L'APPLICATION DE L'ALGÈBRE A LA GÉOMÉTRIE
Problèmes déterminés.
a3o. 1*' pROBiisAfE. UécoMTOSER en facteurs linéaires la différence des puissances m""" de deux Hennés données.
Prenons l'une de ces lignes pour unité , et représentons l'autre par Xy la différence de leurs puissances m*^'"" sera x*" — i. Nous aurons la formule des facteurs de ce binôme en résolvant réquatîon x"* — 1 = 0.
Or , on sait qu'il suffit pour cela de poser
Gosy± y — 1 sîn.j^= 1 , parce que l'on aura
X = 1/ 1 =oos — ±: V — 1 sin -^ ;
y sera déterminé par les deux conditions sîn^ =0, cosj' = 1 ; ce qui donne j^ = anv , n étant un nombre entier quelconque^ Il résultera de là
X = cos rt V^ — 1 sm — .
Pour' en déduire les tti valeurs de x , il suffira ^ quand m sera pair , de faire passer n par les valeurs o, 1,2, ..,,5771— i,et quand 7n sera impair^ de donner à n les valeurs o^ 1 ^ 2 ^..^ ^ ( m — i) ; car on fait voir facilement que les 771 valeurs correspondantes
de X seront différentes les unes des autres , et que oelles <}iie donneraient les valeurs suivantes de n rentreraient indéfiniment dans les premiëreSi
On parviendrait çncore au même résultat en faisant passer n par les m valeurs ^ o , i, a , ... , m — i^ et ne prenant que le signe
supérieur de k — i .
Il suit de là que quand m sera pstir^ le binôme x"*-^! sera le produit des facteurs
H'fr . ^ y—— , a*
07—1, X — 006 K— 1 sm ; — ,
:p— cos — -f- v^'— ism — ,..,.., 7n m
cos — (i^— ^ 1 ) — |/ — 1 *^^~ (?''*"" ^)}
"WTT
COS (ïTO— 1 )+V — 1 Sm ■;;;;- (fm — l), X+1.
Lorsque m sera impair, a:"— i sera le produit des facteurs (x — i),fa; — cos— — vZ—ism — ),
X — cos 1- V^ — 1 sin — ),...,
cos
— V/— 1 sin
Pour construire géométriquement ce produit au moyen de facteurs linéaires , on remarquera que le produit de deux fac^
teurs conjugués qui ne diflFerent que par le signe de {/ — i est
réel, parce que le produit de x — cos a — V^— i sinfl par^
;r — çosa+ K — I sin a est ' identiquement égal à........
( X — cos a )* + sin* a.
{ 3o5 ) D'après ^^la , Fou aura pour m pairj
*--» = (^-0(*+i)£(x— cc«^)V «n«ilT. . . .
et pour m Impair,
Or^ si l'on décrit du centre O Çfig. laa) un cercle ayant pour rayon l'unité, que l'on prenne une distance OA==a:, et que l'on partage la circonférence en m parties égales a partir de,B , les perpendiculaires MP, NQ, . . ., seront les sinus des
"^"^m ' tÎ' •• • •> ^* les distances OP, OQ,. . . .,8eront leurs cosinus. On ^ura donc
O08 - j + sm» - = AP + ftlP = AM == AM X MV,
etc.
Dans le cas de m pair , le facteur x +i donnera AÇ; et dans l'un et l'autre cas, la différence a?'»— i sera le produit des distances du point A aux m points de division de la circonfércmce.
a« PROBLÈm. Décomposer en facteurs linéaires] la somme des puissances tn'^""*' de deux lignes années. ^ Prenant encore l'une des lignes pour' unité , et désignant l'autre par x, il faudra chercher d'abord les racines de l'équation
^ + ï = O, qui donne x=: j/-— 1 .
faisant cosy ± ^/-^ i BÎtt^ sar •— ï , ofà en tîr«
(^uand m est tmiMiir, on dc^nne à n les 'fleurs successives , o y 1 , a^ •••>»( wt— ï); "et l'on déduit de rette formnle les m valeurs de x. 11 en résulte que 0?*"+ * ^^t le produit des facteurs
(r— cos — — V^— 1 sin — ), m m/
jj^ir— cos~+ l/^ sîn j^,...,(x+i).
Quand nléstï*àtir,ilfaut*dorteerànlesTaleurso, 1,2^...,^ m— i, et Ton trouve <jue x"+i est le produit des facteurs.
On construira les facteurs réels du second degré, comme dans le problème précédent, avec cette seule différcn'Ce que les divisions de la circonférence en m parties égales ne com- QÀëttiCePOiit i^as-aa i^oîst B*, otais au -point qui eoi serait distant
de l'arc — .
THÉORiMB. Si une circonférence est divisée en m parties égales , et qu'on prenne l'origine des arcs en un point queU tMcjUa^'h. é'orrtmedes s'inu^ des m arcs terminés â cespoiritsde diuisi^fts sera'Tttiite , dinsi que la stymme de leurs cosinus.
Cette piroptïété est ùiie conséquence immédiate de ce que le •îè'etitîredu* cercle est le 'cëtitrje'des moyennes distances dès m points de division , et que par conséquent la somme des di-* ëtstnces 'dé 'ces points à tout diamètre est nulle. Mais on peut la déduire de *la consîdéfâtloti des racines de Péquatîon binôme x^"^ i s3*o, ainsi que plusieurs autres propriétés re* marquables. " •
On obfierrera pour cela que dans celte équation les termes en X manquant depais :#" , la somme des racines est nulle ainsi que celle de leurs, produits deux à deux, trois à trois ^ . , . , m^i à 771-— 1 ; et pçir conséquent il en est de nouàme delà somme de leurs carrés ^ de leurs cu})es^ • . .; jusqu'à leurs puis* sauces (/Ti—i)*^"*" inclusivement.
Or les 771 racines de l'équation x"*— :l1 =o se tirent de la formule
X = cos + 1/ — r i sin ,
en donnant à^ n les valeurs successives^ o, i^a^ ..., 77t— -i; faisant la somme de toutes ces racines > et égalant sépatéme.nt à zéro la partie réelle et la partie imaginaire , on aura
cos — + C03 — + cos — -f- . . . + cos -^^ ^— = G ,
smo «4- sm — -f- sm — -f- sm — -f* . . . + sin = o.
Jusqct'ici la propriété n'est démontrée que pour le cas oii l'originedes arcs est l'un -des points de division; mais on l'étendra facilement à une origine quelconque; en remarquant que si Fon
multiplie toutes les valeurs de x par cos a -4- v/— i sin a , leur somme^n'en sera pas moins nulle ^ et tous les arcs se trouveront augmentés de a ; ce qui conduit. ^ux for;Daules générales :
cûsa^-^osTo.-*) — \'^cosfa+ — j-f>-«+cosria!+— — i-j=o,
sinai^ sia/a4^ j-f8in^a+-j^^ +. . >+sm^a+ ^"^^^M as o.
THÉonisiE. Si Fon partage une circonférence en m parties égaks , la somme d^s carrés des cosinus des arcs terminés à ces m points de divisions , sera égale au carré du rayon mulr
tiplié pqr -m, et il en ^ra de même de la somme des cairés
des sinuè de ces arcs.
En effet , d'apir^ ce que nous avons tu dans le théorème précédent f la somme des cari^ des racln^ de l'équation x"*-^ i =:t: o est nulle, et le sera encore quand on les multipliera par une
expression quelconque de la forme cos a -f- (/— * i sin a; ce qui ne fait qu'augmenter les arcs de a, * Or, le carré de
se réduit k
Maintenant , si l'on fait la somme des m valeurs que détermine cette formule générale ^ et que l'on observe que la somme des troisièmes termes est nulle , d'après le théorème précédent y il s'ensuivra d'abord que la somme des carrés des cosinus des arcs en question y est égale à la somme d#s carrés de leurs sinus. Or y la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un même arc, est égale au carré du rayon ou à l'unité , en prenant ce rayon pour unité *, la somme des carrés des sinus et des xx>sinus des m arcs, est donc égale à m) par conséquent" chacune de ces
deux sommes est égale à - m.
S* Problème. Calculer le rayon dun cercle tangent à trois droites données.
Si nous supposons qme les trois droites se coupent deux à deux , il y aura quatre solutions. G>nsidérons d'abord le cercle O inscrit dans le triangle ÂBG (Jig* 1^3), formé par la rencontre de ces droites; désignons par a , b , c^ ses trois côtés, par S sa surface et par R le rayon du cercle inscrit; on aura
s = AOC 4- BOC 4- BOA = -bïi +-àR + -cïi}
SemUablement^ on aura pour le centre O'j S=:A(yC4-BO'A— B0'C = i6R' + -cR'— -aR'j
d'où
On aura de même pour les deux autres cercles O^ , O*, «
1^' CoBOZXAiRE. Si Ton multiplie entre elles, les -valeurs de ces quatre rayons ; on trouvera
RR'R''R* = p(p — ii)(p — A)(p— c)«3S«.
Le produit des quqtre rayons des cercles tangens à trois droites qui se coupent deux à deux, est donc égal au carré de la surface du triangle déterminé par ces trois droites.
2* GoBOixAiRE. Si' Ton suppose que les deux points B, C , restant fa^na, ainsi que la direction BA^ le point A s'éloigne indéfiniment , les deux droites BA , G A , tendront à dcTCuir parallèles*, cherchons ceq^ue devient la formule qui donne le rayon , R, quand CA devient parallèle à BA. Menant liai perpendiculaire CD à AB et faisant C©=A, BD=:«fc; les quantités a,hyU^ B seront constantes. Les variaUes b^.Cf s'approcheront de l'infini^ mais leur rapport aura l'unité pour limite^ car
i-=A» + (c-cOS ?-* +
Or, .
aS V(a+b+c) {a-j-b—c) (a-4-c— i) {b+c— a)
V^p^(a— c)»] [(g + c)'— fe»]
afa-\-b+c)-
(3io) Kemplaçant 6* par sa Taleur A* -f- c* — aca + «* , il Tient
^/(fc» — a^+it* — acflt -H 2ac) (a* — /t* — ae" + aac + sc«)
Diyîsant chacun des facteurs sous le radical par c , ainsi que
' . . . . . fr
le dénominateur^ puis faisant c infini ^ et obseryant que - se ré-
duit à 1^ on trotrve ,
Ce qui donne pour R la moitié de la perpendiculaire AD; comme on pouTait le prévoir.
4*PROBLiBiE. {Fig. 1224). Trouver r expression du rayon du cercle circonscrit à Un triangle ABC ^ dont les côtés a > b, c sont donnés.
Soit R le ra^on du cercle circonscrit O^ Abaissons la perpen* diculaîre BD à AG^ tirons le diâmëtfé BE et joignotiâ EC^ les triangles semblables BAD, GB£ donneront
BD : c :: a : aR; d'où ft=r7-^?^.
^b X BD
Or 6 X BD est le double de l'aire du triangle ABË ; donc
abc
4</p(p-a)(p-6)(p-cy
5* ^obiAme. {Fig* ia5). Trouver les deux diagonales d^un quadrilatère inscrit ASCD, en fonction de ses côtés a^y b , c , d.
Désignons par x ety les diagonales BC, AD; les deux angles B et G étaxit s^upplémens l'un de l'autre, leurs cosinus sont égaux et de signes contraires ; on a donc
aab \ ucd J^ ,
y*^ {ab+cd) ir=cd(Q!'+b') + ab (t»+rf») = (ci+rfa) (joa+bd),
. /{cb + da) (ca + bd) et par suite >^ = y/ -^^^ .
Les cosinus des angles A el D donneraient sembUblemeiatt
6 4- ce?) (gç + Aif) /
i^** CoRoiXAiRX. En multipliant entre elles ces t^kuiri de r
et y ,»on trouve ,
xy=:cc +bd.
Ce qui fait Toir que /b rectangle des diago-nales d^un quadrilatère iîiscrit est égal à la somme des rectangles, des côtés opposés.
a* CoROLLÂXRB. En divisant Tune par l'autre les deux mêmes expressions , on obtiendra
X ab ^cd
d'où il résulte que les deux diagonales itun quadrilatère inscrit sont entre elles comme les sommes des rectangles des côtés qui partent des extrémités dephacune déciles,
6* PaoBUEBiE. Étant donnés la surface et le périmètre d'w triangle rectangle , trouver ses trois côté$.
Soient a son périmètre, m* sa surface , x rhypotcnuse, etj', ss , les deux autres côtés. On aura
La première équation donne
On aura donc , en vertu de la troisième équation ,
x'=(a— xV— 4m*: d*où x=:-a .
Pour trouver* j' et z, on remarquera qu'on conn:ît leur somme a'-^x:=::' ^ — - , et leur produit 2ni*'jy et z sont donc
racines de 1 équation r — l - -f J
et par conséquent leurs ralears sont
7* Probljimb. -É/an« donnés le périmètre et la hauteur âfun triangle rectangle , calculer ses côtés*
Soient, X l'hypoténuse, ^ et a les deux autres côtés, h la hauteur donnée et a le périmètre. On aura
De la première équation on tire y-i-zssiÇa — x) ; d'où y +a*=:(a— x)*— ^s=(a— x)*— aAx ; et en yertu de la troisième il vient
(a— x)*— aSx ss x^', d'où x =
Omnaissant x, on en déduira facilement jf et z , puisque leur somme est a^— x et leur produit hx.
8* Problèbcx. Étant donnée thypoténuseh dun triangle rectaufcle , ainsi que ta somme a des deux autres côtés x > y , et de la hauteur z , trouver les inconnues x , y , z.
Les équations qui détermineront les inoonnues Xyjy £,sont
La première équation donne
(x + yY = (a — zy ; d'où x* +y* = (a — z)* — 2bz., et d'après la troisième équation , il vient
(fl — z)*— aftz = ^* ; d'où z=a+ô ±; j/âôé+âÂ*-
- Il est évident qu'il ne faut prendre que le signe inférieur du radical , puisque la hauteur z est nécessairement plus petite que à -f- i, ' Connaissant z, on déterminera x ety dont on eonnattra ta
Si
somme a ■— a et le produit l>z \ de aorte que x et ^ seront racines de l'équation
Si l'on aTait cherché l'équation finale en x , le calcul aurait été beaucoup plus compliqué. On aurait tiré des deux premières
et reportant d^ms la troisième , on aurait obtenu l'équation X* + 26x3 ^ i»x« 2i»(o + 6)x + i» (a* — A') = o.
Son premier membre se décompose en deux facteurs du se^ coud degré, qui , égalés à zéro > donnent
(a). . .x»+(6— v/afl6-f.26»)x+i*+ci— iV^aaH-âi*=o.
Les deux racines de l'équation (i) étant négatives, doivent être rejetées \ les racines de l'équation (a) expriment les valeurs de X et y , puisque ces deux dernières quantités entrant de la même manière dans les équations données , auraient conduit à la même équation finale. On voit que l'équation (a) est précisément celle que le premier calcul a fournie. *
9^ PBOBI.ÈME. Connaissant la somme a des deux côtés x , y, de l'angle droit , et la longueur h de la perpendiculaire abaissée du sommet de [angle droit sur Ihypoténuse z , trouver les trois côtés x , y, z. On a
(i).,.x+j'=c> (a)...xy=Az> (3). . .x'+j'zria*.
Les deux premières équations donnent
X* + J'* = a* — a/rz.
Egalant les valeurs de x^+J'*» on obtient Péquation finale
4*=;sa*'^afo,
car z doit être positif.
z étant connu , les équations (i) et (ft) font voir que x et y seront les racines de l'équation
Si l'on avait cherché Féquation finale en x^ on aurait tiré des équations (i) , (a), les valeurs
y — a^x, g=a ^ ^ , qui, reportées dans (3) , auraient conduit à
équation qui se décompose dans les deux suivantes :
(4) ... X*— •ccx--A* + feV/A* + <?=o,
(5) ... X*— oo:— A»~Av/A*-f a*=o.
Or I des deux racines de l'équation (5) , l'une est négative (puisque le dernier terme est négatif}^ et l'autre est positive et plus grande que a (puisque la somme des racines est égale au coefficient a) ; ces deux racines doivent donc être rejetées ; oû ne doit donc prendre que les deux racines de l'équation (4) , elles font connaître fi la fois x et j^ ^ puisque ces inconnues entrent de la même manière dans les équations primitives. On voit que cette équation est la même que Celle en t qu'avait donnée le premier calcul.
lo* P&OBLiMs. Trouver les trois cotés dun triangle tec^ tangle, àonnaissant la somme a de ces côtés ,etla somme h de la hauteur et de Vhypotérmse,
Soient, X l'hypoténuse ^yelz les deux autres côtés , et A la hauteur , on aura les équations
x+jf-J**=^^> x-}-A=si, hxzssyz, y^-j^z^zrzxK
( 3i5 ) La !'• et la 3* donnent
jf» -j- a* S3 (a — ar)* — afto? ;
d'où , au moyen dç la 4* » on tire
(a — a7)**^2Aa;=j:*, ou a'— aaa:-— aAxssOj équation qui y jointe à la 2^ ^ donne
Mais 6 étant néçessairejEnent plus petit que a^ le radical ne saurait être pris avec le signe supérieur , parce qu'alors h serait négatif; chacune des iaconnues a?^ h , n'a donc qu'une seule valeur. Quant \ y et z^ on connaît leur somme a— a: et leur produit hx \ ils sont donc racines d'une équation du second degré dont les coeffîciens sont connus ; on aura donc deux valeurs pour chacune de ces inconnues \ mais comme elles entrent symétriquement dans les équations ^ cette équation du second degré aura j^ et 2 pour racines ^ et le problème ne sera susceptible que d'une seule solution.
Si l'on avait cherché l'équation finale en jr ou en z , on l'eût trouvée du quatrième degré, et on l'eût ramenée au second, comme dans les problèmes précédens.
11^ Problème. Etant donnés ^ h périmètre, l'angle A et la surface d^un triangle y déterminer ses côtés.
Soient a: et j^ les deux côtés qui comprennent l'angle A, et a le troisième côté; désignons par a le périmètre, et par &^ la surface du triangle; les conditions données fournissent les s équations
X'^y'^zr^a, cosA= ■ , xy s}nkr=iQb\
!2xy
Reportant dans la a* équation la valeur de xy tirée de la 3* >
on parvient à
• . « • • 4i*cosA
•^ smA
(3i6) La 1'* équation , combinée avec la dernière^ donne
x* + y* =5(0—4^— 2xy=3(a — z)*—^r^.
Egalant ces deux Tafeurs de x* +^* , on trouve
2i*/i4-cosA\ ^ a \ sin/.; /
Or, sIn A = asm^Aco8^A, cosA = acos'iA^— i >
1 + cos A ^ acos*ï A
donc
Donc
sin A a sin 7 A cos 7 A
«.= - — — coi? A* 2 a
cotîA»
On en déduira facilement les inconnues a: et y, ca^r on con-
naît leur somme a — a et leur produit -, — r •
■^ sm A
1 a^ PftoBLiBfE. (fig. 1 a6). JDan^ u?» nng/e donné XAY, mener
une droite minimum MN, <e//e, çue /« triangle AMl^ ^ozt fg^ai^
d une surface donnée wlK
Soient on aura
MN = a, AM = x, AN=jr-, z* = x^^my* aary cos A.
L'aire AMN ayant pour mesure {-xj^sinA, et devant être ^ale km^j il s'ensuivra
• A « 1» 1 • • . * 4m* cos A
a:ysmA = 2m*, dou **=x* + y*— — : — 7 — .
•^ • -' smA
Pour trouver le minimum dez^^on égalera à zéro sa dérivée , et remarquant que la dérivée du produit constant xy doit aussi être nulle , on aura les deux équations suivantes, dans^ lesquelles x est la variable indépendante,
y + xy' = o, :ix + Qyy'=0',
d'où
y =i^ - / et par suite ax — -^ =q>
( 3>7 ] ce qui dotine a:* =^* , ou x ^±y ; '
•car ^ le produit xy étant positif ^ x et^ doivent être de mêmes
signes.
L'équation xy sin A*= am* devient
x*s\nÂ.z^am*. d'où x=ml/-: — -. =y.
V sinA -^
i3* PBOBLèME. {FifT, 127). i^ton^ donnés un angle OBV, c^ li/t point A. sur le côté OB, inscrire dans cet angle une droite MN ^ eTi/ne Ipngueur donnée^ de telle sorte que l'angle MSI A soit égal nOBV.
Soient MN = û, AB=:fr, BN=a:.
Les deux triangles semblables , BAN , AMN , donnent
xlallblàH} ffoh AN = — .
Maïs on a d'ailleurs ^
ÂN^ÂB+BN^aABxBNcosB, ou AN:^i»+x»— aix ces B ;
tlonc — - = 6» 4- X* — aix cos B ; d'où
x^ — 2ix3 cosB + 6*x*-^a'A» = o.
Cette dernière équation fournit toujours une valeur réelle positive de x.
i4« Problème. (Fig*. iflS). TVoMvef fcj côtés x, y, z cFu» triangle , sachant que ces côtés et la hauteur h du triangle forment la progression arithmétique .
Cette progression donne
(1) ... 2y=x + «, aa=j^ + A.
Or, AD=: ï/x« — A% BDjs; v/p^^*, AD + BD = » j
donc (a).. .a=V^x»-A-+V/y*- A*.
Une des inconnues «, ^, «, h reste arbitraire, car on n'a que les trois équations (i) et (2), entre ces quatre ificonnues. Les équations (1) donnent
y =?: aa — A , x:sz3z — aA.
Reportant ces valeurs dans l'équation (2) ,,elle devient
' |/ (3a — 2A)*.— A»+ l/(aa — A)*— A* = z.
Si Ton fait successivement disparaître les radicaux , On trou-
vera
^ft3 48aA* + 88a»A — 48a3 :;=:.o.
Cette équation renfermant deux inconnues a , A , on peut assigner des valeurs arbitraires à l'une de ces inconnues *, l'autre inconnue dépendra d'une équation du troisième d^ré , qui aura toujours une racine réelle positive. Le problème admet donc toujours une infinité de solutions.
x5* "PviOwshsB. ( Fig. 1 29). Etant données la bfise AB d'un triangle ABC , et une droite MN sur laquelle se trouve le sommet inconnu C; sachant de plus qu^ la base est moyenne arithmétique entre les deux autres c^tés , résoudre le triangle.
Concevez la perpendiculaire CD à AB j soient F le milieu de AB y et E le point où AB prolongé rencontre MN. Faisons^
AB = c, FE = A, BC — AB=a:.
Nous aurons BC = a + a? , et AC =ra — or,
puisque a est moyenne arithmétique entre CB et AC Mais
„^ AB 4-BC — AC* , a
»ï^= 5ÂF =ax + -î
donc
FDrsaa-, PE=&— ax, CD 3= VcB^'DB*=y ^a» — 3>t Or GD =?= DE X tang E.
SabstitQànt dans cette dernière équation les valeurs précédentes de DE et de CD j il vient
i/i a*— 3a:»= (6 — ao:) tang E.
Elevantaucarré, et faisant tangE = ïï*, on trouve
(0 • . . (47îi* + 3)x* — 4bm^x + (m*6* — | a«) =o ; ce qui donne
Pour que x soit réel, U suffit et il faut -que ^^
S û* + S/n^d» — 3TO*i* ne soit pas négatif.
Quand m'^ft* > | a*, les deux racines de l'équation (i) sont ^sitives^ et leptcAième-admet deux solutions.
Lorsque m^ô* = | a% une des valeurs d^ est nulle , et détermine pour ASC un 4ir4angle éçuBatéral.
Enfin , quand 7?^^^ < f«» , réquartâon (i) ii'ayantq[u'une seule racme positive., il n^y à qu'une solution.
1 6* PaosiiME. ( Fig. 1 3o). Eùant donnés les angles , le périmètre et ta surface d'un trapèze ABCD , trouver ses côtés.-
SoicHtt, c le périmètre ,€t è* la surface du brapèze 5 désignons AB par j^^etJSG par y , nous aurons
CE:^::sinB:sinE, et BE:y:;sinC:sinE;
d'oii , -en 'représentant par m et n les rapports .connus de -ces sinus , CE =:= my , BE = ny,^
Désignant de même par -p et (7. ies 'rapports oonnus de AD à E A et de ED à E A , et remarquant que AE =3 a; -|- ny , on aura
AD = pix-^ny)^ DE ^^ ç(^+ny) , CD^=^^ix+ny) -^ my.
Faisant la somme des fjuatce côtés du «trapèxë^ l'égabuoct à a , et posant
on parvient à
De plus , les triangles EAD , ÈBG , ayant leurs angles donnés ^ il est facile de construire un triangle qui leur soit semblable , et d'en déduire le rapport qui existe entre l'un quelconque d'entre eux, et le carré d'un de ses côtés. Pn peut donc r^arder
comme connu le rapport r de EBG à BC^ et le rapport 5 de
EAD à A£^ ce qui conduit à
EBG = r X BC = ry*, EAD =ss X AEi= s(x+nyY.
La surface du trapèze étant la différence de ces deux triangles et étant égale à 6* , il en résulte l'équation *
qui , jointe à *r + ^ = ^ j déterminer» les valeurs de x et jf •
17® PaoBiiÀMs. {Fig. i3i). Par un point B donné sur la ligne qui divise l'angle droit Y'AX en deux parties égales , mener une droite BMN telle , que la partie interceptée entre ces droites soit d^une longueur donnée aa.
Soit ^ la distance du point B au milieu de MN , et 3 la perpendiculaire abaissée de B sur AY' ; les deux parallèles AM, BC^ donnent
AM : BC :: MN : bn, ou am : b :: aa : x + a, AN : AC :: MN : bm, ou an : 6 :: aa : x — a.
De plus , AM 4- AN*= MN = ia\
Remplaçant AM et AN par leurs yaleurs, déduites des deux proportions , on parTÎent à l'équation
xi — 2(a» + b^)x^ + (a* — ai*)a« = o , qui donne , en rejetant les yaleiurs négatives de x ^
X — Va^ + 6* ±: ^b^ + 4a*ï^-
( 3ai ) Ces deux râleurs de x seront réelles si Ton a
a» + fc*>v/6*+4a*6', ou a*>i»j
c'est-à-^ire, si la ligne donnée 3a est plus grande que la per^ pendiculaire KH menée à AB par le point B,>et terminée aux côtés de Fangle Y'AX. Quand cette condition est remplie , il y a quatre solutions , dont deux sont comprises dans l'angle Y'AX y et les deux autres dans chacun des angles droits adja* cens. Lorsque a* = a6% les deux premières solutions se réduisent à une seule. Quand a*<^ a6*, il n*y a que les deux solutions comprises dans l'angle TAX et son opposé au sommet.
Connaissant x , on construira AM ou BM , et on ea déduira immédiatement la direction 1^.
Le problème se résoudrait de la même manière si l'angle donné n'était pas droit.
18* Problâms. {Fig. i3!i). Mener par deux points donnés AyBfUn cercle tangent à un cercle donné R
Soit G le centre du cercle cherché , et E le point de contact ; ^ abaissons sur la droite indéfinie AB les perpendiculaires CD ^ FG; menons FK parallèle à AB , et prolongeons DG jusqu'à sa rencontre H avec FK. Faisons
AB = aa, FH=i, FG=c, EF = J, CD = x;
nous auroim
GH = c— X, CF = FR+'m = h^+ic'^xy.
Mais les cercles se touchant extérieurement en £ , on a
Donc i»+(c — x)* = a»+a:* + *4.flrfv/?+a:*; d'où ûJ^/a»+x* = i* + c»— a» — d*— acr..
ElcTant les deux membres au carré y et faisant*. •••••••
b^'{^€^ — c*-r-rf' = a/»-, ilyient
(d* — c^)x^ + am^cx + a*d*— m^= ;
ai
uOCI -JB ÏTÏ ^— — ^— — iiow» . Il ■—■— — ^w I— Il ,
Mais si l'on avait considéré un cercle tangent y danâ Pintérleur mquel se serait trouvé le cercle F i il n'y aurait eu de différence ^'ai ce que Pon autait eu
GFsCB-«<2, «u lieu de CFsisCB+il;
^t comme d n'entre dans x qu'au second degré ^ il s'ensuit que ces deux valeurs de os conviennent l'une au contact ultérieur, l'autre au contact extérieur.
Les élèves discuteront cette formule ^ et reconnaitront facilement dans quel cas elle est réelle ou imagiBaire > positive ou négative , et quelles %;>nt les circonstances géométriques cortes* pondantes.
19^ PftOBi^ÈME. {Fig. i33). Etant donné un j)oini lavaineuos A, <foô partent des myons divergens , ifui viennent frapper une surface sphérique réfringente VB ^ dont Je ceatte est Cy trouver le point qù chaque rqy^çfn lumineux réfracté rencontre le diamètre.de la sphère qui passe par le pcknt iumineuœ,
La réfraction est la déviation que subit un rayon de lumière en passant d\in milieu dans un autre. On sait qiie le rayon incident et le rayon réfracté sont dans un même pl^n avec h normale menée au point où ils rencontrent la surface qui sépare les deux milieux , et que tes sinus des angles qu'ils font avec cette normale so&t dans un najp^pprt constant, qudle que soit l'inclinaison du rayon incident sur la surface.»
Cela posé 9 sôit AB un rayon incident ^ qui se rétracte suivant BD. AlMtissons BG , Œ; CF;, perpendiculaires sur les directions AD, AB, BD.
Si l'on fait AC = a, JîCrBr, CG = d, W—z; on aura
AG = a — J, BG«=V^f*^— d%
( 3fl5 )
On en déduit
zy/Çmj* aV/r»— d*
j/r» — d» + (d + j6)» V/a*+ adx 4- /• '
et y comme on connaît le rapport des sinus des angles d'incidence et de réfraction , on peut poser
Πo ce qui donnera^ en substituant les yaleurs de CE et de CF^
Suj^imant le facteur commun a yr^ -<«• d* v J^ élerant le résultat au carré, il vient
(0 • • -f *(^* + 2d» + r") = a*(a»— flad+ r*). Faisant n*-^ aad 4- 1*--^/*» m% l'équation (i) doone
o» opiwaitra donp 2 ou CD ^ ce .q«î résout le problème»
ai.*
