a. 3. 4 D'oît , en prenant la différence suivante

On Toit que chaque terme de A'jr se retrouyera dans A"^*jf et fournira un terme de même ordre et de même signe que le suivant^ et qu'ainsi les signes seront encore altematiye' ment positifs et négatifs , et que de plus chaque coeilîcient s'obtiendra en ajoutant celui du même rang dans A^j^ a^ec le précédent; d'où il suit , d'après la proposition précédente y que les coefficîens de A^'^'y seront ceux de la puissance 7t+ 1'"* d'un binôme ] et que par conséquent la loi observée pour les trois premières différences , a lieu indéfiniment. On a donc pour l'ordre m

^"!y=j— "^Vi-t

m(m — 1) jn(m— i)(ni— a)

l.SL.5

y 3 — etc.

^i3. Problème. Calculer la différence m**^' d^un polynôme entier et rationnel du degré m en x.

On commencera par observer que la différence d'un polynôme entier et rationnel ^ est toujours d'un degré moindre d'une unité que ce polynôme , et que la différence d'une constante , c'est-à-dire d'une quantité indépendante d'à: , est nulle. Gela posé; il est évident que le seul terme du degré m pourra influer sur la différence de l'ordre m^ et que^ par conséquent, en pourra dans le cas proposé ^ supposer le polynôme réduit à son premier terme Ax^. Or, la différence de Aap™ sera un polynôme complet du degré m "— i , dont il faudra prendre la différence de l'ordre m — i , et que l'on pourra, par conséquent, encore réduire à son premier terme Amx^T% Qn verrait sena-

( ai5 > blablement que dans la seconde différence , il faudFa se borner a. considérer le premier terme ; et ainsi de suite , jusqu'à la di^ férence de l'ordre m. Ces premiers termes serOfit successi-i yement :

Am (m — i)x'"""''fe* ,

A/h (m — i) (m — 3)x'"*"^ft^ >•••>.

Am(m — i){m — a) . .. 3.a.i .A*".

La différence de l'ordre m d'un polynôme de la former

Ax^ + Bx'»-' 4-Cx'"-* . . . +Tx+ U ,

est donc constante» et égale à A . i . 3 . 3 . . • m . ft"* , et ses différences d'un ordre plus élevé sont nulles. ' Si l'on fait A = i et A = i , la différence m,^*^' se réduit à