pROBLÈMS. 7)rouver une équation qui ait pour racines

' les sommes deux à deux des racines dune équation du m^"*'

Soient Xj , x^, deux racines de l'équation ( 1 ) ^ et y la racine

corresponchinte de l'équation cherchée; on obtiendra celle-ci

en- éliminant X| et x^ entre les trois équations

F(a:, )i=o, F(x») = o, a:,-J-x»=jf.

La dernière donne x^ :=zy •— ar* ; substituant cette Taleur de Xi j il faudra éliminer x^ entre les équations

F(a7.) = o et F(jr— Xt)=o, ou bien éliminer x entre

F(a?)=:oet F(jf — a?) = o.

L'équation résultante sera du degré m* , par la même raison que dans le cas de l'équation aux différences; maison pourra encore l'abaisser en observant d'abord qu'elle renfermera les ra* cines x% ^ x^ ^ Xa -{- x» ^ etc» , ou sx, , !ix% , etc. Formant donc une équation qui ait ses racines doubles de celles de la proposée > ce qui se fera en substituant dans celle-ci ^ x à x , puis divisant l'équation aux sommes par l'équation qu'on obtiendra ainsi , on aura une équation du degré m^ ^-^m ou m {m — 1) qui n'aura plus pour racines que les sommes des racines diffé* rentes de la proposée. *

On remarquera encore que x, +x» et x» +Xi étant racines à la fois > elles seront toutes égales deux à deux; le premier membre sera donc un carré , et en extrayant la racine carrée, il restera une équation du degré \m(^m — 1 ).

Nota. On peut supprimer dès le commencement du calcul les solutions doubles des racines de la proposée. En effet , il faut éliminer x entre les équations

F(x) = o etF(^ — X ) =:: o.

Retranchant la première de la seconde , on pourra substituer à celle-ci la différence F(jr — a;)— F(x)=o, et éliminer entre cette dernière et F( x ) = o. Or F(^ — x ) — F(a: ) est divisible par y— fix, puisque ce polynôme se réduit à zéro ^piand on y fait y = ùx. Supprimant donc ce facteur , on ôtera les m racines doubles de celles de l'autre équation F (a; ) = o.

196. ProbiaÈme. T*rouver l'équation aux rapports des racines d*une équation du m'^"" degré , F (x) = 0.

Soient Xj, or» deux, racines de l'équation F(x)=o,etj^ Pinconnue de l'équation chercbée ; il faudra éliminer x^ et x» entre

F(x, )=o, F(x»)==o et ~ =>

Cette dernière donne x, ==j^x,-, substituant dans la première^ il vient l'équation F(j'Xft) = o, et il faudra éliminer Xa entre cette dernière équation et F(xa)=o,ou, ce qui revient au méme^ éliminer x entreF(x)=o et F f xy) = o.

On verra encore qu'en faisant passer successivement x^ et x» par les m valeurs dont elles sont susceptibles^ il en résultera m* valeurs pour^, parmi lesquelles m seront égales h l'unité et pourront par conséquent être supprimées en divisant le premier membre de l'équation finale par (y — 1)™. De plus,

s'il y a la racine—* ; il y aura aussi la raoîne — * j ce qui montre

que l'équation résultante , du degré m' —m ou m (m— 1), sera réciproque , et que par conséquent son degré pourra s'abaisser Si\m{m — 1)1

Nota. On supprimera les m solutions égales à l'unité en re-, tranchant membre à membre les deux équations Y{xy) =p et F (x) = o ; l'équation résultante

F(xj^)-.F(x)=o

vgera satisfaite par^j^ra: 1 , et son premier membre pourra par . conséquent élre divisé parjf— 1; on ôtera ainsi les solutions

égales à l'unité et correspondantes aux m racines de l'autre

équation F (x);2s:o«

y , ( aOO )

196^ PiHWLSME. Ttouver ïéquatbr>n aux produits deux à deux des racines de l'équation du mi*'"*' degré , F(x) = o^

Désignant par x, , 0:^, deux racines qaeWMiqpiesde F(x) =i>, onauFa Féquation cherehée en j' , en éliminant jr, etXa^ entre les équations

F (a;,) = o , F(xa) == o , x,a:. = ^.

Tirant de la dernière x, = »2. ^ et reportant dans la première,

Xa

il restera à

éliminer x^ entre Ff — j=o et F(x»)=:o,

ou

xentreF^•2î^=:;o et F(x)=o.

L'équation finale sera encore du d^ré m* , et aura m racines qui seront les carrés des racines, x, , ar», ...,Xm. On pourra donc^ les supprimer, en formant une équation qui ait pour racines les carrés de celles de la proposée *, ce qui se fera en substituant V^x à X dans cette dernière ; puis on divisera le prenier membre de l'équation finale par le premier membre de cette transformée. De plus, les ra^cines restantes seront égales deux à deux , puisque x, X x^ et x» X x, sont deux valeurs de ^ ; on pourra donc extraire la racine carrée du premier membre , et

le degré de l'équation demandée sera ainsi réduit à - m (m— 1).

Nota. Pour suppiimer de suite les carrés des racines de la proposée , on retranchera encore l'une de l'autre les deux

équations F T^ j ::n: o , F (x) = o ; Péquation résultante

Fr*- j— F(x)=o sera satisfaite évidemment par y=x*; donc

elle sera divisible par^— -x* ; et sup|M:imant ce facteur, on itéra les m solutions égales à x^, qui correspondront à F (x) = o. 197. FBOBii»iE. Etant donnée une équation F (pi) = o , domt.

( ÛOl )

X| y Xft désignent deux racines quelconques^ en trouver une mitre dont les racines soient toutes les combinaisons de la forme p(x,+Xa) + qXiX«5 P ^' q étant des constantes données^ Tout se réduira à éliminer a;, et x^ entre les trqis équations

F(^) = o, F(xO=o, p{x, + x^) + qx,xs,:^y.

Tirant jc. de la dernière , on aura x» = ^ "7 ■ — '-

Reportant dans la seconde , il restera à éliniiner Xi entre

F(x.) = o et f(J=^;) = o,

ott 0? entre

F(x) =o et Ff-y^I^'^ ==o.

\p + qx/

l»e nombre des c^nnbinaisoas de la forme donnée étant m*, lorsque j?» et x* passent successivement par les m valeurs de x tirées de F(x) =o , il s'ensuit que l'équation finale sera encore du degré m*. On en pourra supprimer m solutions de la forme spx 4- qod^, en formant une nouvelle éq«iation qui ait ses racines de cette forme, ce qui se fera en éliminant x entre F (a?) t= o et 2px + qx^'= z. Quand on aura trouvé l'équation en z, on y remplacera t par x , et on divisera par elle l'équation finale, qui ne sera plus que du degré m(m— i).

Enfin , on la réduira au degré - m(ni"-^ i) , en observant que

ses racines seront égales deux à deux , et que par conséquent on pourra extraire la racine carrée de son premier membre.

Nota, Il sera encore possible de supprimer ^avance les m solutions de la forme 2px + q^ > en effet , si l'on retranche Punc de l'autre les deux équations entre lesquelles il faut éliminer X , on pourra leur substituer le système des deux suivantes :

f y--px \ \p^qx/

F (a;) = G , et F (x) = o.

( aoa ) Or, la première est identiquement satîsfi^te quand on y fait

^ - , =Xy OU y = apx + ^a:*; p +qx / -7- • T

donc son premier membre est diyisible par y — apx — qx* ; et supprimant ce facteur , on retranchera de l'équation finale les m solutions de la forme 2px + çx*.