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H).(Hta)..,(g^-ri(H-")4(H-0(H>»K(H-'»^i) , p(H-')-fP-M-0 ' I , .. . a .^v '('»"tO ** I . a ... (/ï— i) X . a ... it
<lJl»l-«<i... •■ .'l'
\ Cette dernière dâmclntre queoi le produit de n— 1 npmbres entieci. eontéaUtifa p^r ht ^4- a, ..,, p^n-^i, e»t divisîUejpait l&ptodwtt d^..(ir-*L no^nlurei entiers 1 J o,. '. ., n— 1, le^qste de la ^i^Ûion de (p+0 (p+a):..». (p + ») par n XaX ••• X n sera le n^^Qie que cdut de.: la division de
P(p + • • • (P + « — par 1 X a X . • • X B ; c*est-à-dire que si la propriété énoncée convient à n — 1 facteurs , le reste ide la division du produit- d^ m- nombrâs . entiers consécutifs par 1 X a ... X n, ne changera p^s quand chaque facteur diminuera d'une unité ] le fiisteà^ la division ne changera donc pas>
( 171 ) lorsqu'on diminuera de p unités chacun des n facteurs p + \j p +2 , . . . , p+ n'y le produit i X 2 X ... X 'ï de ces nouveaux facteurs étant divisible par iXaX*** Xn^on voit que si la propriété énoncée est vraie pour tz *— 1 facteurs , €^e le sera également pour n facteurs ', or y elle convient à deux facteurs, car l'un de ces facteurs étant toujours un Bomlirepair , leur produit est divisible par 1 X 2> le principe est donc démontré.
Application de la Théorie des Progressions à la Solution de plusieurs questions qui s^y rapportent*
174. IPtoKiivB. Dbjix voiya^mT$ paient d'un même point et mof'chent^ l'un pendant 8 keares^ Pautre pendanl g heures. Lei^a pa^amru un kilomètre pendant laV heure, et o^^56 pendanî la dernière ; sa vitesse est telle , quetespace parcouru diminue par heure d'une iquantité constante. Le a' voyageur home sa carrière dans t étendue d^un chemin planté deSi .arbres-, à i**|3 de 'distance Tua' de Fcuttre, Le i*' de ces xirbres a servi de point de départ <:ommuu aux deux voyageurs , et le second voyagewr TnarchaiU avec une nitesee constante, se dirige de la munière suivante : U va ju&qu^u Si^ arbre £$ revient ^av^ pmni.de départ) it .parvient delà au. 3^ arbre , puis re\^ient de mmve^au fin 1"*; il arrive ainsi successivement à chaque arbrfi, ^ s^arrét^ enfin quand il est de rtttour au but d'oà il est paru. Ou de*mande leqnel des dxuas 'Voyageurs à parcouru le plus de di-* stanoei ^^^fueZ e&t éJté lesiappoH de leurs mt^stes ; m le premier voyageur eûtjiât sa route d'un inouvestent xUnifiirmte, ^(kk toemnaîtra ttxit le dicniiii ,parcpuiinu ^ar le i^*^ voyageur > en cKerchailt ht-s^Smine des tezwies d'urne progression aritbmé- %Qe, dent. lie i^'^^estim Mlomëtre,^ le deraier o^"'f56 e^ dont ie BûBBQare éeB tomes est ^.; la formule connue conduit pour l'expression de cette somme au^onpJbre 5^'";|M/a]a <544o-n]^^tresj telle est l'étendiie ide la route 'du premier voja^ur.
La route totale «du 2,^ voyageur se détermine avec 4a onéme facilité. En effet , .ce voyageur va au jsr* arbre et revient au i**"^
( 17^ ) il parcourt donc a fois i'",^ ou a"*,4. il parcourt ensuite à fois la distance du i*' arbre au 3", c'est-à-dire a*",4 plus a'",4, et comme l'espace qu'il parcourt augmente à chaque voyage , du double de la distance entre deux arbres , on yoit que la route totale du a? yojageur est exprimée par la somme des termes d'une progression arithmétique, dont le i*' terme est 2",4, dont la raison est 2'",4 , et dont le nombre des termes est 5o. Calculant cette somme, on trouve que le -second voyageur a parcouru 5o6o mètres en 9 heures; il parcourrait donc par heure le 9* de SoCo", ou 34o" • mais le i**^ voyageur a parcouru en 8 heures 544o"*^ conséquemment y s'il eût marché fivec une vitesse constante, il eût parcouru en une heure le 8* de 5440"^ ou 680 mètres. La vitesse du i** voyageur est donc à celle du 2*, comme 680 est à 34o, ou comme a est à 1. La vitesse uniforme du 2* voyageur est donc double de cdle du i*'. Les espaces parcourus par les deux voyageurs étant 544o"* et SoSo*", on voit que le i*' voyageur a parcouru 238o mètres de plua que le second.
175. PROBii3tf& Unepièce d'artillerie a reçu une charge et un degré d'inclinaison tels , que le boulet acquiert, en sortant, une vitesse égale à celle que conserverait un corps , ayant tombé librement de io5684 décimètres de hauteur, si après avoir parcouru cet espace, faction de la pesanteur venait à cesser d*agir sur lui , et qu'il continuât de se mouvoir uniformément* On suppose que le boulet néprouvaUt dé la part de l'air aur cune résistance , se dirige avec une vitesse uniforme , et qu'il met 5 secondes pour parvenir à son terme. Un cc^urri^ mar* chant dans la direction du boulet, part d*un point distant du lieu de la pièce d'artillerie de 1246 mètres , et parcourt 16 mètres dans la 1^* seconde , 32 mètres dans la a* , 64"* dahs la 3', et ainsi de suite en doublant» Jl s'arrête au bout de 6 secondes , et l'on met alors le feu à la pièce. On demande si le boulet peut atteindre le courrier.
' Pour réso udre ceproblème , je rappellerai plusieurs principes de Physique dont on aura besoin; savoir : %
« i*^. Qu'un corps abandonné à l'action de la pesanteur, dans
( 173 ) un millen non résistant ^ parcourt 49 décimltreâ pendant, k 1^ seconde de sa chute.
« n^. Que lorsqu'un corps pesa^nt est tombé pendant un I) nombre quelconque de secondes , la vitesse qu'il a acquise est ^ telle ^ que si la pesanteur cessait d'agir ^ il décrirait par chaque 9 seconde autant de fois g 8 décimètres qu'il s'est écoulé de » secondes.
» 3^ Que l'accélération acquise ^ pendant la chute > par les » corps soumis à l'action de la pesanteur , est exprimée par la •» progression des nombres impairs 1^395^7, etc.... »
Pour appliquer ces principes à la détermination de la longueur du chemin que doit franchir le boulet en 5 secondes , je commencerai par chercher combien il faut de secondes à un corps pour tomber d'une hauteur égale à io3684 décimètres, et le 5* des principes ci-dessus, fournira l'équation
103684= 49(i+3+5+7+..-.etc.), ou !2ii6 = i+3+5+etc.
La progression arithmétique qui forme le second membre, contient autant de termes que le corps dont il s'agît a mis de secondes dans sa chute \ il est donc utile de chercher quel est le nombre des termes de cette progression ; en représentant ce nombre par n, l'équation précédente peut recevoir cette forme
L'eitraction de la racine carrée conduit à 7i=46; ainsi le corps a employé 46 secondes pour descendre de io3684 décimètres.
D'après les conditions du problème, et en yertu du â* principe rapporté, la vitesse initiale du boulet pendant la 1'* seconde, sera 46 X 9%8 = 45o"*,8; et l'esj^ace total qu'il aura parcouru pendant 5 secondes, sera 5 fois 45o"*,8 ou 2â54"*.
Il reste maintenant à déterminer le chemin fait par le courrier pendant 6 secondes de marche \ d'après l'énoncé , ce chemin est exprimé par la somme des termes d'une progression géométrique dont le \^ terme est 16 mètres, dont la raison est 3,
et ilontle nombre des termes est 6. En calculant cette somme ^ on trouve 1008 mètres. Si l'on ajoute h oe résultat^ le nombre 12(46"* qui exprime la distance du point :)e départ du oourner k la pièce d'artillerie > on aura pour somme aQ54 mètres.
On Toit donc que le courrier ne peut pas être atteint par le boulet, car à l'instant où l'on tire la pièce , leoourier est déjà arrivé au point 0& le boulet doit s^ arrêter.
1 j6, Probl^mce. Trois mobiles partent en même temps cHan même point dune circonférence ; ils la parcourent dans le même sens avec des vitesses coristantes , V, v*, t^ ; la longueur de la circonférence est c Jl s'agit de troui^r les renconires de ces mobiles deux à deux , et trois à trois. On suppose v" > v^
On prendra Pheure pour unité de temps ; de sorte que les nombres d'unités d'espace , parcourues en une heure par les mobiles , seront respectivement v', v' et v" . Pour que deul mobiles se rencontrent , il suffit et iriant que la distance parcourue par l'un de ces mobiles > soit égale h celle que l'autre mobile a parcourue pendant le même temps, augmentée d'un nombre exact de circonférences. Cela posé : si après ^ heures de marcbe , les deux premiers mobiles se trouvent sur un même point de la circonférence, les npmbres d'unités d'espaces qu'ils auront parcourues seront v'y , v"y, et n désignant un nombre entier positif quelconque, on aura
v"j^ = v'^ 4- ne j d'où (1)...^ =
ne
Donnant successivement k n les valeurs 1 , s , 3 , 4 ^ etc.', les * -^eurs correspondanftes de y «sprimer^nt dans combien d'unités de temps le a* mobile rencentrera le i**' mt^bile , ^w la i*^* fois , ou pour la a* fois , etc.
Par une raison sen&Uble , %e 3* mobrle aura rencontré »' féis
le 1** mobile, dans -5 -, heures , et le 3* mobile aura ren-
contré n" foi* le 2* mobile , dans -^ 5 heures.; désignant ces
nombres d*heuree , par z et t^ on aura
(i) . . . y = -JT- -^^> W • • • *= <r ' ; , (3) . . , e =r -3, j^.
Pour obtenir les rencontres des mobiles deUx à deux , il suffît de donner succfessivement aux indéterminées », n, n*, les valeurs I , â > 3 , 4 , etc.
Les rencontres des mobiles trois à trois > se déduisent de ce qui précède. En effet, le a* mobile rencontre le i*' après y heures, et lé 5* rencontre le premier après z heures. Par conséquent, pour (Jue lés trois mobiles se trouTcnt sur un même point de la circonférence , il suffît et il faut que les valeurs ( 1 ), (2) de j' et a , soient ég^es. La question est ainsi réduite à ' calcalei: lés valeurs entières positives des indéterminées n ,n^ , qui satisfont à l'équation
ne n'c „ ^ 71 v" — /
d on (4) ... -7 = *ii j.
liorsque les valeurs numériques des vitesses v' , v'', v^, seront données , on réduira la fraction «^ , à sa plus simple ex-
pression ;.; « et /9 seront des nombres entiers positifs, et toutes
les solutions entières positives de l'équo^îon (4) se déduiront dû formules 7i=r:«6, 7i^ = Ce, en donnant successivement & e les valeuts 1 , 2, 3, etc. Le nombre d'heures «écoulées «lepuis Knstaiît du départ des trois mobiles jusqu'au moment oii ils se retrouvent sur un même point dé la cireonférence , e^t exprimé
par l'une quelconque des quJEoitités égales -^ — ^ , ^ 7; désignant ce nombre dTieures para:, et remplaçant les indéterminées n fit' , -psUr léiirh Valeurs générales «e, Ce , on aura
etce '€ce
Les mobHes se seront donc rencontrés e ^s, trois i trois ,
( 176 ) dans -5 > heures j les.Taleilrs correspondantes dey et z étâtit
y = -5 ;•, 2 = -5 ,f on Toit que pendant ce temps ^ le
a* mobile aura rencontré me fois le i*' , et le 3* aura rencontré Se fois le 1*'. Il est facile d'en concluife que le 3* mobile aura rencontré (ff— «)« fois le 2*^ car les relations (5) donnent
{v' — v')a:= flice, (v*— i/)a:==fcej d'où
(ff — a) «c
(v* — v") a; =(C — et) ecy x =
et la comparaison de cette valeur de x arec la râleur (3) de / ^
démontre la propriété énoncée. Ainsi , après -^ y heures , le
a* mobile aura rencontré ae fois le 1*' mobile y le 3* mobile aura
rencontré Qe fois le 1*' mobile, le 3* mobile aura rencontré
(?— - «)e fois le a* mobile, et les mobiles se seront rencontrés
e fois trois à trois : e désigne un nombre entier positif quel*
conque; 3 est la valeur de la fraction -5— -7 , réduite à sa plus ^ simple expression , et on a
ace , Cce (tf — # )ec
ExBMPUB. Une montre marque les heures j les minutes et les secondes ; les trois aiguilles sont sur la douzième heure; il s agit de trouver les rencontres deux à deux et trois dirois de ces aiguilles. Le cadran est divisé en 60 parties égales; pends^nt une heure, les aiguilles parcourent respectivement 5, Go et 36oode ces divisions; on a donc
i/ = 5, i/" = 60 , v*=36oo, c = 60; d'où
v" — sf 55 11 « M cm
Ainsi ^ la première rencontre des trois aiguilles aura heu
( Ï77 ) ■ (|ans 12 heures ; l'aiguille des minutes aura renconti^ 1 1 fois odle àes heures ^ PaiguOle des secondes aura rencontré 71g fois celles des heures, et l'aiguille des mipulies ^ura reo^^ntré 708 fois celle des secondes.
177. Pboblèmb. ffficchus trouva SyJène e^ndwnm près xfun tonneau plein de vin , et boit pendant les trois cinqjiièmes du iemps que Sylène aurait employé à vider le tonneau. Sylène Réveille et boit le reste du viiu Si Bacchus et Sylène eussent bu ensemble, le tonneau eût été vidé slt heures plus tôt, et Bacchus riaurcdi bu que les deux tiers- de ce quHl a laissé à Sylène. On demai^d^ jcombien il faudrait àiheuM. à chaaisn d'eux en particulier , pour vider le tonneau,
I^apr^ cet énoncé :
1**. Si l'on diminue de six heures , le temps empl<>jré par Bacchus et Sylëne pour yider le tonneau lorsqu'ils boireiit successiTementy le reste doit; être, égsj >aa «temps qu'ils ni^traiânt à yider ensemhle le tonneau.
^é Si Bacchu^ «t Sylënè eusseiïl feu enaemblç, la quantité de >ïnbue par Bacchus eât été égale aux. deux, tiers de ce que Bacchus a laissé à Sjlëne. * ;...
On obtiendra donc les deux équations du problème ^ en calculant Icft «pisvtrea^uantités- ^i entreiilTdans bes deiîi conditions. Ou supposera que le4o|ineau.cotitieRt «6. litres de y in, que Bacchus yide le tonneau en x heures et' Sylëne ^ 5y' l\çurfs;
et
pe^d^^jt wmteiii^i TiatsfàktahfÂveLÛttaM ^til»es et Sylène boira
v- litres- Or , Bacchus boit pendant les -^ de 5y heures , ou 3y •^ 1 »
houyes-; ^'^^^ ^i^ctçtf , pendanl ce temps , ,3y fois - lÀres, ou
litt^.' Cherdh<ms-eik conibien de temps Stlenié, a^jbi^<>e.reslê, il.boit.ft lMl]|ÇS Wi?y3WfHft*^i5'wf-èn*ïe iialîtt»i«ft**«3«*»fti^9
X X ÛL
la
•ti em -i2. (x — * 3 y) heures. De sorte que Bacchus et Sjlène
5y ajant bu suocessiTement, ont Tidé le tonneau en 3y+-^ (x — 3y)
heures, c'ert-è-dire, en <- (8**- i5y) heui'es.' ' ''
tox*— layj neures.
lissent bu ense^I
- -f- «S*- Utres^'Ou -^-^ *^ Ktres , en une betire • c?ést-à-dîre
«(x-4-Sy) Iitre$ en 5xjr heures , et par oonféqueipj^t lç»^fi'litr0& contenus dans. W' tonneau ei ■■■ * ? ' ^ heures; la tiôrtn^n dé tïn
bue par Bacchus pendant ce temps , eût été '" ,7^ ifotèf -litres,
x^-(-5y • jp o^
ou — r»^7r- litres. ' ,
Les équatkms du problème sont donc
elles se réduisent à
(i) f . , !;t§4:y* -^7ft>r^rft 5ap?y^eii:*^ Jory =» o ,
La natûfe dé la question actuelle exigeant que j^ et ^ soient positifs, on rejettera les valeurs néf^tivesi de ces inconnues ; ce' qui conduira au calcul suiyant : l'équation (a) donne
Il , / 121 , , a . 11 , 10 a
• La-subslitiition de «ette talêur'- dej^ dans l'équation (i) conduit à x=: 1$; d^où y ;= a ^t 5y = lo. Ainsi ^^aq^usMTaat seul eut Tidele tonneau en 1 5 heures, et Sjlène en lo heures» Ces ^tfHWbreis ^wtiafoiit :à tovAes les ^csolldiCions; du problèmer. En
effet, Badsiius t|rouiFe.$jlène endc^riyiijqt Jboil pendant les t. de
( *79 ) . io iieures, ou 6 heures; or, en une heure il boit ^ du
tonneau; il a donc bu pendant 6 heures les —, ou les
- du tonneau ; il laisse donc les -= du tonneau à Sylène -, Sy-
lene s'éveille , et boit le reste pendant lés ^ des lo heures qu'il
mettrait a rider tout le tonneau, c'est-à-dire en 6 heures r de sorte que Bacchus et Sylène buvant successivement , ont mis 1:2 heures à yider le tonneau. Si Bacchus et Sylène eussent bu
éttsemUe, ila auraJent vidé , d^isùne heiure , ~r 4- — ou 7^ ,
du tonneau, et pir conséquent le toniieau en 6 heurea,, c'estrà-
dîre en six heures de moins que s'ils eussent bu successivement.
Pendant six heures y Bacchus «ût bu les ~ du tonneau ; b'est
en effet les -= des -z du tonneau qu'il avait laissés à Silène.
178. pROBLiiGB. Former la longueur du icètrs en plaçant des pièces d'oir de;ûo francs et "de ^çTfràhcs les unes à la suite des autres.
gueùrs des diamètres de ces pièces devra être égale à 1000 milli* • mètres; il suffît donc de chercher les valeurs entières de x et y, qui sati^nt.à féqtiation aiaî + ^jr^i* lôoo: elles dépendent des formules -; ;... :, , ». ; ;,,j;. , .jr*);
a; = 26e — aoo, j^ = 200 — 21e,
et comme e, x ély y doivent être des nombres entiers positife, on ne peut taire .q\^e e=8 , d'.^ù .jç ;?:. a^ jy!=3a ; et e=9,d'oii 07=34, y= 11. Pair^fî9i^*iewl/ BOi«rj'*w^j»er.Jf longueur du mètre avec le plus petit nopibre possiblç de pièces de ao^ et de 4o', il faut prendre 8 pièces dé 26^ et 32 pièces de 4o^ La 2* solution fournit le moyen de composer la longueur du mètre avec la plus petite somme possible.
( iSo )
Rbmarqus. Lorsqu'on assigne d'autres valeurs entières à e, une des inconnues x , y , devient n^ative ; ce qui indique qu'on peut obtenir la longueur du mètre en portant d'abord des pièces de 20^ ou de 4o' dans un sens, et en reportant des pièces de 4o^ ou de ao^ en sens iuverse* Par exemple) ê^stio donnaAt a:=6o, y:= — 10, on met 60 pièces. de 20^ les unes k la suite des autres i on porte to pièixs de 4o^ ea sens înwse en revenant de la dernière pièce de ao^ vers la première > la distance de la dernière pièce de 4o' à la i" pièce de 20' est 1000 millimètres ou un mètre.
17g. PaoBLiMSé Déterminer un nombre entier JS, qui soit égal à la somme de ses diuiseurs {(m fait abstnaetion du diviêêur 19).
Un nombre premier ne saurait jouir de la propriété 46mapr dée^.car la somme de ses diviseurs est égale à Punité. On chercbera donc si N peut être de la forme «"^X^y « et C désignant des nombre» premiers. Le nambre «e.*x6 devint être égal à h somme de ses diviseurs , on a
«« X ff = (i 4- -+*»+. .. + «*") X (i + C>— ^<\
d'où
ff=
Or^ C doit être un nombre entier ; cette condition exige que le dénominateur soit funîté; car autrement , lé reste de la di^i- :sion du numérateur de C, par le dénominateur | serait «•«.,
2(1 4-«+«*Hh •••+•"*"*)> et m étant positif, ce res^ oe se réduirait pas à zéro ; il faut donc que
Or, cette équation revient à
#"*— r ^~^' )=i> ou à (*«— 1) («— 2)=:o.
a devant être plus grand que l'unité, on' ne peut admettre ^ue k valeuff Hh ^ ^ '^ V^e ^i™^
et pooTTU que les nombres m, 6, soient premiers , cette valeur de IT jouira de la propriété demandée.
Ainsi; on fait la somme des nombres i ,^f â% a', etc., jus*' qj/A ce qu^on obtienne une somm£ qui soit un nombre premier ; on mMikiplie cette somme par ta dernière puissance de a à laquelle on s^est arrêté; le produit satisfait à la question.
On en déduit que les valeurs de N sont 6, â8 , 496 , etc.; ces nottbreflFCHt reçu le nom de nombres parfaits.
Sur ht Théorie générale des Pofynomes et des
Equations algébriques.
<i^ La pro|^iété fOodamoitale de oottâ théorie consiste en ee^e toiête équation f(&)txo a une racine; «festià^ire quHI existe toujours xme expression réelle où imaginaire de x qui 9 sttb^titiiée à l'inconnue $i , rend l'équation identique. Cette proposition a été long^temps regardée comme évidente ; M. Cauchy en a donné une démonstration que nous allons fairç connaître, et qui a l'avantage de prouver en outre que toutes hs racims imaginaires des équations algébriques sont de la forme
aàib]/ — l 'yC et b désignant des quantités réelles. Nous commencerons par faire observer que toute expression
imaginaire de la forme adib ^— 1 peut se mettre sous la forme
dtl/^sinl);
il suffira pour cela que Ton ait
a = ç cos • , ô = ^ sin G ; d'où l'on ti|-Q
^• = a* + &% cos^ = — : j sin* =
ya^ + 6* \/a' + b""
On peut donc toujours déterminer ^ et ^ en valeurs réelles dr manière à opérer la transformation ci-dessus indiquée.
On pourra donc facilement élever toute expression^ de la
forme a dzby — i à des puissances entières ou fractionnaires, positives ou négatives, réelles ou imaginaires^ il suffira, d'japrës ce que nous avons vu (n® 1 3Q) , de multiplier l'arc 8 par le degré delà puiss£^nçe, puis d'élever le facteur réel ^ à la même puissance.
18 1. TnéoBÈMB. Quelles que soient les valeurs réelles ou les valeurs imaginaires des constantes à^, Ci , . . . , a»^i , a» ^ l'équation
* (i). . .aoX' + aior"'"* + • •• + ûh«.iX -f- û» = o^;
dans laquelle n désigne un nombre entier égal ou supérieur à t unité ^ a toujours des racines réelles ou imaginaires,
Di^MONSTRATiON. Désîgnons, pour abréger, par /*(«) le premier membre de Véquation (i) ; f(x) sera une fonction réelle ou imaginaire, mais toujours entière, de la variable x; et, puisque toute expression réelle u se trottye comprise comme
cas particulier dans une expression imaginaire u+vv — ^r îl suffira, pour établir le théorème énoncé, de démontrer généralement qu'on peut satisfaire à l'équation
0).../(x)=o, en prenant
pais attribuant aux nouvelles variables u et t^ des valeurs réelles. Or, si l'on substitue la Valeur précédente de x dans la fonctioa f(x) y le résultat sera de la forme
♦ ("> ^)> ;k("> ^y désignant deux fonctions réelles et entières des variables u et v. Gela posé , l'équatioti (1 ) deviendra
et, pour y satisfaire, il suffira de vérifier les deux équations
réelles
ou, ce qui rerient au mé^ne, Féqiuition unique
Donc , si l'on pose pour plus de commodité
(4) . . . F (u , V) = [^(u , V)]* + Dk(" , v)]S
il restnri^ seulement à montrer que l'on peut obtenir des valeurs réelles de u et de v propres à faire éranouir la fonction
On y parviendra sans peine à Taîde dés considérations suivantes :
D'abord^ potor déterminer la valeur générale de la fonction
^(j^f ^)y on Ireprésentera chacune des constantes réelles ou îma-
gmanres Oo 9 ai, • . . , a,, , «„ , ainsi qxie la variable imaginaire
""h^'K — ïj par le produit *d*un module et d'une expression réduite; et l'on écrira en conséquence
t <i» = f4»(co8 0«*f- V/— ismfl«), avsspi(co8^i-if. V/-4 fiinfit)...
(6)...u-f V |/— 7==r(cos<+l/^sînO.
On aura par suite
-h f,-., r [cof (« -f-0«-i) +1/^ fînCt + 8»-.i)] -f- fn (cm 0i( +V/^ sin 0») ;
et l'on en déduira
f^(tt,j*) = ^*i^cos{n<-fe.)4*fiî»-" coi(/i— ï . «4-0,)4.... 7 ... -f-p«- 1^*008 (t-f.d«.i)-f- f»eos6«,
|;fc(a,i/) rsf fùf »\n(nt -h Bo) -j» fir^* 8in(n — i . t.-|«|,) -f ...
p/^ j,x /f»»* co»(/it+So) -4-^,1*-» co»(ii—i . 14.00 + - î*
. rfor»slo(itf-f*â#)-f*pi r»-» 8ia(ii— X. t-f-0O+ ...l* C -f* fi»-i r sin (t -f- ô«-j) -f-f» «n O* J
'■+• etc.
Il résulte de tette dernière fontttile que la fonttion F(u,v),
toujours évidemment positite , est le ]»t)âiiit de deax fticteors,
dont l'un ^savoir
croîtra indéfiniment si Fon attribue aux Tariables zi ^ v ou à Tune d'eUes^oIement do» valeurs nvttériftoes de plus eh plus grandes, tandis cpe l'antre %)ieur eofrverlera dass la même h jpotb^se vers 1^ limite ^9% o'est^à-di^ yer» Âne limite finie difl)Srente de fséro. On en «enclora quiB ]h fonction F(uyv) ne pe«t eonserrer une valçur finie qu'autant} que les deun quantités Ufif reçoiyent éUes-mémes des yaleurs de cette espëée^ et denént infiniment grande des que l'une des deux quantités croît indéfinimc^ De plns^ comilie Téquation (4) donne pour F(iyV)p une fonction entière, et par conséquent unfe fonction continue dtf tariables ù et v, il est clair que F(u, v) , cariant avec elles par degr^ iinsensîblos, et ne pouyant s^libaièsef au-^diBssous de zérO; atteindra une ou plusieurs fois une certaine limite ii^fép rieure qu'eUe ne dépassera jamais. Représentons par ^ cette limite , et par thjir^ un des éjrstèmes de yaleurs finies de zm^ de v, pour lesquels F(»> v) te! i^uit à A ^ en sorte qu'on ait Identiquement,
(ia)..'*F(ttoiVo)iâ=A.
lia différence F(u , v) —F (u^^ Vo) ne s'abaissera jamais au-dessous de zéro ^ par conséquent , si l'on fait
{(désignant une quantité infiniment petite 1 et h, k deux quan-
tités finies, l'expresnôn
ne sera jamais négatiye. En partant de ce principe; il sera facile de déterminer la râleur de la constante A; ainsi ^u'on Ta le faire Toir.
Si dans l'expression imaginaire ^(u+vv—i) on substitue pour B et V leurs yaleurs données par les formules (l i); cette expression y devenant alon une fonction imaginaire et entière
du produit
pourra être développée suivant les puissances entières et ascendantes de ce même produit. En désignant par
ECcosT-f V/— 1 sînT), R,(cosT, + v/— -i sinT,), , Rn (cos T„ + l/^ sin T.) ,
les cœffîciens Imaginaires de ces puissances dont quelques-uns peuvent se réduire à zéro, et faisant pour plus de commodité
(12). . .* + A t/^ î=^ f (cos + V^^ sîn«), on obtiendra l'équation
-►**R, p[c<»(T, -f « H- V^ iwi (T, 4- 6)5 -f. *^ . ..... ^.A'R'f^CcwtT. 4-n«)-^.^/^sln (T. 4- «0)],
dans laquelle les termes du second membre, et par conséquent les modules
*ky Rl| .'.•*, Ri»
ne sauraient s^évanouir tous en même temps* Comme on aura d'ailleurs
^^^ ^ / /["o -h ** + (f^ + *A) i/ri]
on conclura de l'équation (i3)
!^(Mo + «^,ï'.4-**)=RcofT-#-#R,^coi(T,-fl)*f ... +*-Rpp-co8(T. + ii«), ;t(tt»-f «A, i/p + «dl) = R sin T-f.*R,^ 8W(T, -f- fl)4" . .. +*»R-p» ira (T« + /ie);
et par suite
= [RcosT+«R,p cos(T, -M)-h... -l-««R«f"co« (T.-f-iifl)> + [RsinT-f «R,psîn(T, 4-ô) + ...-f-«»R«/»» sîn (T. + nfl)]»
Si dans cette dernière formule on pose «==o, on en tirera
Donc R*c=A, R=A*.
Si maintenant on développe le second membre de l'équation (16) suivant les puissances descendantes de R, et que l'on j
remplace ensuite R par A^ y cette équation deviendra
(17). . .FCll^-f-itA, «^0+ «*)
5=A + «A»«^rR,c08(T.— T-|-fl)-|....-f- «—'/»"-« RvCOf(T»—ï-f-n*)] -i . • / rRt cos(T, -4-0)4-. ..4.*»-«f»-'R« rosfT« + w0)l«î ■*"•' '• '^ "( + |T^ , ait, (T. + 8) H- ... 4- *— ' />— R« «m (T. +■ nfl)]» f '
et'y si l'on fait passer dans le premier membre la quantité A=:F(Uo, O , on trouvera définitivement
(18). . .F(iio + «A, i'. -4- «A) — F(tto, •'.)
= aA* «/>tR, C08 (T. — T-f fl) + ... -f *■-• f.'»-' R. cos (T. — TH- nS)1
^ ^ 5 l1^t«>8iTfl-9)-l-...-h*»-V"*"R»co8(T.-f-«8)]«J + * /»' X î^[R,8in(r,-«-9)4....4.«— •^•^«R„8În(T. + ne)]*5*
Gela posé , puisque la différepee
F Czi« + «'i , Vo + *A) — F {uo , Vo)
ne doit jamais s'abaisser au-dessous de la limite zéro^ il faudra de toute nécessité que , pour de très petites valeurs numériques de ce 9 le second membre de l'équation précédente > et par suite le premier terme de ce second membre > c'est-à-dirè le terme qui renferme la plus petite puissance de m y ne puisse devenir négatif. Or, en désignant par R» la première des quantités
Ri ? R»» R»?
( 187. > qui obtien* une Tale^^ différente de zéro^oQ trouTCriL pour le terme dont il s'agit
'2 A* ««p^» CCS (T„ — T + m9)
si A n'est pas nul , et v .
dans l'hypothèse contraiire. De plus, comme la valeur Aè l'arc # ' étant lofut-4-fait indéterminée, on peut en disposer de manière
à donner au facteur
cos(T« — T + mfl),
et par coi:iséquent, au produit
tel signe que l'on Toudra, il est clair cpie la seconde hypothèic reste seule admissible. On aura donc nécessairement
(i9)...A = o; ce qui réduira l'équation (10) à
(ao)...F(tto>«'c) = o-
Il en résulte que la fonction F(«, v) s'évanouira si l'on attribue aux variables u, v les valeurs réeUes i/o, ^or et par suite que l'on vérifiera l'équation
en prenant
En d'autres termes , Up + Vo \/^ sera une racine de l'équation (i).,.a^4-aiX'«-'4- ..• +an^iX + an = o.
Coaoi;laire. Si a -f-b V^ — 1 est racine d'une équation f (x)=o, 4 cùefficif^s réels , à— b ï/— t le sera aussi.
En effet, soîtP+Qt/ — i le résultat de la substitution de
O'^b V^-*i kx dans le premier membre de Féqoation, il faudra qu'on ait séparément P=o, Qa= o, Qr les termes de Q
né pourront provenir que des puissances impaires de by — i et changeront de signe avec b ; tandis que P ne renfenbant b qu'à des puissances paires , restera le méme^ quelque soit le signe
de b } la substitution de a*- b |/— i ix donnera* donc pour
résulUt P— Q \/^^f et P— Q V^^ est égal à téta , patBqve
P et Q sont réduits à zéro. Donc a — b |/^^satîsfera à l'éqtiation.
182. TnioBiME. TotUpoiynome de degré pair, à coefficiens réels y peut être décomposé en facteurs réels du second degré.
En effets les racines imaginaires sont en nombre pair ^ et par
couples de la forme a'±ib V'^x, qui donnent toujours deux facteurs X— a— ô |/—i et a: — tt + 6|/ — 1 dont le produit est ( x*-^ û )*4* fr*« Quant au!t racines réelles , qui aerotti aussi en nombre paif , elles fourniront cliaetiiie un facteur réel du premier degré ^ et le premier membre de Téquation pourra par conséquent être décomposé en facteurs réels du second degré.
En faisant c + 6 V^t i = C (cos 9 + l/— 1 sini ) , on aura
Tçlle est la forme sous laquelle pourront se mettra tous leé facteurs du second degré relatifs à deux racines imaginaires conjuguées.
i83. On sait qu/e tout polynôme du degré m est égal au produit de m facteurs du premier degrés multiplié par le coefficient dupremier terme \ etde plusqu'iln*y a qiCiineseuI» maiûèred'opé-' rer cette décomposition : de sorte qu'une équation du degré m. a toujours wi racines ^ jamais davantage.
Cela posé^ deux polynômes entiers du degré. m sont nécessairement identiques lorsqu'ils sont égaux entre eux pour, plus de m valeurs de la lettre ordonnatrice; car, soient ^(x) et ^(x)
089 ) ces deux polynômes y on doit avoir F ( jc ) =:; ^(x) pour un nombre de valeurs de x supérieur au degré de cette é<jnation , ce qui ne peut avoir lieu si les termes ne se détruisent pas identiquement.
i84. PnoBLJkBOU Former un polynôme enfier du degré m, connaissant ses m racines , etla valeur quil obtient quand on
Soit u ce polynôme ; soient x i , x» , 1:3 ^ ... , Xm ses m racines , et Uo la valeur de u pour 0^=2X0. Le polynôme cherché devant être divisiUepar chacun des m binômes x—Xi , x— «x» > . . . , x— Xm^ sera de la forme
U=> A(X — Xj )(x — X»)(x— X3). , .(x— Xm).
Pour déterminer A 9 faisons x=XQ^nou^ aurons i/p=;A(4E:o*-*J^i)(aro — a:»)(Xo— xj) ... (Xa— x»);
d'où A = / "'' ".::"xV ' ;:"" ^w-.,»"" ^ ' \ '* ' 7j>^' " \ > -
(Xo — Xi) (Xo — X»}^X. — Xs) ... . ÇXo— Xm)
et par suite
'Y «J^o~^ ^1 j \ Xo *"" x^ y * * * \ ^o *"* ^"t /
i85. PnoBLfaf^ Former un polynôme entier du degré m, connaissant les m-i^i valeurs quil prend quand on donne successivement (à x Usra.-^^xvtdeurs > Xç^Xt, ^«, . . . ^x..
Soit ucepoIj^piomiEî>^tw»Aî^r«^»'««>«misesm+i valeurs connues. Nous avons trouvé (n*^ i84) la forme d'un polynopie èm degiré ivt^i se réduîsatt & une valeur donnée Uç^ pour mzstiXtyy et qui devenait nul pour toutes tes valeurs X) , x^ ^ Xi^y 1 . V y «W" EiVMBtt lésôudrons dont? lU question en faisant la somme de m-{- 1 polynômes de celte forme qui se réduisent impMlvfegieçt kUof^i y tt^y^i, ... y Um y pouT cliacune dea( m «4^ i^miia^î^^x el qui deviennent liuls poigr les m au-
très; il 6n résultera
(arib— xj (a:o— JC. ) . . . (a:^— x„)
(f »~'^« ) (^t— a:» ) (x, — jTs ). . . (a:,--x„)
Cette somme formant un polynôme du d^é m en x/qui pour les yaleurs a:,, x., . . . ,^j^, attribuées à x^acsquiert les m + i valeurs données i«o, Wi/- • • i «m /satisfit aux conditions demandées et est le seul c[ui puisse y satisfaire, puisque deux polynômes entiers sopt identiques quand ils sont égaux pour im nombre de valeurs d[x supérieur à leu» degré. »,
ai Fon change u en m — a , à désignant ^ une constante quelconque, il suffira de changer u^, m., m., ...,«„ en u^—a, 1*1— a, ^ . . , «,« — a, car si, la substitution de x^ donne
«=:ii«,enerendi'àu — a=i^«—ajon aura alors la formule
suivante:
,c. • «1 . • •• , ; Vf 'T' I' • « ^ » « * r"*r'. .< 1
;;;Çtte,f6rmule.4;çUfé^^^
profiter de la çon^tanl^a çowr.^aire.dispawîfre U« tenue du se-
des Taleursuo, «.,..,.,«„.. , . : ,,.,
.,'5>' !î*l?^^ '?'^ >«"Wt d^teminer »n potyiwme du. 'pire^ mier degré eti ^,,,<,Hi « rédui^'t respectiTemeat à u. et «.. pour les Taleu^s x„ x. de xj on ferait a=«. , dans la dernière
formule ^ et on aurait
Ui — Mo , V
U — Mp=-; (X — Xo).
*Vi "7" Xo
Si tt et 0? désignent l'ordonnée et l'abscisse d'un même p^t > cette équation sera celle* de U droite qui pasisera par les deux points x^ ,UoetXi,Ui, .
i86. Thêobehs. Soient Xo^ Xi^ , . • i x. un nombre m-^* ^ ^ valeurs dxy à chacune desqyslles correspondent n-f-i valeurs d^y qui peuvent varier d^une valeur dxà t autre /. si deuxfonc^ tiens entières, du degré m en -x,, et du degré n enj, deviennent égales. pour toutes 4fes valeurs yTx et éj, elles seront identiquement^égaie^ En effets soicfnt' les deux fonctions F(a?y y)^ ç{x,y) .-fies deux fonctions F (a:© ^y) > ^i^o^y)} dievenant* égales pour n-f- 1 valeurs de y y seront égales^ qufsl que soit j^ , d'après 1^ 4^ théorèmes précédens. Semblablement ¥{xi,y) ^ 9(^1 sy) seront' égales qud que soit j^ , et ainsi de suite jusqu'à F(arm,y) et fix^y)* On aura ainsi (m+i) égalités dans lesquelles on (peut supposer que l'tm.dcmne à^ une même Talenr arbitraire *, d'où il suit que> quçl fpfi soit y, les fonctions ^(^^y) ^ ♦(^^y) sont égales pour m+i valeurs de a?; donc enfiiinéires'sént égal'e'^ ^èï què>ôît x , et' par suite les deux fenoèons^ F(x,jf), Xa:',y) àont^ égalés ç(uels ^e "soient
xeiy: '' "'■ ■■■' ' . -î :^- • -^ • ''''-'.' '■'', ■''':;■
187.; GbifoiiLiâiau irsaii'de'l^' que deux ibnctions éntîesres sontégdes identi^ement^' lorsqu'elles deviennent égales pour des valeurs entières "quelconques de ces variisLbJes ; ou seulement pour loqjtës lé&valeiirs ëùtiiirès qui surpassent une limite donnée»
On en peut dire autant d^s fbnbtions d'une seule variable.
188. P&o^tiMS. fformufL^ne fonction tntièfe At degré m en xet du degré n eny, connaissant 1^ valeurs ^particulières quleUe reçoit lorsqu*en prenant pour x Pune des valeurs de la
suite ..;••- ■ ) ■ -■ ' ■
on prend en même ïemifiiipbur y luke ijuétconque & n -|- 1 l^aleurs données y quichangentd^unevakur'd^xà Vautre.
( «9^ ) Si dans la formule trouyée (page 190), pour le cas d'une seule Tariable , on remplace u par F{x, y^,on trouvera
, (J — Xo)(x — x,)...(x— x^^O ^^ .
V«3î'n»— Xp J V^m ~ Xi } • . . (Xm — Xm^i )
Et si Ppn désigna par p ua ii9in)»P<s WΫer quelconque audessous^ 7^4» 1 , et par j?oi jTt > J'» • . .jf» 1^ ii-4- ^ Vadeun d'y oorri^spo^dan^es i x^», on aura senpdililldmieiit . .
0> vj / ^
; Cette dernière fprmule fera ço^çi9|tc,e s»cces^ym^^ .}t^jft^ leurs de F (xp ^ y), . . ; . , F(x^, j.),^ en donn^ à f .les.Rfto»^ successiyeff 0,1,2, . . . , m ; et lès' reporUnt dans l'ayaii^ 4^ ^}fj^^, *î!***j^^ ^, J^ cpni^aîtra la foftçtiqn dfnw}4§a Jg'.f^ >50-
..*/'' ^^,''^'* ^^ ^?,?^% manièrç flo^F.ks fwçtwftf H^m ^^m
bré quelconque dç yariabljçs. ... . ,,
^'t^usaDoris offrir ^q^^^^^ ' .
