rt-*-a

yCy— OÇy— a) ...(y— y+ .i) -

Egalant cette somme au nombre total des oombinaisons des ^4" y lettres n à n, et chassant le dénominateur, on aura le «léveloppement demandé

( igO

Cette égalité ayant lieu pour toutes lef râleurs entières de X et j^ supérieures à n^ aura lieu quels que soient x et y*

1^ GoROxxAiR£. Si Ton remplace x par — x ety par -^y> la formule précédente devient

=x(aî+i) ... {x + n — i) •+--x(x-}-0'*'(^+'*"~^):y SL* CoRGiXAiss. Si l'on remplace dans la même formule^ x eXy

par T > T 9 elle deyiendra^ après aToir chassé les dénominateurs y

{x-{ry){x+y—k)(x+y—2k)...{x+y—nk+k)

5=:x(x— ft)...(x-fi— nft+A)4- -x(x — A). . . (x — /ïft + 2A)jf

k pouvant être un nombre quelconque entier ou fractionnaire, positif ou négatif.

3*GoROLLArBB. Si dans la même formule on égale dans lesîdeux membres les termes du degré n par rapport à x et ^ à la fois, on obtiendra le développement de la puissance n du binôme X -f- j^ , et on trouvera

(x+y)"=a:»+ nx^-'y + ^JZ2l a;"-y + ... -f. j,»

190. On suivrait la même marche pour développer le produit des n facteurs

(x+j + ;s..O,(^+J^+z.... — 0,...,(x+j + ... — ri + i), au moyen des produits

z{z — i) , .,Çz — n -f- 1) ,

et Fon en déduirait semblablement le développement de.

Sur la recherche des Équations {f après des relations connues entre leurs racines et les racines c^ Equations données.

Nous supposerons d'aborcfque les racines de l'équation cherchée ne soient^lices respectiTcment qu'avec une des racines de l'équation donnée , puis avec deux y trois y et enfin avec un nombre quelconque d'entre elles ; de là résulteront les problèmes suivans ;

191. PROBt£MS. Trouver une équation à une seule inconnue^ jf qui soit telle y que ses racines soient liées àchacune de celles de t équation donnée F (il) = , par la relation ^ (x , y) =i: o.

La question revient à trouver une équation qui ait pour racines toutes les valeurs d'y que l'on obtiendrait en remplaçant dans ^{pc y y)^=zOy l'inconnue x par les difiPérentes racines de F {x) = o. Il ne s'agit donc que de trouver , d'après la théorie connue de l'élimination y l'équation finale en j^ ^ résultant de Féliminâtion de x entre les deux équations

F(a7) = o, ip{x,y)=zo.

Les transformations les plus usuelles relatives à la résolution des équation's y se rapportent à ce problème.

192. Proelèms. Trouver une équation dont les racines soient liées à n racines quelconques d^une équation donnée, par une relation donnée^

Soit F (x) = o l'équation donnée. Désignons par x, , a7»,...,x,, n racines quelconques de cette équation , et par

(i)...4>(x, , x^y xsy...,XM,y) = o,

la relation qui doit exister entre ces racines et la racine correspondante y de l'équation cherchée ^ il faudra que l'on ait en niéme temps

FÇr,)r=o, F(x,)=o, . .;,F(x,)=«o,-

Ces n équations ayant lieu conjointement àyec çixx , x^.,y)z=o qmUiesqat soient les racîiies jc^ ^ . . . ^ x„ , et n'exprimant autre chose sinon que Xi , x^p • • • > ^à > wot racines de F(x) = o , il s'ensuit que si l'on élimine entre ces t^ -f- 1 équatitma , les n quantités , x, ^x^, . . , yX^y l'équation finale en^% aura pour racines les valeurs résultantes de t9utes les combinaisons assignées par l'équation (i) , entre n racines de F(r) = o , et sera par conséquent l'équation cherfchée.

Nous allons donner quelques applications de ce principe, au cas où les racines de l'équation cherchée dépendraient de deux racines d'une équation donnée d'après, une loi connue.

195. Problèms. Trouver une équation dont les racines soieni les différences entre deux racines quelconques d'une équation donnée .

Soit l'équation donnée F(a:) ^ o. Désignant par x, , ^ , deux quelconques de ses racines ^ et par y la racine correspondante de l'équation cherchée ^ on aura à éliminer x^ et x% entre les trois équations 1

F(a7,) = o, F(a7g)=o, Xi — J^«=J'.

La dernière donne Xi-= x^ +y.

Reportant cette valeur dans F (xr) = o , il reste à éliminer

x^ entre

F(x,) = o et F(Xft+j') = o;

ou , ce qui est la même chose , à éliminer x entre

F(ar)::so et ¥(^x + y)=o.

Si l'on avait d'abord éliminé x^ au lieu de Xt , on aurait eo x^ =s Xi — ^ 9 et il serait resté à éliminer Xi entre les deux équations F(a7,) == o , F (Xi — y ) = o,ou bien entre la proposée et F(x — j') = o. D'oïl il suit que pour avoir Téquation aux différences on peut substituer à x indifféremment xdiy et éliminer X entre l'équation proposée et celle qui résulte de cetts substitution. Cela montre d'abord que l'équation aux différences

( ^97 ) se change pas quand on ehauge^ en — ^ , et que par coïiséquettt les termes de cette équation sont tous de degrés pairs , comme

noua le verrons encore par une autre considération.

On Toît facilement qu'en faisant passer successÎTcment Xi et or» parles m valeurs dont elles sont susceptibles, m 'étant le degré de Féquation F ( j?)= o , il en résultera m* valeurs poiary; réqtration feiaïe en y sera donc du degré m* ; mais on pourra l'abaisser ei^ observant d'abord qu'il y aura m valeurs nulles de y relatives aux différences de cbaque racine avec elle-niême ; on pourra donc y supprimer le facteur^"*, ce qui réduira le degré h. m^'^m oo m(ï»— i). On observera de plus que 8*îi y a la racine x^ — x» , il y aura aussi la racme a?, — rr» , etTjue par conséquent les facteurs de l'équation en y sont de la forme

( >'— ) ( y+ *) , ( y-C) ( j' + 0, "• ou ( y» — •) , ( jr»,r--ff»)...

Et posant y*=».,ôn aura une éqfuatioà du degré 4 m (m — i ) en z f qui aura pour racines les carrés des différences des racines de la proposée.

Nota. Il est bon d'observer comment on peut supprimer de suite les m solutions nulles , au commencement du calcul. L'équation F ( x +j^) ==o peut se développer comme il suit:

F(^x) + r{xyy+F'(^x)-^ + ... =o,

eleit vertu de Péquation proposée on pourra supprimer le premier terme F ( x ) , ce qui réduira là question k chercher les solvtîoins communes aux équations

F'(^)y + ï^(^)-^ + --- =oetF(x)==o.

Or, si l'on divise la première par .y, on détruit les m solti'tions communes à ^^=0 et F(x) = o, qui sont précisément celles que l'on voulait supprimer. On continuera alors l'opération comme à VordinairC; et l'équation finale en y ne contiendra

( »98 ) qjuie les 9t (m — 1 ) différences entre cliaque racine et les m -^ i autres.'