^ ûR aR' -^, ûR'
R 1 T ou R6 -I 7. »
nq nef nq
Ainsi, les nomhres de mètres cubes d^eau contenus dans h premier vase et dans le deuxièm^e}, au commencement (Tun instant quelconque étant R' e^R, les quantités d'eau qui restent
. . ( '4. ) dans ces vases, après cet instant, sont
R'x6'ct(Rx& + R'X;^).
Ces formules donnant le moyen de passer d'un instant à l'autre^ on terra facilement que les nombres de mètres cubes d'eau qui resteraient dans chaque vase , si la vitesse ne Tariait qu'à chaque instant^ seraient ^
Aa commencement da i*'' instant , dans le i*' Tase f/, dans le a* vase p , Fin dn i*' inst. , i*' vase p'b' , a* vase pb -^ j/ —-7 ,
a* inst. , i« vase p'^» , a« vase pi»+^(ft+&0 5* inst., 1" rase p'b'^, a« vase pb^-^tl^{b*'hbb'+¥^) rindn4* inst., 1" vase p'^'<, a« vase pb^-^^^fib^+b^b'+bbf^ ^V^)
Par conséquent^ si la vitesse ne variait qu'au commencement de^ chaque instant, les y mètres cubes d'eau qui resteraient dans le second vase après tn instans, seraient donnés par la formule ^
Mais fc = i-r et y = i 7- :
qn qn
a q donc , ,1 îTr — ^ -7 >
( "ia ) •
Supposant n iii^ni, 6*" eti'"' deviennent e"* et e~*' i donc enlk
SI les sections horizontales q,q^ àe$ deux yases étaient égales, b deviendrait égal à S^, et la valeur de j^ renfermerait des termes infinis. Pour trouver la valeur de j^, correspondante k Fhypotbèse ç = <7', d'où b^=zb', on prendra la formule
Cette valeur de j^ se présentant sous la forme -, où divisera
D*^ — y« par h — b% ce qui donnera le quotient exact
i«-i 4. 6«»-*i' 4. fc»-sy« 4. . . 4. 6'»—' j supposant 6 = &', ce
quotient devient f»X ft*"""* ; de sorte que la valeur dey est
Supposant n infini > 6'" devient e""*, 6 se réduit à Funité^et l'on a
a4i . 4* PaoAuki^ Un vase rempli de vin se vide par un ori- Ji€€p et es TÊose est conUauelleaieut rempli par de l'eau ; de sorte que le liquide reste toujours à la même hauteur. Le mélange de Peau et du vin se fait continuellement. On demande les proportions du mélange après un temps donné.
Le liquide restant toujours à la même hauteur, la vitesse ^ de l^écoulement est constante ; conservant les notations précédentes , on verra que
i» =: - ai d ou - = -.
Pour résoudre le problème , on supposera d'abord que les proportions du mélange ne varient qu'au commencement de chaque instant Supposant ensuite que le nombre des instans
est inûm, on trouyera les formules deiûandées. Effectuons les csAcah. Si au oommeiicemeiit d'ua instant quelconque la quantité de vin contenue dans le vase est Y, la quantité de oiélange
^i sortira pendant cet instant sera - ou -^. Or, sur la quan-
tité;' du mélange, il n'j a que Y de vin; les — mëtres cubes de
méiBnge ne contiennent donc que — V de T}n ; la quantité de TÎn qui restera dans le vase, après cet instant , sera donc
nq \ nqj
Ainsi y pour passer de la quantité de vin contenue dans le
ime au commencement d'un instant , à celle qui reste après cet instant , il suffit de multiplier la première quantité par b.
Mais, au commencement du i*' instant de l'écoulement, le Tâse contenait p de vin ; les quantités de vin contenues dans le vase à la fin du i *^ instant , du a*, du 5*, * . . , du t/i''"' , sont donc.
pb y pb\ . . . , pA**.
Désignant ce dernier nombre par x, on aura
^ xz=:pb^^.
Cette formule suppose que les proportions du mélange ne varient qu'au commencement de chaque instant. Pour que le mé-lange se fasse continuellement , il faut que n^ soit infiniment > grand ; alors &*" devient e""*, et l'on a
at vt X z=zpe'~^y « = — = —.
Telle est la quantité de vin qui restera dans le rase après
^ t heures d'écoulement. Cette quantité diminue à mesure que le
temps augmente, mais elle ne peut jamais devenir nulle; le
mélange contiendra donp toujours du vin.
i4a. 5*. PnoBiiicE. On a deux i^es, dont Pun ne contient
( «44 ) que de Peau , et dont t autre ne renferme que du vin pur. Veau sort du premier vase, entre dans le second, se mélange à t instant , et sort ainsi mélangée. Les vitesses des écoulemens sont proportionnelles aux hauteurs des fluides au-dessus des orifices. On demande les proportions du mélange après un temps donné. Nous supposerons toujours, que les sections horizontales des fluides dans le premier yase et dans le second sont q' et q) que les nombres de métrés cubes de fluide contenus dans ces vases , lorsque l'écoulement commence y sont p' et p. Si au commencement d'un instant quelconque , le second yase contient P de
p mélange 9 dont Y de y in; alors la hauteur du mélange sera — ,
la yitesse de l'écoulement de ce mélange sera — , et la quantité
de mélange qui sortira pendant cet instant sera — ou — X 1^-
Mais P du mélange ne contient que V de vin pur; donc — X P
du mélange ne renferment» que — X V de vin.
De sorte que le vin qui reste dans le second vase au coiri' mencement d^un instant quelconque étant V, le vin qui reste à
la fin de cet instant est l\ V j ou iV.
Ce résultat étant le même que dans le problème précèdent, on en conclura que le nombre de mètres cubes de vin qui restent dans le second vase après t heures d'écoulement est pe"*. De sorte que la quantité de vin qui reste dans le second vase est la même que s^il tû entrait pas d^eau. On conçoit que cela est possible , car si d'un côté l'eau qui entre accélère la yitesse de l'écoulement, de l'autre elle diminue la proportion de vin du mélange ; et le calcul démontre que la compensation est exacte. Les quantités de fluide qui restent dans chaque vase sont données par les formules du n** i4o.
Problèmes^ sur les Maxima et les Minima.
'i43. PROçLiME. Partager un nombre a en deux parties dont la somme des carrés ou des racines carrées soit maximum ou ^ minimum,
1*. La somme des carrés est x*+ (a — xf ou ax*— aaa:-|- a*. La première dérivée donne l'équation ^r — aa = o, d*OÙ
A = - a. La seconde dérivée étant positive, la somme des carréJ
est un mmimnm potir â? =: - a.
fl^. La somme des racines carrées est v Egalant la dérivée de cette fonction à zéro, il vient
-, d'où a? = - a.
aV^cc aV^a — x a
La seconde dérivée est —
et comme x= - a la rend négative , on a un maximum.
Dans ces deux cas les deux parties sont égales. i44. PaOBiiEifE. Trouver le maximum de ïaire d'un triangle dont on connaît un côté a et le périmètre ap.
Cette aire a pour expression Vp^p—a}{P'^tf){p—c). Il &iit done connaître le maximum du produit {p — &)(p o)/ sachant que 6 + c = ap — a ; ce qui réduit ce ^odiiit J à (p — 6)(a + &— p) j b, étant Ja .variable, ladérîvée sera (p— i) — (a+6— -p) qui égalée à zéro donn^a
b^p^^-a, etparsuite c=p — -«•
Le triangle a donô les deux côtés cherchés égaux. '' i45.' PitokÂMS. Tfbttver le minimum de l'aire totale ou du volume d^un cône droit circonscrit à une sphère donnée,
lO
5oit a le ra;^on de la sphère et x la hauteur du oAiie , la sur^ face totale du cône ifig* lo) aura pour mesure
9rAN.NX+^AN* ou w(aAÏÎ+AN.Mx).
Oroua AN:BM::AX:MX, ou AN:a::x:v/]?— aoJT.
Sub^tiMint I la «urfkce ooaique totale deviendra
13 — I hax\
Vx*— aax /
Pour en trouTeir le minimum » divi^ns par tta et rédilt$oiia ^ Vient — , ou
ar'— aax a; — aa
La dérivée égalée à zéro donne ûx(x — aa)— x* = o, oa a:* — ^ax^=s^o\ d'oi j?=33 4ay car x=:=o ne peut con venir «
La seconde dérivée deviendrait positive en y faisant 4;=4a; on a donc un minimum. Les valeurs corre$pondaiites $ont
BXî=5c, XM=a»/8, AN=aV/3, NX=3ai/I
a^. Le Tolume du même cqne aura pour mesure
n faudra doncçnoprç tro^v^r le mining^u^ de '^■ i .. . »i. . . ;ce«n
conduira aux mêmes résultats.
i46. FaoBLiMB. O/ï donne un levier dont lepcrint d^appui est A {Jlg. ti),et auquel une force connue P est appliquée perpendiculairement à la, distance AB =: a ; le poids du levier est de h pour une unité de longueur; on demande en quel point il faut appliquer une force X minimum^ qui produi^^ ^équilibre»
Soit k le point cherché ^et AA=zjp, Jj^ ^i4f 4^ |evier ter-* miné en hf sera bx , et pourra être considéré ooiime agplilK^
( i47 ) àtt milieu M de Ak-^ on aura donc pour l'équilibre ^ Téquation
Pa+6xX- = Xx,, d'où X= — +— • Pour que X soit un minimum i il faudra faire
—- + - = 0: dV>u x* = -^ , et *=\/-^-
147. PsoBLàMB» TVoutvr entre dezrs points btmineuir^ le point le moins éclairée la droite qui les joint»
Soient m^ et n*, les intensités- des lumières A et B, à runité de distance : Soit a la distance entre les points himineus , et x oeQe du point cherché au point A*
L'intensité d'une lumière variant «n raison intarse dttearré ie la distance au point éclairé, la somme de^ inleositéi def deux loiniëres aur le point cherché^ aéra
lik i im «1*
npreaskm édvA i) Iknt ai>oir le mîi^imam^ ce qui donne
-** am*x , an* (a — x) ^
x^ ^ (a — xy '
ou n^x^z^m^a-^xy-, d'oi (a'^x)\/^m*zsxyî?^ Cette d«miè«e écpai^on condnU à
Lorsque m'^n^ on troute a:=- c. , , ^ . ,
n est facile de s'assurer que cette Trieur de x détermine nix mimmnm.
i48. PROBXiiMB. Trouver te maximum du produit de m fàc^ teUri 4ont h somme est d^wtée.
Nous avons vu que dans le cas de deux facteurs , il fallait qu'ils fussent égaus. Or y si les m facteurs n'étaient pas ^aux dans le cas du maximum de leur produit^ on pourrait en prendre deux d'entre eux inégaux , et les rendre égaux sans changer leur somme , le produit serait alors plus grand qu'auparavant ; il n'était donc pas le plus grand possible. Sa plus grande valeur correspond donc à l'égalité de ces facteurs; ce qui en détermine la valeur.
149. Problème. Trouver le maximum, ou le minimum de la soT^me des puissances d'un même degré donné m dequanr tités variables a ^ b, c^. . . • ^ k^ dont la somme est constante.
Nous avons vu ^ n^ 4:2 , que quand il n'y a-vait que deux quantités, il fallait qu'elles fussent égales.;^ et que la s<»iime de leurs puissances du degi^é m.y était un minimum quand m était positif et plus grand que Vunité.^ ou avait une. valeur négative .quelconque; et qu'elle était un maximum quand m était positif et plus petit que l'unité. Il est facile d'en conclure que Je maximum et le minimum ont lieu dans les mêmes circonstances, quel que soit le nombre des quantités a, A , . . . . , A ; c'est ce que^l'pn fera voir en démontrant par un tMS(9i^ement déjà employé précédemment, qu'il est impossible que dans le cas du maximum ou du minimom, il y ait deux de ces quantités inégales.
i5o. Problème. Trouver le maximum de taire d^ un triangle dont on connaît le périmètre ap.
L'expression de l'aire sera , en appelant ^ety Amt Âes-eôtés,
il faut donc avoir le maximnni de (p — ^) ( p — y) (^ + y — p). Les deux dérivées partielles égalées à zéro , donnent
— (p — y) (x +y — p) + (p — âd) (p — y) =0 , ^ '
— (p — ^) (^ +y —p) +(p—^)(p —yïp^ o-,
d^oh. l'on conclut inmiédiatement p — ^ z=zp~r-x , ou, y^zx. Reportant dans l'une des deux équations , il vient
a; = y, et par suite J'^y, ap-*-.a?— y = ^-
Le triangle est donc équilatéral , et on s'assurera , comme dans
les cas précédens , qu'il est maximum.
i5i. PROBLiMB. Trouver le maximum du volume d'un parai''
lélépipède dont la somme des arêtes contigues est une constante a.
Soient x,y , z ces arêtes , on aura x +y -f- 2 = a , etleyolume ocyz deriendra *y(a — a:— j^).
Les deux dérivées partielles égalées à zéro conduisent à
y (a — X — y) — ry=:o, x(a — x — y) — xyr=o.
La simple inspection de ces équations donne yzzzx, et substituant dans l'une des deux , il Tient
x(a — 2x) — x* = o , ou or — 3x* = o j d'oi
^~3' etparsuite y^=^y *~3'
Le parallélépipède est donc un cube.
Les secondes dérivées feront voir facilement qu'il est un maximum.
i5s. PaoBLiME. Partager un nombre connu a en trois parties X, y, a— X — y, telles que le produit x"*y"(a — x— y^ soit maximum ou minimum.
Les deux dérivées partielles par rapport k x éty , étant égalées à zéro et réduites ^ donnent
mÇa-~-x — j^)— px==o, /ï(a — x— y)— /y = 0;
i, , ma na . va
d'où a; = — 7- — - — , V = — -r — r" > ^""^ — y=— T 1 -
On Toit donc qu'il suffit de partager le nombre donné a en trois parties 9 qui soient dans le rapport desexposans^ m, n,p.
En formant les secondesi dérivées , on reconnaîtra qu'elles satisfont aux conditions du maximum.
Lorsque m = n =p ^ les trois parties sont ^ales^ et on rer tombe sur l'exemple précédent.
i55. Pboblèmb. TVcuver le maximum du carré du produit de^
( «5a) équation qui , jointe à x* + j^* = R*, donne
oR d:AR
Les signes supérieurs déterminent un minimum et les inférieurs un maximum^ lorsque a et & sont positifs ; c'est ce que fait voir le signe de la seconde dérivée de (x-^aY'-i^Çy — i)*. Les deux points construits sont les intersections du oerde et de la droite ; menée par son centre et le point donné.
i5S. FaoBiiaiB. . TVout/er le maxitmundu volume éCun cy-^' , lindre dont on œnnatt la surface totale m.K
En désignant le rayon de la base par R et la hauteur par hj on aura
(l). . .25rR»+25rRfi =m».
Le volume aura pour expression tR^H. Prenant les dérivées ^
il vient
!îRR'A+R*=o, 22RR'4.R'A+R=o.
Eliminant R', on trouve (a) ^ . ,k = aR.
Les équations (i) et (a) donnent
Le volume irR*A devient m^x/ — -,
On verra; comme précédemment , que ce volume est maximum.
157. PaoBLiBis. Trouver le maximum du volume d^un cône droit dont la surface totale est m*.
Soient R le rayon de la base et x Fapothéme , on aura
(i)... îtR* + 9rRx = m*.
Jje volume aura pour expression -s tR* |/a:*— R*.
( 153 ) La dériyée égalée à zéro , donné
Dérivant l'équation (i) , on a aRR' +R + R'x= o. Eliminant R% il vient 3R» — x*+«Ra:r=o;
équation qui , jointe à la prelniëre ^ dômie
** =^ -*— TT. et X = ' ^ j ^
d'ofi l'on voit que ce cône est semblable an cône minimum cii^ oonscrità la sphëre (n® i45).
Théorèmes sur les quantités moyennes.
i58. On appelle moyenne entre plusieurs quantités, toute quantité comprise entre la *plus "petite et la plus grande. On donne le. nom. particulier ie moyenne^ arithmétique entre m quantités, à leur somme divisée par m; et de moyenne géomé^ trique^ à la racine m""' de leur produit.
i5ij. TnioBiiiE. Soient des fractions quelconques à termes
positifs
sera Tnoyenne entre les premières.
En effet, supposons ces fractions rangées par ordre de grandeuT; et soit q le quotient de a .par by qn aura
a=:bq^ a'^P'Vq y a''^b''q, ...
d'oji
«+v+c^..>9(i+y+i^..) ou g^+^,...>^.
La fraction (1) est donc plus grande que la plus petite des proposées. On prouverait semblablement qu'elle est plus petite que la plus grande ; elle est donc moyenne entre elles.
CkmoTJJLXBJL Les fractions , T»r7/-r7*'**9
étant respectivement égales aux suivantes
bm' "SV* éV" 6« + y*' + 6V..,
la fraction
a ci û*
sera enoone moyenne «ntre les premières, T> rr/r^/eto.
CoBOixAiXB. Si 6 =6' =6*= , . . = i , la moyenne précédenta deyient
ee qoi proQTe ipie a«+aV+rf'W*+... est le produit de « + «+#*+ ... par une moyenne entre les quantités û, a, ^ a , etc.
CoRoixAiBs. On peut encore déduire de ce qui précède que
l'expression yaaa,., est moyenne entre les quantités
ï/c, i/a', v/o", etc.
En çfîet» posons atszjn ^ a' zss.m^fy à^z=zm ,..*, j IL *
les racines Va, \/ d . . .^ deriendront m , m , m ...
' A 4, y 4, ' y ,u moyenne entre t > 77, pi6ie*f
oonc m est moyenne entre m ^ m ^ m > eto
Repassant des exposans fractionnaires aux radicaux^ et rem*
j^çÂnt m*^, m^ 9 • , . , par a.,0^ . ..^il »'en«nit.^pie ^au'>a'. , .
est moyenne entre l/a , V/a , V^o", etc.
Ci55)
i€o. TaiosisnL ha moyenne ariAmé^que en^e un nomhm quelconque de quantités est toujours plus grande x/ue leur moyenne géométrique; excepté lorsque toutes ces quantités sont égales , auquel cas les deux moyennes sont égales entre elles et aux quantités elles-mêmes^
Soient les m quantités a, & > c> . , . ^ ft. Si Ton conçoit qu'on en fosse le produit^ en laissant leur somme constante , nous avons tu que ce produit sera le plus grand possible quand elles seront ^ales entre elles, et par suite égales à leur moyenne^ arithmétique. Or la racine m*'"** de leur produit se trouve alors égale à l'une d'elles, ou à leur moyenne arithmétique; et dans tout autre cas ce produit étant moindre , sa racine rn*^' ou la moyenne géométrique sera moindre que la moyenne arithmétique.
161. TnàosèsSE. La moyenne arithmétique entre les m puis'sances d^un même degré a*, b*, c*, . . . , k% est plus grande que la puissance du même degré de la moyenne arithmétique entre â^b,c,...,k, lorsque x est positif et plus grand que l'unité, ou négatif et quelconque; elle est plus petite lorsque x est positif et moindre que l'unité.
En eflFet , supposons que a+é + c-+-... -f-ft reste constant; nous avons vu (page 1 48) que la somme û*+6*+ c* + . . . 4- 1* «era la plus petite possible quand on aura a=fc=c=...=ft.
Si X est négatif, ou si x est positif et ^i, la moyenne arithmétique entré les quantités a', i*^, . . . , fe' sera égale à l'une d'elles ou à la puissance x de la moyenne entre a^ b, . . . , A ; d'où il suit que quand ces dernières quantités ne seront pas égales, la somme a*+6*+c*4-- • •+'^» devenant plus grande, on aura
> / fl + & + c+.. .+ /t y
Si l'on avait x positif et -^i , ofi sait que la somme.. fl*+i* +• • • +fe* SCTait la plus grande possible quand. , . a;=:bt=c= . . • =^; d'où il suit qu'on aurait dans ce oas
a« + i* + c'+ hfe* ^ ^a + b + c+,..+ kY
»'l ■■'!■ Il I II !■ i I
i62. Nota. On considère souvent, des moyennes arithmétiques de la forme
ma «4- nA + pc + . . . -|- ^ft Tîl -f- .^ "^ p -^ • • . H" ^
elles comblent au premier abord di£Pérer de celles dont nous aTops parlé; mais il est facile de voir qu'elles n'en sont qu'un cas particulier, et qu'elles proviennent. de ce que m des quau-; tités données se sont trouvées égales à a^ n k b^ etc. . . , et la formule précédente représente toujours leur somme divisée par leur nombre , lorsque m, n , p,. . . ,;, sont entiers. S'il s'en trouvait de fractionnaires, on les ramènerait immédiatement au cas précédent en multipliant les deux termes de la fraction totale par le produit des dénominateurs : on verrait alors faci* lement entre quelles quantités cette fraction est moyenne arith^ métique.
Les. mêmes considérations s'appliqueraient aux moyennes géométriques de la forme ' '
Détermination de certaines fonctions ^ daprès une de leurs propriétés caractéristiques.
i65. Problème. Trouver une fonction f (x), telle que Von ait
quels que soient n et y.
Supposant y z=zx , l'équation (i) devient
Supposant ensuite y=:ax, elle devient
ç (3a;) z=zf{x) + ç> (ax) = 3^{x).
En continuant ainsi jusqu'à y=:(m — 1)0:, on aura pour toute
valeur entière de m ,
^ {jnx) = mf (x).
iy
{ 157 ) Or 9 le premier membre ne changeant pas (quand on remplace m par a; et a: par m, le second membre doit jouir de la même propriété. Il faut donc que la fonction p{x) soit d'une forme telle que l'on ait
mX^(x)=xX0(m): d'où !l^^ = 2:i— i.
11 suit de là que ' est constant , puisque rien n'empêche
de laisser m invariable^ en donnant à x toutes les valeurs possibles. Désignant donc cette constante par a ^ on aura
ç (x) = ax.
RiciFROQUEBCENT , toutc fonctiou de la forme aXy jouit delà propriété demandée^ quelle que soit la constante a et la variable X y car on a identiquement
a {x + J') == ax + ay.
i64. PBOBLàMS. Trouver une fonction telle y que ton ait iden" tiquement - .
\ Faisant d'abord y^=iX, on aura ^(a^)=[ç(x)]*.
Supposant ensuite j^=:=x% il viendra
En continuant ainsi jusqu'à y = x"***' , on obtiendra Téquation générale
Posons maintenant x = a^ ^ l'équation précédente deviendra
'Jc.'l il
Le premier membre ne changeant pas^ quand on remplace y par m et m'par j' , il en 'doit être de ménié du second; d'où l'on conclut
( 158 ) Faisant f (o") = a* , U tient
[^(x)]'» = a*/=x*j d'où f(x)=:x-.
La fonction cherchée est donc de la forme x*.
' RiccPBOQUEMEKT , quel que soit n, cette forme convient à h
condition proposée , car on a identiquement
(xj^)* = x"j*.
i65. PaoBLànDB. Trouver une fonction telle ^qiieC on ait idtn-^ tiguement
Soit^ = x, on trouvera ?»(2ur) = [^(x)]V Faisant successivement
Y=zax, y=:z3xy ,yz=i(jn — i)x,
on obtiendra l'équation générale
^(mx) = [ç>(x)]«. ,, .
Remarquant que le changement de m en x et de x en m n'«l* tère pas le premier membre , on en conclura
d'où , en prenant les logarithmes des deux membres dans une base quelconque , / ' ^'
m log (p (x) = X log f (m)^
ce qui donne
log<p(x ) ^ log.»(m)
Le premier membre de Téquation est donc constant^ qad que soit x, puisque nip^ ^n iiombre, qu'on peut laisser inTar riable ; nommant a cette constante , on aura
b désignant la base du ^^stème de logarithines quePon a choisi*
Si l'on fait &* = A , il tiendra
Iltap&o<2^9xaa«9T , toute fonction de cette forme satii&it k h oonditioii proposée i puiaqu'on a identiquement
A'+y = A*xAr.
i66» PHoiffimc. Trouver une fonction ttUa, que /'on ak idén^ tiquement ^{xy) es ^ (a?) + ^(jr>
Faisant successi^veineBt
y = x, y=7x, ..., j^=(fn — i)x, on parriendra à Téquiition
Posant mrsit^y il rient
Obseryant que y et m entrent symétriquement dans le premier membre i on obtiendra , en les substituant l'un à l'autre dans lo second membre >
c désignant une constante. II en résulte ^
f (o^) 3s cy* - Bemplaçaiit a' par a^ et j^ par 16g x, on a,
a #ant la base du système dçj logarithmes.
BiciPAOQUEMENT, qucls quc >x>içnt a et r, la fonction <tl<^f«: Mtisfiût à, U QpoditioQ donnée ^ car ou a toujoijyra
Problèmes divers,
167. PaoBLàiiE. On a partagé une certaine somme entre m personnes; la première a reçu une quantité connue^ a/ plue la n^^m* partie du reste s la seconde a reçu sa^ plus la n^^' partie de ce qui reste, après avoir prélevé cesasa outre la première part: la troisièms a regu 3a> plus la n^^* partie du nouveau reste; et ainsi de suite* On demande la valeur de la somme en question ^ et la condition pour que toutes les parts soient égales t et que la somine se trouve entièrement épuisée.
Soit j; la flomme cherchée /et yi^y^^ yzy • • «^^m^ lesdiffé" rentes parts ^ d'après la loi donnée poux' la formation , on aura^ pour deux parts oonséoutiyes quelconques, Tune durioigp, l'autre du rang p + 1 > les deux expressions suivantes :
Retranchant la première de la seconde^ on trouve pour différence,
a — JÎIi?. Egalant cette différence à féro, il vient yp=(ii—i)fl; n
d'où l'on voit que la condition nécessairext suffisante pour l'égalité de toutes ces parts , est qu'elles ident chacune pour valeur {ji^^ i.)a. Mais pour que la somme a? .soit entièrement épuisée après la m""" part , il faut que celle-ci se réduise à m.a ; car s^îl restait enccnre quelque diose ap^fi^ ayoir prélevé ma ^ on n'en prendrait que la v^^^ partie , et il y aurait encore un reste après la m*'"' part. Il faut donc , pour satisfaire à la fois à cette condition et à celle de l'égalité de tbut^ les parts , que l'on ait (n — i)a = Tua, ou n.-— 1 = tïi. Quand cette condition sera remplie , on aura itacilement la valeur de x, en multipliant une des parts, par m ; ce qui donnera x = arti^t •
168. Problèke. Trouver la valeur d^une somme que f on partage entre m personnes, de moniére que lapremièreaitSi, plus la
h^*"* partie du reste; la seconde 4a, plus la n*^"" partie du reste, et ainsi de suite, sans que l'on assigne aucune relation entre les différentes parts é
Sait encore x h somme chercîiée et j^, , y» , , . . . ,y„ , ses dÎTerses parties. Pour connaître la manière dont les parts peuvent se déduire les unes des autres , prenons en deux consécutives quelconques, ^p , j^p^, -, nous iaurons pour leurs expressions
n Prenant leur différence ^ il viendra
tfoù »yp+, — /iyp = na— a— ^p;
ce qui donne j'pi^ Çj~—^y^, — 0.
Partons maintenant de la dernière part, qui devra être ma pour que la somme soit entièrement épuisée , et exprimons toutes les parts précédentes , au moyen de la loi que nous venons d'obseryer entre deux parts consécutives quelconques; il suffira ensuite d'en faire la somme, pour connaître la valeur de x.. Représentant^
pour plus de commodité , ■ ' par ft , on aura successivement
yfn=ma , j'm-i = Aym — a = ftwia— a, ym^fi = kytn^^'-a=k*ma~ ha-^a^ y^n-ji = A^m-ft -^ a = fr^ma — k*a ^^ka-^a^
Ces valeurs de yi;^* jJZ} • • • >ym peuvent être mises sous la
forme suiyantc :
y, = k-^-^ma - a {-^ITt) '
Jim-«|.
yrt, = me.
Faisant leur somme ^ on aura pour x la valeur suivante :
N ap = ma(i+44-A*+. -.+*'
Aa^Aî4-. . .4-A— -» \ Cto— îV
"Remarquant que i +A + ft' -f- , . . -f- /j'
etqike
on aura
/A-— i\ afe*(A"»-*— 1) , (m— 2)a
\A— 1/ Cfe— O'' ^ fi — 1 •
Remplaçant & jJar sa valeur -- ''^^ " , il vient en réduisant
rc = û
Or^)"
Telle est la formule de la somme cherchée, quels que soient
771 et 7Z.
Si l'on demandait que toutes les parts f ussjBnt égales , il faudrait , d'aprës le problème précédent , que l'on eût /i — 1 = m et la formule ci--dessu5 se réduirait à x = cm* , comme nous l'avions déjà trouvée dans C9 Xîas particulier.
169. Jjgs intérêts d'une somme se cumulant à chaque instant , il e5t évident que si Ton doit un intérêt R à la fin d'un an , x)u
aurait du désayantage à payer — au bout de 6 mois , et — à la
fin de Tannée , parce que le premier paiement que Ton ferait au milieu de l'année, porterait intérêt pendant les 6 dernîet^s mois, et Ton se trouverait avoir payé réellepientplus que 11 au bout de Pannée. Si,au lieu départager l'intérêt total en deux paien»ens, on le partageait en trois , en quatre , et ainsi de suite indéfiniment , le préteur auraitdle plus en plus d'avantage à cette division du paiement, et l'on peut se proposer de calculer la limite 4£ pejt aTantage en supposant que le nombre des paiemens tende vers Pinfîni ; c'est ce qu'on résoudra de la manière suivante :
Problème. Trouver la limite de ce que devient un .capital «^ aprhs n années j en supposant que Pintérét de i^ par €u% est T^, que l'année est divisée en i" instans ég^ugc , que Piritërêp
de 1* pendant un instant quelconque est —, que P intérêt
iujmJte à lajpn de cHaque ii^sJtant au capital paur^porter intérêt pendant Pimstant suivant, et que le membre ttend v^rs l'injlni.
L'intérêt de i''^ pendant' un instant étant j- , l'intérêt du ca-
pital «t* pendant le i*' instant est —r- ; de sorte qu'à la fin du
1** instant^ <3e capital vaut «t* -4- -if- 4>u a^ x (" i •+- jj* Par ccmséqueni; , le capital et^ vaudra ^ à la' fin du 9® instant é X (1 + , à la fin du 3« instant ** X (1 + ^ ... ., et à la fi^ de la »'*''"' a;n»èe ou de i'n ins^tans^ le capital .a?" vaudra a* X /* 4" jj • Désignçint cette dernière vfJeur par a?, oit
aura
x^s^tu 4-^'
Pour obtenir )la «valeur die x oorreapondaixte à i" infini , on
liëteloppera d'abord la puissance imliquëe, ce qui donnera
Cette v^eor de x revient à x=«{i+«r + ^-(«-l)r'+^»-j)(ft-jy+etc}.
Supposant ^ infini^ les fractions j^, -t, >V|j|!^^> ^ réduisent à zéro , de sorte que
a; = .(^i + nr + — + ^+^3^+etc.;.
Or , d'après la formule (3) (page 1 26), la série qui multiplie « exprime le développement de c*'. On a donc x = flt6"^
1 70. pROBLÈMS. On propose de démontrer qu*U n existe que cinq'polyèdres réguliers^
Soient, X le nombre des côtés de l'une des faces d'un polîèdre régulier , y le nombre des angles plans qui forment cbaque angle solide de ce polyèdre , et & le nombre de ses faces* Si l'on inscrit une spbère dans le polyèdre, et si l'on mène des plans par le centre de la spbère et par les différens côtés des faces du polyèdre , ces plans diviseront la surface de la sphère en z poligones spbériques égaux qui auront chacun x côtés ; il j aura y angles des polygones spbériques qui concourront en un
xnéme point ; et oonmie la somme de ees angles est égale à 4
angles droits, chacun d'eux vaudra ~ d'un angle droit ; les x an-
gleâ intérieurs de chaque polygone sphérique , vaudront donc
— d'un angle droit. Or, en /prenant l'angle droit pour unité
d'angle, et le triangle sphérique tri-rectangle pour unité de surface , la surface de tout polygone sphérique a pour mesure , la somms de ses angles intérieurs , moins le produit de deux angles droits par te nombre dès côtés du polygone diminué de 2,
d la surface de la sphère est égale d 8 (*) ; U surlace de chaque
polygone sphérique est donc égale à — • — fl (x — a) , ou à — — flx + ^; et comme la somme des surfaces de ces a- poly--
gones forme la surface totale de la sphère^ on a
f if— 217 + 4^ = 8; d'o& (i)..,.z= ^^ --.
\y J ' \ J > 2j; — (x — 2) jr
Les valeurs entières positires de a:,^, Zy qui satisferont à
cette équation^ détermineront les polygones réguliers deman.-
dés. CHerclions ces valeurs; a; et y étant positifs ^ pour que &
soit positif; il faut et il suffît que
(r — fl)jf<aa7; d'où y<jir5-
Or, il faut au moins trois côtés pour former une face ; et trois angles plaos pour composer un angle solide , donc x >• a et y ^2. Les deux limites de^ exigent que
>5; doi x<Ç.
On ne doit donc assigner à x que les yaleurs 5 , 4, 5 ; les Taleurs correspondantes de 2 ^ déduites de l'équation (i) , sont
4y ay 4y
o — y' 4 — y lo — Zy
Par conséquent : i*. On ne peut combiner avec x-=^iy que j'=3,^=;4, y=r5; les valeurs correspondantes de a sont 4,8 ;2o; ce qui détermine le tétraèdre y Voctaèdre, et Pico- 5aë Jre ; toutes les faces de ces polyèdres sont des triangles équilatéraux.
2*. Avec a;»=4, on ne peut combiner que' ^==3 •, c^ qui donne £ = 6. Cela fournit le cube dont les six faces sont des carrés.
(*} f^ojret la 4" proposition du 7" livre de U Géométrie de M. Legmdr^*
5®. £nfît) y l<)psqu€ a; =2 5 , le déiioiulHalear 10 — 3y derant être positif, il faut que y'=:i'S\ d'oà a=ia. Cela détermine le dodécaèdre , dopt les douze faoes sont des pentagones ré^ guliers.
Il n'existe donc que cinq polyèdres réguliers , savoir : le té* traèdre , le cube^ Y octaèdre , Vicosaèdre et le dodécaèdre,
171. PéobtAmb. Déterminer la somme des puissances senxz hlables des terfnes d^une progression arithmétique.
Soient a,b^c, <l, • . ., ft, /, les termes de la prc^ression, et ^ la raison ; on a
iroù
è*=:a«i.|-ma'**-^^-f- "/«(w — i)a"»-»/» -h-wj{7w— i) (m — 2)«»-^^^ -4- etc.,
/«• es A» -f- mÀ»-'/-4- -TO (to -- i)A"-«/» 'î-^m{m-^ i) (m — a)A*-î/» + etc.
Ajoutant ces équations membre à membre, et désignant par Sm> Sm^i, Sm^%, etc, Ics sommcs des puissîlnces m, m— 1, m— 2, etc., des termes de la progression, on trouve
d OÙ
Cette dérA^te -formule fait dépendre S^^n des '^pittssaxicôs iiïférieirtpés win^-ft , 'S*— 3 ^ * • • ^ Sa , Si -, Ss.
Exemple. Pour obtenir la somme des m— 1"'"'* puissances ^s ^ taômte^ ntiTturdls 1 , â , 5 , » ^ . , n^ on fait
ee qui conduit à
S„, = 12!-^ 4. „«-. C^^^:^ (S». - «"-')- etc. y tn . \ a y
( i67 ) Donaant à m les valeurs i , a, 3, 4, etc., on troare
bo^n,bi= — ,^»=3 — J-— — — 1^— . 4 >etc.
172. ProblIme. O/t demanda le nombre de boulets contenus dans, une pile dont la base est un triangle, équilatéral, ou un rectangle y ou un carré; tous les boulets se touchent et sont de même diamètre.
1^ Lorsque la pile est triangulaire ifig* loi bis) , en lajiivîsant en tranches horiacon taies à partir du sommet S, on obtient les franches représentées ÇJig» 102 &w) (*); la l'^tifaiiché contient un seul boulet 9 la a® en renferme i + 2 ou 3 , la 3* en ^!ontient 1 +a+3 ou 6, . . . , et en général, la n""** tranche est composée de 1 + ^-f- • • • 4"^^ boulets. |jes nombres 3,6, etc. cmt reçu le nom de nombres triangulaires , parce qu'ils expriment combien il faut prendre de cercles égaux et tangens pour qu'on puisse disposer ces cercles en forme de triangle (fig. 103 bis).
* Le nombre des boulets de la pile 5^ABC ijig* 101 bis), étant i*^-3+6 + io + i5 ou 35, on formerait des piles triangulaires en prenant i+o, ou 1 -J-3+6, ou i -4^3 +6+ 10 boulets. Les nombres i+3, ; 1-1-3 + 6, etc., s'appellent des nombres pyramidaux', parce qu'ils expriment le- nombre de sphères é^Ies et tangentes . qu'on peut disposer en. pyramide triangulaire. Les nombres de boulets contenus dans ces plies sont faciles à déterminer. £h effet :
la I** tranche p^n lient . .. 1 boulet, ,
la a* en contient i4-a»
là 3* en contient i-h2-f-3,
la (n— i)*e»e en contient 1 -f- 2 + 3 -f- • • . 4- («— i)- ' Apntant les nombres contenus dans chaque colonnç veifticale
(*) La fignre (loa bis) représente les cinq sections horizontales faites dans la pyramîdje SABC [fig* ici £{>} par des plans menés par les centres àei bonleiSi
et désignant par X.::, le nombce total de Iwvlelt des ia>^ i tranches I on Toit que
X»-i=s(n— i)foi8i-f (»— a) fois a-K«— S) fois 3-f-...-f f /^— (n— i) \fois («— i)
Lorsqu'on prend une tranche de plus^ le nombre total des houlets des n tranchés est
pwr 1+9 4-^ -^-...rf net i*+}»*+5*-f-#-+i»', hw& Viaicurs J «(n+O^è '^^+0 (3» + i), on tpouwe
(i) ... X„ = Jn(/»+i)(/» + fl).
Le nombre n des tranches est égal au nombre de boulets du côté AB de la pile SABG. Dans hi Jigure ici bis, on a ii=: 5 ; la formule (i) donne X5=:55; la pile est formée des cinq tranches.de boulets indic^uée^s {fig* loa bis),
â^. Pour évaluer le nombre % des boulets contenus dans la pile tronquée ABCabc {Jig' ici iw), on désigne par m le nombre des^ boulets du côté ab de fdT tranche supérieure abc \ le côté «1^ de la tranche immédiatement supérieure renfermant TH.. 1 boulets, on obtient le nombre des boulets de la 'çi^eStéSy en remplaçant n par m— i dans la formule (i); la différence ' entre les îiombreç de boulets ^es piles SABG^ S«C}/^ exprimant X, on trouve
* (2).,.X = Hn(n + ï)(rt + ii)~(/ii-i)m(/tt + 0}-
n et m sont les nombres de boulets des côtés AB, ab. des deux bases du. tronc* On obtient le noinbre 3i des boulets de la pile tronquée ABCaic (fig> ici bis) ,' en faisant nimS, m=:3 , dans la formule (2) ; cfette pile est composée des trois de rni fe rc s tranebes de la fig* lou &m , et ces tranehes oontionn eat 6 -4- > o + 1 5 ou 3 1 boulets.
3^ Quand lafHkapoiàf base un rectangle. ABCB(Jig* io3 Us), les tranches horizontales sont des rectangles ; et la pile entière
est terminée pstr^tmeJUe £F ^'botttel»; les CaoMP tMtiUès «ont deax trinngtes éqnUaîéraux £AÏ>^ FIC^ «èt^euk trapikks EFBA^ EFCD. Si la^fc sup^ieure EF Gonttéirt ^ i liéidèt»» la a* tranche dVc'd! sera un rectangle dont les côtés û'i'^^i'iï^, contiendront respectivement ^4*^ bottleCs 01 â h9Afêci\^ y 9ura dose (^+â) X s boulets dans-eetto tiornoba^ luS^atatt»tiendra (^+3) X 3 ^ et ainsi de suite; Dé$igiMMiit par<l^ le nombre total des boulets des n tranches qui composent la pile entière EFABCD , le côté BC renfermera n bouleU^ le côté AB .€n4xnitiendraJ'tf^»; eton aura <.<«>•./ ^ i^i
Remplaçant 1 + 2 + 3+...+net i^+ a*+ 3*+ . • ., + »% par leurs valeurs \ n(n +0,1 n(nr^i ^(an H*iO / '1 ^ëilt. - » -
Soit ^ + n = m, on trouve i . i - 1 - -o "
n et m sont, les pombrés de boulet^ des côtés BC, BA 'de la 4)a£e As la pile. Supposant /i:±= 5 j m= 8 , on trouve que la pile EFABCD contient 1 GO boulets. ..,,,. ?
4°. Enfin, pour évaluer le nombre Y des boulets de la pile
rence entre les nombres de boulets des piles EFABC33, EFa'iVcT.
l>èiignaut -par A^ étmf les nokbni^ Aèi^hmA^Am «ités ic>, ba ' de la bft^^périeur^ du tFanc7ié^ nbnibV.es^Bê>bD«tel» im^Ms
Vxfyb'a'yèé k^bftSëèltt la ipAeWiYdihM'^i^ituk^^ «tt^'^u^ ;
on obtien3i;a doAo ltm<nWbrGd69 bouliHs'difr^^tlè petite pile en
remplaçant âa»s la formelle (3)'>Ji & ffrc-i^t él^- 1 èC i/ii^^^\it ■ jon en'dédttil . " ■ ^'i', ( • 4- ' • ;
(4)-. .Ysa:4(H<»4fti) (3m-«-^i);^(»'--ij)ii'(3>i»'*ph^-ai)}. ny m,n\H m'^eonî les nohAres dfe bduiets des ofttés BC^
:Blà^NfcC| ba, âe»4eax boMB de la pile tronquée. Or • ,•
vABflps/î+ï»=w»> cA = ^ + »' = '»'; donc m — ii=m'^n'; eetle ri^Iatioa. donne le moyen d'élîminer une àfis quantités m'»
. Bourti<wT«rcoinUenIapiletronquéeafrr<{ABCD(^.io3i»), -oontient de boulets, on Caiit mT=^8> n=si5, m'raS, n'=:3^ dana la formule (4)^ ce qui donne .
/ . y=ioo— i4 = 86.
RssiàaQiTfi. Lorsque la base ABCD (^fig. io4 bis) est un carré ^ 7|i:?=n, n»^=i nV^^ P^^^ S^^l) est terminée par un seul boulet, car ^=2 711 — Fi=o, et là file EF (Jig* io3 bis) contient ^-f- 1 Ibôulcts; les formules (3) / (4) deyiennent
173. Tfià(m4m^ L0 produit de n nombres entiers consécutifs quelconques est divisible par le produit des nombres 1, 2, 3, 4,...]i* En effet, l'identité
{p^i)(p+'i)'"(H'n^'ij\p4'n) | / n-hp \ ^ Ip^i) (p^.^jp-hn^i) • I ... *»«|' {« — 1) • 1,.. \ « / I . a ... (« — i)
donne
