a . 3 • .. . TH

i^'.Gonoi^LAiiiE. Si l'on V dispose sur une ligne horizontale les différentes valeurs^', j',, j^»., ... ,^,n, que reçoit une fonction d'x, quand on y remplace x par x, x-,+ h , x '\- ah , . . , ^ x-j-mh, et qu'on retranclie tous les termes de cette ligne l'un de l'autre, dans . le même ordre , on aura les difféi'ences premières de char cun d'eu:& ; si l'on retranche ensuite ces (différences les unes des autres dans le même ordre ,- on obtiend|:a les différences se-* condes dej', y, , j^a? • • * • Et en continuant ainsi jusqu^à l'ordre m, on trouvera des différences égales pour tous les termes, si y est ifne fonction entière rationnelle du degré m.

Si par exemple on suppose y;=za^ et ft = i , et que l'on commence par x = i , on formera ainsi le tableau suivant , où la ligne des différences troisièmes ne renferme que Aei termes égaux entre eux, et à i .2.3 ,

ij 8, û7, Ç4, 126, ai6, 343, 512,..».; 7, 19, 3j, 61, 91, 1Û7, 169,...

2* G>ROLXiAiR£* Si dans la valeur de A"|y tirée du proUème

Ltn

( ai6 ) * I

firécédent , oa remplace y par x"*, et que l'on fasse ensuite i ■X =; m, on aura '

A'"y=m'"— m(m+^)"'-f- "*^'"~'\ TO+aft)"— etc. |

Or, nous Tenons de voir qu'on avait

A"*j^= 1 .2.3. .. mA".

D'où suit cette identité , en faisant ft = i ,

m'^—m {m.+ i)" H ^ (ni+ a)'

Si Ton faisait k = — i , on aurait , quand m serait pair ,

'/n«— m (m— i)» + ÎÎ^^Î^ÎLir^ (in -- a)« 1.3.3. .. m=5 ^ ^"^ ,.

-=^iâ^c»-3r....|

Et si m'était impair, on jurait «

Im'" — m(f7*— !)"• + — J^ ^(^ — a)*"

Théorèmes sur les Nombres premiers,

ai4. THioitÈME. *Si le produit AB wt divisible par un nombre P premier avec B, le facteur A jera divisible par P.

En effet, le plus grand commun diviseur de B et P, étant par hypothèse l'unité , on déduit de la théorie élémentaire du / plus grand commun diviseur, que celui de AB et AP sera A, et que P divisant AB et AP, divisera leur plus grand commun diviseur A.

CoBoUiAiRE. Les principales conséquences de ce théorème -fondamental sont exposées dans tous les traités élémentaires. Oa

en déduit; par exemple^ la manière de décomposer un nombre en . ses facteurspremiers , d'où Ton peut conclure un moyen de déterminer tous les diviseurs d'un nombre. Soit en effet ce"* €* yf etc. le nombre proposé («,C, y. . , . , étant des nombres premiers) , tout diviseur de'ce nombre sera de la forme o/^Py^ , . . , les exposans ^, », ^i**' y ne' peuvent surpasser m^n,p, ..,\ d'où il suit que tous les diviseurs du nombre proposé , seront les diiFérens termes du produit des facteurs

(1 4.*-f.et*-f^ ... 4.*«), (i 4.C + Ca+ ... +e«),

Le nombre de ces diviseurs est (m + 1 ) (1+ (p + 0-

La somme de ces diviseurs peut se mettre sous la forme

On en déduit le moyen de trouver un nombre qui ait un nombre donné p de diviseurs. On décomposera p en facteurs quelconques; on diminuera chacun d'eux d'une unité, et l'on prendra ces nombres pour exposans de facteurs premiers arbitraires ; il en résultera u|i nombre qui admettra p diviseurs.

Il suit encore de là que tout carré admet xxii nombre impair (le diviseurs ; car tous les exposans de ses facteurs premiers étaiït pairs , le produit (7n-f-i)(n-f-i) (p+i).... est impair.

Si l'on demandait de combien de manières le nombre N"=ct"'C*^..., peut se décomposer en deux facteurs, on trouverait

- (m+i ) C'^+O (p+ 1 )". ; parce que a chaque facteur A corres-

N pond l'inverse -r- > et que par conséquent le nombre des produits

de deux facteurs difîPérens , est la moitié de celui des diviseurs. Il faut en excepter le cas où le nombre N serait un carré ; alors le nombre des diviseurs est impair , parce que la racine carrée se correspond à elle-même pour donner le produit N; d'où il suit que dans ce ca^ il faut prendre la moitié du nombre des diviseurs diminué de l'unité , et ajouter 1 au résultat; c'est-à-

( 018 ) ' dire que le nombre des manières de décomposer un carré en

deux facteurs , est - 1 (m -f- 1).(/*+ i)(p+i)*-- + i}.

La formule précédente - (^ + i) (/» + i) (p + i) . . . • pourrait encore être employée en prenant l'unité au lien de la fraction - que donnerait la division de (^+ 1 ) {n^ i ) (p+- 1 ) ... par a.

Si l'on Toulait que les deux facteurs dans lesquels on décompose N , ifussent premiers entre eux , le nombre des combinaisons ne dépendrait plus des exposans m^ n^p,,,., et serait le même que si Pou avait N = aCy ... ; d'où il suil qu'en appelant k le ncMobre des facteurs premiers AfC, >9 ••••> on aurait

pour le nombre des diviseurs - (i + 1) (i + 0(* + ••••* ^^

-X2% ou enfin a*"'.

21 5. Pboblèac^. Trouver combien il y a de nombres pre* miers avec lin nombre donné N et inférieurs à N.

1**. Supposons d'abord N=«tM, a étant un nombre premier et M un facteur quelconque qui peut être divisible par une puissance quelconque de a.. Les termes de la suite i , 2 , 3 , . . . ^ N qui sont divisibles par a , sont a , ha y 3a y , , , ^ Ma ; en appelant donc X le nombre des termes de la première suite, qui ne sont pas divisibles par «, on aura

a: = M«-.M = M(cfc— i) = n(i— 1\

a®, Soît maintenant N = aCM y a et S étant deux facteurs premiers différens , et M un nombre quelconque ; on pourra distin* guer dans la suite, i , a , 3, ... , N, trois sortes de termes ; les x termes premiers avec «t et ^ ; ceux qui sont divisibles par a sans l'être par 6 , ou par C sans l'être par a j et enfin ceux qui le

N sont par a£. Les termes divisibles par a sont au nombre de -

ou MC; maî^ si l'on en ôte ceux divisibles par (T, leur nombre se réduira diaprés le cas précédent à M (C — i).

( ai9 ) De même les termea dWisibles par C ^ sans l'être par et , sont au nombre de M (a — i)j et les termes divisibles par tA sont en nombre M. On aura donc

fieCM = a? + M(^— i) + M,

Or y le premier membre etCM peut être mis sous la forme

et déreloppant , d'après la loi oonnue du produit de binômes ayant même premier terme, on aura

Comparant avec le second membre de l'équation précédante^ ou trouvera

x = M(ct-x)(C-0=N(i-^)(.-J>

3«. Soit N=«t^>M.

On pourra distinguer dans la suite i^a^S^ ...^N, qifatre sortes de termes; les x termes premiers avec à, C, y\ les termes divisibles par un de ces facteurs seulement ; ceux qui le sont par deux seulement; enfin ceux qui le sont par trois. Les

N termes divisibles par et sont au nombre de — ^ ou de VL^y ; mais

si l'on ne considère parmi eux que ceux qui sont premiers avec ^ et ^ , il n'en restera que M(C — i) (^ — i ) , d'après ce qu'on

a vu dans le cas précédent.

N Les ternies divisibles par t£ sont au nombre de — ^oude M^;

mais en ne considérant que ceux qui sont premiers avec y ,

leur nombre se réduit a M(v— i).

N Enfin ^ les termes divisibles par t£y sont au nombre de --s^ »

OU lie M. On aura donc ,

+ M(a— i) (^ — i)+M(C — i), 4.MC*— i) (3^— i) + M(> — i).

Considérant encore tffj/M conime le produit

et le comparant au second membre de l'équation précédente^ on en conclura

On déduirait semblablement le cas de quatre facteurs premiers de celui de trois; et ainsi de suite. De sorte que le& nombres premiers avec un nombre delà forme N=«6"C"3^^... et plus petits que N , sont^en nombre marqué par

S 16. Problème. Trouver combien de fois un nombre premier fl est facteur dans la suite i , a, 3 , ... N ; ou e» d autres termes y quelle est la plusfqrte puissance de 8 qui divise lepro-

Soit X le nombre de fois que est facteur dans i . a . 3 . . . N^ et désignons par £ f -r j le plus grand entier compris dans 7*

Il est évident que E f — J est le nombre des termes de la suite

1 , 2, 3 ,,..., N, qui sont divisibles par 9 5 que ^ ( p ) ^^* '*^

nombre des termes de la même suite , qui sont divisibles par fl' ; et ainsi de suite. Or^' il est évident que le nombre total des facteurs 9 contenus dans le produit 1 • a • 3 • . . N ^ est égal au nombre des termes qui contiennent une seule fois le facteur é ^ plus le nombre de ceux qui lejcontiennent deux fois , plas h

( âHl ) toOmlire de ceux qui le contiennent trois fois; et ainsi de $uite,

jusqu'à ce que r- se trouve moindre que l'unité* On aura donc

'=Kr)+KF)+KF)+*- .

Si par exemple on cherclie combien de fois 7 se tronve facteur dans le produit des nombres naturels 1,2,5 y etc., jusqu'à 10000^ on aura les opérations suivantes ,

^ / ioooO\ . ^

,/ioooo\ ./i428\ , ^

lia sonime de tous ces nombres étant i665, laplus forte puis-* sance de 7, qui divise le produit 1 .3.3... 10000 est 7'^^,

«Si Ton avait N = 6"*, les nombres Ef-rj, ETt^J .... , se-

raient 9"^» * B"*"^ . *., , 1 , dont la somme est 77: ou -x «

217. On nù pas encore trouvé de formule qui donne tous les nombres premiers et qui nen donne pas d'autres. On peut détHontter que si celte fortnufe existe , elle ne saurait être une fonction entière et rationnelle £une variable x.' Cat , soit par exemple la formule Ax"» + Ba?»**^ + Ca?"""* + ... + Tx + U j et soit a une valeur d'à: qui donne pour le polynôme le nombre ptemier p ; faisonà xz=za -^ py , y étant un nombre entier quelconque; le terme îndépehdant ày, apics la substitution , sera

A*-" -f Ba«-« -+-... +Ta -f U,

le nombre de ces termes étant m\ mi^is cette somme est le déyeloppement de (i — - 1)'"^ moitis son dernier terme qui est 4- i y parce que m étant égal à n — i , est pair. Donc i le pr/oduit 1 .2.3 . • . 7»; ou 1 . a . 3 • . • (n— i)^ est égal à unmultiple'de n , moins l'unité, et par conséquent i .3.3. • .(/i — i)+i est divisible par n.

Réciproquement y il n'y a que les nombres^premîers qui satisfassent à cette condition. £n effet ,s,\n est composé de deux facteurs inégaux , ils seront compris tous les deux dans la suite i,a, 3, ...,(n— i),et par conséquent le produit i.a.3...(/i— i), serait divisible par n. De même y si n était le produit de deux

facteurs égaux à a , ou aurait a<^-(n — i),et par conséquent

la suite i , â ; 5 , ... , (n — i) , renfermerait a et aa , et le produit serait encore divisible par a* ou par n. Donc enfin la quantité 1.2.3... (« — i) + i ^n'est divisible par n que quand n est premier.

Il résulte de là que pour s'assurer si un timbre est premier, il suflBralt de voir si le produit 'des nombres naturels jusqu^à ce nombre exclusivement, donne'— i de reste, quand on le divise par ce même nombre. ^Mais ce produit devient tellement considérable- quand n a une valeur un peu élevée , que ce moyen de vérification est réellement impraticable , et bien moins prompt que l'essai par la division. On peut cependant l'abréger, en substituant à la dernière moitié des facteurs 1, a , 3 , ..é , (n — a) , {n — i ), leurs seconds termes — i, — a , ...5 ce qui ne fait que retrancber du produit un multiple de n : alors les facteurs à égale distance des 'extrêmes, sont égaux et de

signes contraires 5 de sorte que si - (n — 1) est pair, on pourra

faire abstraction des signes —, et il faudra que

+ 1 soit divisible par n\ et si —

^est impair , il faudra que

— 1 1.2.3, ..-(«— 1) > +1 ou j 1.2.3. .,-- (« — î)| — 1,

loît divisSile par n ^ ce qui exige que l'un des deux facteurs |i,o.5... -(»— i) + i| ou ji.a.3. .• -(u—i)— i|,

soit divisible par n. Ainsi y en divisant i .a.3..« • - (n-— i) par

Tiy quand - (/t— - 1) est impair^ il faudra pour que n soit premier que l'on trouve + 1 ou — i pour reste.

Becherche des valeurs singulières que prennent dans certains cas les fonctions ^une seule variable.

On ne connaît pas de règles générales au moyen desqudles on puisse , dans tous les cas ^ déterminer les valeurs des fonctions qui se présentent sous une forme illusoire quand on donne à la variable dont elles dépendent , certaines valeurs particulières. Nous nous bornerons à faire connaître deux théorèmes au moyen desquels on peut , dans un grand nombre de cas, déterminer les valeurs singulières que prennent les fonctions de La forme

lorsqu'on y suppose a:»= oo .

aai. i*''TH£OR]àM£. Si, pour des valeurs croissantes de x, la

différence

converge vers une certaine limite k> la fraction

convergera en même temps vers la même limite» .

Supposons d'abord que la quantité ftait une valeur fmie^ et désignons par f un nombre aussi petit que l'on voudra. Puisque des valeurs croissantes de x font converger la différence

vers hi limite fe, on pourra donner au nombre h une valeur assez grande pour que , x étant égal ou supérieur à A , la différence dont il s'agit soit constamment comprise entre les limites

Cela posé , sî Ton désigne par n un nombre entier quelconqme, cbacune des quantités

fih+i)-/{h) fih + u)-fih+i),

6lC« • • •

«t par suite leur moyenne arithmétique, savoir,

,Kh + hn)-f(h)

9e trouvera comprise entre les limites ft — i , fe +«• On aura donc

« étant une quantité comprise entre les limites — «, + 1* Soit maintenant

L'équation précédente deviendi-a - .

et l'on en conclura

/(x)=:/(ft) + (a;-ft )(* + «), '

De plus, pour faire croître indéfiniment la valeur de a:, il suffira de faire croître indéfiniment le nombre entier ji, sans cbanger la valeur de h. Supposons, en conséquence , que dans l'équation (2) l'on considère h comme une quantité constante.

et Ji; comme une quantité variable qui conterge vers la limite cù.

Les quantités.

renfermées dans le second memlnre^ convergeront versl a limite Eéro , et le second membre lui-même vers une limite de la forme

« étant toujours compris entre — i et +i. Par suite ^ le rapport

aura pour limite une quantité comprise entre ft-^t et & + <• Cette conclusion devant subsister ^ quelle que soit la petitesse du nombre i , il en résulte que la limite en question sera précisément la quantité h. En d'autres termes, on aura

(3) . . . limX^^ k = lim. [/(x+i) — f(x) ].

Supposons , en second lieu , A = oo. En désignait alors par H un nombre aussi grand que l'on voudra , on pourra toujours attribuer au nombre h une valeur assez considérable , pour que y X étant égal ou supérieur ii A ^ la différence

qui converge vers la limite oo, devienne constamment supérieure à^; et^ en raisonnant conosne ci-dessus^ on' établira la formule

Si maintenant on pose A+ 7t=a7, on trouvera , au lieu de Fé* quation (2) , la formule suivante

^>ffl)+„(.^^.

èe laquelle on conclura , en faisant conT«rger x ters la limite 00 ^ \

La limite du rapport

sera donc supérieure au nombre H, quelque grand qu'il soit Cette limite supérieure à tout nombre assignable ne peut être que l'infini positif.

Supposons enfin 6 = — oo. Pour ramener ce dernier cas au précédent, il suffira d'observer que, la différence

ayant p^ur limile -^ oo , la sulyante

—f(x\ aura pour limite + oo. On en conclura que la limite de — ^-^

est égale à + oo , et par suite que celle àe^-^ — ■' est égale à — ooj

CoAoïxAiBS. Pour donner une application du théorème précédent, supposons

L étant la caractéristique des logarithmes dans un système dont la base surpasse l'unité. On trouvera

/<x+i)-f(*) = L(x+O^L(x)=sL(i + i).' et par suite

On peut donc affirmer que, x venant à croître indéfiniment,

le rapport

( aû9 )

conyergera Ter» la liinke zéro; et îl en résulte <pie, dans un système dont la base est supérieur^ à t unité , les logarithmes des nombres croissent beaucoup moins rapidement que les nombres eux-mêmes, GoROLLAUE. Supposons ^ en second lieu j^

A désignant un nombre supérieur à l'unité. On trouTcra

/( X -t- 1 ) — f (ce) = A**'— A' = A« ( A — 1 ) ,

(t par suite

On peut donc affirmer que^ x venant à CBoitre indéfiniment , le rapport

oourerge vers la limite po ; et il en résulte que l'exponentielle A', lorsque le nombre A surpasse l'unité y Jinit par croître beaucoup plus rapidement que la variable x.

G>ROixAiRE. On doit observer , au reste , qu'il n'y a lieu à chercher par le 1^' théorème la valeur du rapport

correspondante à x =: 00 , que dans le cas ou la fonction /"(a;) devient infinie avec la variable x. Si cette fonction restait finie

pour .rr= 00 , le rapport*^ aurait évidemment zéro pour

limite.

Je passe au tbéorème qui sert à déterminer dans plusieurs C9S la valeur de

pour X = 00. Voici en quoi il consiste :

aa2. a* TnioBiMis. Sij la fonction y(|x) étant positive

( 23o ) pour de très grandes valeurs de x, le rapport

converge, tandis que x croit indéfiniment^ Vers la limite k, l'expression '

convergera en même i^mps vers la même limite.

Supposons d'abord que la quantité h , nécessairement positive , ait une valeur finie , et désignons par t un nombre aussi petit que l'on voudra. Puisque des valeurs croissantes de x font couvergn* k rapport ' .

vers la limite hy on pourra donner au nombre h une valeur assez grande pour que, x étant égal ou supérieur à A , le rapport dont il s'agit soit constamment compris entre les limites

Cela posé> sî l'on désigne par n un nombre entier quelconque , cbacune des quantités

m + l) /(ft + 2) /(ft + n)

et par suite leur moyenne géométrique , savoir >

rfittnTf L fih) J

se trourera comprise entre les limites k — t, k+i; on aura donc • . '

u étant une quantité comprise entre les limites Soit maintenant

h «4- 71 zs: X.

L*équation précédente deviendra

^^-mr

znk + u,

et l'on en conclura