pROBLÂBfE. Trouver la condition pour quun^ équation

x" + Ax*-» + ....+Tx + U=:o,

ait deux racines égales et de signes contraires^ et déterminer ces racines.

Soient Xi et — x, les deux, racines inconnues dont il est question^ il faudra, lorsque m sera paîr^ que l'on ait à la foi» les deux équations

' Xx*" + Ax,-"-' +Bx,«— *+ . . . +Txi+U=o, X,"»— Ax."»-" + Bxi"»-* + . . . — Tx» +U=o.

Les ajoutant et les retranchant membre à membre y il faudra , pour qu'elles aient lieu en même temps ^ que l'on ait séparément j

(i)...x,"» + Bx,"-*+... +U=o, (a) . . . Ax,"»-* + Cx,«-3^, . ^ ^ +Tx,= o.

La valeur de Xj doit donc satisfaire à ces deux équations , et la condition de possibilité est qu'elles aient une solution commune *, on clierchera alors le commun diviseur entre leurs premiers membres, et on Calera à zéro le reste indépendant tfx> cette équation sera la condition pour que la proposée ait deux racines égales et de signes contraires, et le commun diviseur, égalé à zéro, donnera la valeur de cette racine.

On observera qu'on peut supprimer le facteur Xi dans l'équation (2) , car Xi=o, ne saurait satisfaire à l'équation (1)^ parce qu'il faudrait que U fût nul, et l'équation proposée serait bien satisfaite par ±:o; mais il n'y aurait pas pour cela deux racines éga^s et de signes contraires; il n'y en aurait qu'une seule égale à zéro. Si cependant U et T étaient nuls à la fois y on aurait deux raciùes égales et de signes contraires , puis*-

qu'elles seraient noBes toutes les deux; mais si l'on ne spécifie pas qae les racines en question sont nulles , on "^urra supprimer le facteur Xi de l'équation (2) , et exprimer qu'il y a une solution commune après cette suppression. On aura ainsi la solution générale de la question. Si ensuite on demande que les racines dont il s'agit -soient nullesi^, on égalera à zéro la Taleur que l'on tirera pour elles , et on aura par la une secondé condition.

Si les équations (1) et (2) avaient n solutions communes, la proposée aurait 71 couples de racines égales deux à deux au signe près.

On opérerait d'une manière semblable si m était impair.

199* PaoHLÈscB. TVouuerdeux racines d'une équation F(x)=o, connaissant leur ^différence i.

Si x^'est la plus petite de ces racines, ^i +^ sera la plus grande , et l'on devra ayoir

II devra donc exister un commun diviseur entre F (r) et F (x -f- ^).S*t1 est du premier degré , il sera a: — x^ , et fera connaître par conséquent la plus petite racine, et par suite la plus grande. S'il est du second degré , il j aura deux couples de racines ayant entre elles là différence ^ ; ce qui donnera quatre racines, à moins que la proposée n'ait trois racines qui suivent une progression dont la différence- soit ^ ; c^est ce que l'on ne;connaîtrait à ce que les deux racines du commun diviseur différeraient entre elles de i", Qn raisonnerait semblablement dans le cas où ce commun diviseur serait d'un degré plus élevé.

aoo.PROBLiiCE. Trouver les conditions pour qu* une équation F(x) =0, ait n racines qui forment une progression aAthmétique dont la raison soit l^et déterminer ces racines.

Soit F(x)==o l'équation donnée, et x, la plus petite des n racines ^ il faudra qu'on ait en même temps les n équations

F(ar,)=:o, l^{x,+t)=o, F(x.+2^)r=o,... , F[x-,+(7i-i )<r]=:o-

1' devra donc y avoir un conunun diviseur au moins du pre*

r ao4 ) nucr degré entre F(x) et chacun des poijnomes F(ji-f ^), Fix+a^) , . . . , F [x -f. (n— x) J*] , d'où résulteront «— i équations de condition.

On parvient an même résultat par la métlioàe des eq^ficiens indéterminés , en exprimant que le polyi?oB8e F (jr) a » facteurs de la forme n

On agirait de la même manière dans le eas ob le» raeines^levraient être ei progression par quotient.

, SOI . PaoBLèMB. Trou\/er les conditions pour ifu*unQ éffuation du degré m ait n racines égales entre elles*

On égalera le premier membre de Féquation donnée a» prodnft d'un facteur (x-— •o)" par un polbjrneime indéterminé du degré m — n , il en résultera m équations entre kisq[ueUes en éliminera a et les m — tz coeffîciens du polynôme indéterminée et il restera n — i équations de condition entre les coeffîciens deFéquatîon donaée.

Si, d'ajM^s 1% théorie des raeines ^le» , on exprimait que le premier membre de la propéSée et sa dériyée ont un conmiua d^^iseur du degré n-^i ^ il en résulterait d'abord ti *— i éqnarlioos de condition ; mans il faudrait de pluft que ce comB^uB di- TÎseur fàt une poissancedu degré » --- i ,i'où résulteraient rt — s éipiations de condition ; ce. qni en ferait ea, tout an •«-* ^. On en tronrarait donc plus par ce moyen que par le premiar ^ et cependant il semble qu'on n'a introdmt auemie ^nditÂon étran* gère. Pour lever cette dijBaculté, observonsr que les n-^- 1 équations qui expriment qu'il y a un conunnn dtviseuar di^^d^ré s*— i s'appliquent au cas général oii teé racinea de ce diviseur sont inégales , et où l'on a par conséquent /? — t couples de racines égales deux à deux dans l'équation proposée. Si maintenant on exprimeqne les n — \ racines du coitiakun diviseur sont ^ales^ cesîi-^i couples feront Qn — a racines égales dans la proposée. Le nombre a» — 3 de conditions, tenait donc à ce quejFon exprimait que l'équation avait an ~ a rackobes égales > et nan pas

seulement n; ce qui s'accorde avec le premier procédé*^ par les ooeffîciens indéterminés.

aoa« THéoRÈifEi Si toutes les solutions d'une équation à deux variables (i).«.^(s^y)=so , satisfont aune autre équation (a),,.F(x,y)^=:o, /epo/ynome F(x,y) sera divisible par tpÇXfjJy en supposant que ces polynoines sont entiers et rationnels»

En effet ^ conceronaqu'oa attribue à y une même valeiu* quel- OMique dam les deux équations^ l'équation (2) d^ra admettre en même temps toutes les valeurs d'à? oorrespondantes de l'équation (1) ; Je polynôme F(x,jr) sera donc dÎTisîble par ^(àc^y) , quand on l'aura multiplié ^ s'il est nécessaire > par une certaine puissance du coefficient du terme qui est du plus fort degré en xdanâ ^ l^^y) f laquelle peut être une foncti<Hi ^ (y) dejr. Ainsi le produit 4 (y) ^ C^^ >^) ^^ divisible par ^(x^y ) , quels que soient a?,^ , et le quotient deF(^x,y) par ^ix,y) deviendrait entier pa^ irapport à x et ^ , si on le multipliait par 4" {y)-

En raisonnant pour x cbmmepour j ^nous feri<Mis voir que le produit ^^j (x)F{x,y) serait divisible par ^(^^^3^)^ et que par conséquent le quotient de F ( or ^ j^ ) par ^ (x, y ) deviendrait enoore entier ai on le multipliait par '^^i ( a; ). D'où il suit ei&fin que ce quotient de F(x,jf) par^(a:,j') e^ entier par rapport kx^ky-j car sans cela ne pourrait le devenir , quand <m le multiplierait indifféremment par une fonction d'x seulement, ou d'y seulement.

ao5. TnÈoaiaa. Soit une équation (i)* • .^(x, y)=:70 <^> degrém enx^etdu degré n en y ; si f équation (2) ... F (x, y)=ao admet toutes les solutions <2e ^(x,y)= o correspondantes à m valeurs den^etàu valeurs d^j, le polynôme F(x , y) sera divi^ siile par ^(X|y) , en supposant ces deux polynômes ration^ nds et entiers.

Soient en effet cr, , xw,. . . , a:», les m valeurs d'x doanées : puisque pour^ chacune d'elles l'équation (2) admet toutes les solution» e«k y de l'équation (1)^ il s'ensuit que pour ces mêmes valeurs d'x , F {x^y^) est divisible par ^^x^y^^ quand <m l'aura multiplié par une puissance 4^(x) du coefficient du terme du plus haut degré en y dans ^ {x^y\ Le reste de la division de

(sofi)

4^(x)xF(ar, y) par p{x,y) sera donc nalpour les m Taleurs oc, , a:» , . . . , Xm* Maïs ce reste ne peut être que du degré m — i puisque le diyiseur est; du degré m ; donc il est nul quel que soit j;^ et par conséquent la division de 4^(x)'X,F{x,y^ par ^(x, y) réussit quels que soient x et y. La démonstration s'adièirera comme dans le théorème précédent^ et l'on en conclura semblablement que F (x ^y) est divisible par 9 {Xyy).

*22o4. THéoi|iM£. Si réquation F(x^y)=o admet toutes les solutions de ç{^,y):=^o, quand x ou y prennent des valeurs quelconques entre deux limites données, le polynôme F(x,y} sera divisible par ^ (x , y ).

Ce théorème est une conséquence du précédent-, car quelque rapprochées que soient les deux limites entre lesquelles on peut prendre x arbitrairement , cette variable étant susceptible de recevoir une infinité de valeurs , en pourra prendre par conséquent un nombre supérieur au degré de Ç{pc,y)^ par rapport à X ; il en serait de même pour j^.

3o5. TnioBiMB. «Si deux équations F(x,y)=o et ^(x, y)=o, admettent au moins une solution commune pour une infinité de valeurs de tune des variables ^ de ^^ par exemple; et qu*en même temps f (x,y) n'admette aucun facteur rationnel en x ou en y; le polynôme F(x,y) sera divisible par^(x,Y).

En effet , si on élimine y entre les deux équations , par le procédé du plus grand commun diviseur, on parviendra au reste %al en or, qui , égalé à zéro, devra, d'après l'hypothèse, admettre une infinité de solutions ; il faudra donc qu'il soit nul de luimême; il existera donc un commun diviseur entre F(:r^ ^) et ^(jXy y). Mais on suppose que ^(a:,jr) n'admet aucun autre fEicteur rationnel que lui-même; ces conditions ne pourront être satisfaites à la fois que si (p{x^y) est facteur dans F (a:, y).

GoBOLLAiBE. Il en résulte que si deux équations à deux va-* riables ont une infinité de solutions conmiunes , et que leurs premiers membres soient indécomposables en facteurs rationnels, ces équations seront identiques.

Ainsi, t équation rationnelle d'un arc de courbe^ quelque petit qu'il soit , est identique avec l'équation de la courbe en-

(ao7 )

tière. Cest pour cela qu'en chercliant les équations des lieux géométriques^ on trouve souvent des branches de courbes étrangères à la question : c'est qu'alors la construction ne fournissait qu'une partie du lieu de tous les points compris dans la même éqpiation rationnelle p et que l'équation de cette par* tie est la même que celle du lieu total.

Si y par exemple , on demandait le lieu des milieux des cordes menées à un cercle ^ par un point extérieur, çn trouverait l'équation d'un cercle ^ tandis, que la construction ne fournit que l'arc intercepté par le cercle donné.

Des Equations binômes.

Ces équations peuvent toujours se ramener à la forme j''**'" zp py" = G. Supprimant les n s')lutions égales à zéroj il vient y^qrprso.

Désignant par «e la valeur arithmétique de vp^ et faisant yirimXy l'équation précédente se réduit à (i). . . a;"*rp i = o.

Les m valeurs de y s'obtiendront en multipliant successivement « par chacune des m valeurs de x , tirées de l'équation (i). Ces valeurs de x sont nommées racines de l'unité.

L'équation (i) n'a jamais de racines égales , car il n'y a pas de commun diviseur entre x"* qp i et sa dérivée mx"*""'.

206. TnéoRiME. Quand wl etn sont premiers entre eux^ les équations x** — 1 =:o,x* — 1=0, n'ont pas d* autre solution commune que x,= 1.

-En eiFet, si l'on divise x* — 1 par x* — 1 , on aura pour dividendes partiels consécutifs,

iH— an

m-^Sm

— i , etc.

( Le dernier reste sera donc x^ — 1 , p étant le reste de la division de m par n. Le plus grand commun diviseur entre x"* — 1 et a»— 1 , sera donc le même qu'entre x" — 1 et x? — 1 ; de même ce dernier sera identique avec celui de x^— 1 et x^ — 1 ,

q étant le reste de la division de n par p. En continuant ain.^i^ on parviendra k un reste du premier d^ré en x , puisque les exposans m et n sont premiers entre eux et que les quantités J9, </ , etc. , sont les restes successif^ qu^on obtient en cherchant le plus grand commun diviseur de m et n. Par conséquent^ le commun diviseur de x"* — i et x*— i est qp -^ i ; et par suite l'unité est la seule racine commune aux deux équations proposées. 207. Voyons maintenant à quoi l'on peut réduire la résolu^ tioji de Péqiuttion x"*— <» 1 =0..

Supposons d'abord que le nombre m soit premier ; dans ce cas, toutes les puissances de * jusqu'à a"* autont des valeurs différentes y à moins que l'on n^ait a==:i. Car si deux puissances «" et ti' étaient égales , on aurait <»"!== et' , et de là a'*""' = i ; or aucune puissance de « moindre que m ne peut être = 1 tant que a n'est pas=^ 1. En effet, puisque **" — 1 =lo , si l'on avait en même .temps a'*' — i =0, n' étant < m, il faudrait que ces deux équations eussent une racine commune ; et en cherchant par les règles ordinaires , le plus grand commun diviseur des deux quantités <»'"— 1 et *"' — 1 , on trouve nécessairement et — 1 pour ce diviseur , à cause que m est un nombre premier, de sorte que la racine commune aux deux équations «*" — i =0 et <»"' — 1 = o ne peut être que l'unité.

Il suit de là, 1**. que les puissances «j, <»', «^, , . . , «t*", représentent toutes les racines de l'équation y^ — 1 =0 , en prenant pour « une quelconque des racines de cette équation, autre que l'unité. Car puisque <»"* = 1 , on aura aussi ot*'" = 1 , àt?"^=: 1 , etc. ; de sorte que les puissances <»,«*, «j^ ,..., «j*" seront aussi des racines de la même équation ; et comme elles sont au nomlnre de m, et ont toutes des valeurs différentes , elles donneront nécessairement. toutes les racines de l'équation j^"* — 1=0. Il s'ensuit aussi , 2**. que si dans la série des puissances «, «*, d?y...y et^"*^^^ , on substitue pour « une quelconque de ces puis^ sances (comme «*, 71 étant <^ m) la nouvelle série •", «^, «1^" , etc. , en rabaissant toutes les puissances au^essous de «*" , à cause de <*"•=! , contiendra encore les mêmes puissances.

nais dans un^ordre dîfféreiit*, car il est vîsîWei[ne tous les exposans n , an, Su , etâ /sont différens , et que leurs restes de la. division par m le sont aussi y parce que m est un nombre premier 'y de sorte que ces restes étant au nqmbre de m ^ et tous différens entre eux, ne peuvent être que les nombres 1,2, 3, 4, 5 , . . • , 7n -*- 1 , jh.

âo8. G>nsidérons maintenant le cas ou m n'est pafs un * «ombre premier. Alors , si n est un diviseur de m , toutes les racines de l'équiation j'" -^ 1 =1 o seront communes à l'équation y^ — 1=0, parce qu'en supposant le nombre r racine' de l'équation y'^ — 1=0, on aura r^m i , et pat oonséquent^tissf r"= 1 ; de sorte que r sera aussi racine de l'équation y'"— i==ro- En faisant donc *.==:r, on aura «""zir i ; et si m = np,il est TÎsible que dans la série des puissances * , a*, «j^, ... ,«*",*€) lacune se trouvera répétée p fois; par conséquent ces puissances ne pourront plus représenter toutes les racines de l'équation y^ — i :=ro , parce que cette équation n'a jamais de racines égales. , ' . V

Soit m-z^pq , p et </ étant devtx nombres premiers, et soitiS- Une -des racines de l'équation^'' — 1 = o , et 9/ une des racines àe ré(|uation ^^ — » 1 =0, il est clair que fi et y seront au^si racines de Péquation y"* — :i = o , parce que fif et yf étant =n 1 , on aura aussi iS''*= 1 , yPf=zi ; mais toutes les racines de l'équation j''" — 1 = o ne pourront pas être représentées par les puissances successives des racines /3 et ^. ^- ^

On voit aussi que le produit 0y sera- râcitle de là même équation y"* — i =0; mais aucune puissance de cette rac^e dont l'exposant serait inférieur à m, ne' pourra être égale à f unité , à nioîns que jS ou y ne soit l'unité ; car il jfaudrait que ' ^ l'exposant de cette puissance fût un diviseur de. ^^ çt pa^ çour^ séquent égal à p ou à 7*, on aurait donc (fiyy=:i , ou (iS5/)»=s=i Dans le premier cas, on aurait 5/'' = 1 , à cause dèi8''=E i (byp.)*' et comnoLe on a déjà 5^' — 1=0 (hyp.), il en résulterait y — i==o , à cause que/? et q sont premiers entre eux. Pans le second cas , on aurait |3 — 1 = o.

Ainsi , tant que jS et 7^ sont différens de l'unité, la racine 5>^

jàe Féqtialkm y"-»- i =0 , a, lorsque mt^péj y la même prio» priété que la racine m lorsque m est uu nombre premier, sa' Voir, que toutes les racines de cette équation peuvent être re^ présentées par les .puissances successÎTes de By^ ^

Comme les valeurs de & sont au nombre de p > et celles de y au nombre de q y les valeurs de fiy seront au nombre de pq^ c'est-4-direde m; et il est facile de prouver que ces valeurs seront toutes différentes entre elles ^ parce qu'elles peuvent être représentées par fi^y'^en faisant successivement r=: 1 , 3 , 3.^.,^ et 5= 1 ^ 3 , 3 ...,(/, à cause que les nombres p et 9 sont supposés premiers. D'où il suit que pet q étant des nombres premiers, et m étant égal à pq , toutes les racines de l'équation ^"'—1=0 peuvent être représentées par les ^ro^uits ^y des racines des équatic^ns j^— 1 = , ^ — 1 e?a

On prouvera de même que si m =spqry en supposant p, ^ff des nombres premiers , et que fi^y^i" soient respectivement des racines quelconques des trois équations y^— 1=0, y' f-n 1=0, jr' — 1 = o , le produit jSj/^ , en donnant* successivement à /3 , 5^, ^ toutes leurs valeurs , pourra représenter tontes les racines de l'équation j^" — 1=0 •, et que celles de ces racines qui seront exprimées par fiyi" en excluant l'unité des valeurs /S ^ >? ^ y auront les mêmes propriétés que les racines de l'équationjr^^^i =0, lorsque m est un nombre premier.

Et ainsi de suite.

S09. Mais si l'on avait m=p*,p étant un nombre piremîer y en i^enant fi pour une quelconque, des racines de l'équation vi'— i=Q, il est clair que fi serait aussi racitie de l'équaitoa

y"*— -i=sO f et que |/ jS le serait aussi^ On {«rendrait donc, dans

ce cas ) pour y une quelconque des valeurs de \/fi , et Pon aurait

également jS^ ou jS y fi pour l'expression de tontes lés racines de y"* — i=:o. "Ex en^ffet; en donnant k fi lesp valeurs dont il esb

susceptible; on aura p^ valeurs foux fiyfi^y de plus elles s^seront

différentes î car si Ton avait pour deux d'entre eïïcs^ y fi :=zfify^.

il sVtisuÎTrait 9 en éleTant les deux membres à la puissdticepi

|8f-»'»=^V-^«, d'où fi=ff , puisque /S^ = i et^'/^isi.

Les p* valeurs de fi ^fi seront donc différentes quand on don-, nera à fi les p valeurs différentes tirées de ^^ — i=o. De même , bi m = p^ ^ en conservant les valeurs de jS et ^ ^ on

ferait.de plus i'=^i/fi , et Ton aura fiyt pour Pexpressîon dé tontes les racines de y^ — i=:o, en donnant successivement ^fii^i^ toutes leurs valeurs.

Et ainsi de suite.

Donc en général , si m:=ipf*q*r^. . . , et que fi^y^i^, etc. , soient respectivement des racines quelconques des équations j^'*— 1=0, y— I =0 , ^'— i =0, etc., p y q,r, etc. , étant des nombres

premiers; si Ton fait de plus /S' = \/i8, /S" s;? \/fi^,eic, y'^ss^yy^ /srj/'y ,etc., J^ = v^J^, #"= \/y y etc., on aura

fifi'fi''...XyyV >.. X^yr...

pour l'expression générale des raciiies de l'équationj'"'— izco; ' en donnant successivement afi^fi', etc. , >», >' , etc. , i", ^, etc^ toutes les valeurs dont ces quantités sont jsusceptible^ chacune en particulier.

On voit par là que pour avoir les racines de l'équation à detix termes y"* — 1=0, lorsque m n'est pas un nombre preinîer, ij suffît de résoudre des équations semblables des degrés dont les eiposans soient les nombres premiers qui compos^ift le nombre m.

a 1 G. Enfin nous remarquerons que comme l'équation y^ — 1=0 manque de tous les termes intermédiaires, si l'on nonux^ 1 > ^j fi,yf J^,.etc., ses racines, on aura

i+«6 -f-/3 -f-^4-/' -I- etc. = o, 1 -|.a»4./8*+>*4-^*+etc. =0, 1 +tt^ + fi^+y^ + f^+ etc. = b.

1 + *"»-» + ^«r» + y«-> + ^'T? + etc. = o.

(a,0 Ensuite^ à cause Je «c" == i , /S"* = i , etc. , on aura

1 4. ^m ^ ^m ^ ^m ^ ^il ^ ç^^^ ^^ 1 + tt"»^» ^. |8«+» 4. j,m-M 4.etc.==o,

1 aJ^ té^"^^ -|- j8"»->* -f- ^«■^* *^ etc* z= o j • i;t ainsi de suite.

Pour résoudre l'équation x"'—*i = o/ quand m est premier^ on supprimera d'abord le facteur x — 1 , et il restera l'équation réciproque a:""""+a:'"'**+i . .-f'X-t 1 =0. qui se ramènera comnie on sait à une autre de degré moitié moindre^

M. Gauss a fait connaître une méthode au moyen de laquelle on peut résoudre l'équation x"*— 1 =0 à l'aide d'autant d'éqpiatlons qu'il 7 a de facteurs premiers dans m — • 1 , et qui ne iQontent qu'aux degrés marqués par ces facteors. Nous renvoyons à ce sujet à l'excellent ouvrage de Bi. Gauss , intitulé Recherches arithmétiques,

211. FaoBLàra;* Déduire les co^fficiens de la puissance vi^i d^un binôme y de ceux de la puissance m. Soit

' (J? + û)* =±? x~ + Ax~-«a 4- Bx"-*a* -f Qx'^'^^a^ +etc.

,Si l'on multiplie le second metnfare par x + a> on aura k puissance m-|-4 de x 4- â; les deux produits partiels seront

jyowFoû' Voit que /e coefficient â!un terme de rang quelconque s* obtiendra en ajoutant le coefficient du même rang cians la puissance m à celui qui le précède..

Si l'on part de la première puissance, et qu'on dispose , dans une même colonne vertical^ , les coeffîclens d'une mén?te pui»sance, on formera ainsi le tableau suivant , <jui a reçu le nom de triangle arithmétique de Pasdal ».

lo, i5,

u>, ao,

ft

Problèmes sur le Calcul des différences.

212. P^oBLiMB. Si ton a unefojg^tion ç(x), etquonyrem^ place X par x + h , o« obtiendra une différence ç(x) — f (x+h). .Si Ton cherche de même la différence de cette différence , en y faisant croître x de la même quantité h , et que l'on prenne ainsi m différences successives , on demande t expression de la m""' différence en fonction des différentes valeurs

Soit représentée par y la fonction donnée f (a;), et par yi > yft > • • • >ym 9 ce qu'elle deyient quand on y remplace x par x + Â, X + aA/ . . . , x+ mh. On aura^ en désignant pa|p Ay, A*y , A'j, . . . , A"*y, les différences successives ,

^!y = 0'— J'i)— aCj',— >) + Cy»— y3)=>— 3y«+Syt— y^.

En continuant ainsi , on trouverait toujours des termes alternativement positifs et négatifs, et ayant pour coefficiens ceux de la puissance d'un binôme du même degré que la différence que l'on considérerait.

Il est d'ailleurs facile de démontrer la généralité de cette \ou Supposons , en effet , qu'elle ait lieu pour la différence de Tordre /i , on aura

(ai4)

Ay=y—ny,+