DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES PLANS

a5i. i*' PBOBiiEME, {Fig. i34), JlLtjijst donnés un point A et une droite TIT, trousser le lieu des points M^ tel y que le rapport de leurs distances au point El et à la droite W\ soit celui de ma n.

Prenons YT' pour axe des j^j et la perpendiculaire XAB pour axe des x; abaissons la perpendiculaire MP sur BX; nommons x\ y'j les coordonnées du point M , et faisons AB = b'j nous aurons

AM : MP :: m : n, ou i/y* + C6— j/)"* : x' :: >#: n;

d'où «y* + («• — m'')jc?^ — . a»*5x' + n*6* = o.

Le lieu géométrique demandé sera donc une ellipse , une parabole ou une hyperbole , selon que l'on aura

n^^ntj n^^nif n^în.

La droite YT' se nomme la directrice de la courbe. Dans le €as de la parabole , tous les points de la courbe sont également éloignés de cette droite et du point F; on reconnaîtra facile** ment que cp point en est le /ôyer, en remarquant que l'équa* tiori se xéauisant alors à y^ — 3fcx+fc*=so, deyient, en transportant l'origine au milieu de AB , y^ -^ ^bx = o. " Dans le cas de l'ellipse et de l'hyperbole , on verra , en cherchant la position du centre et la valeur des axes, que le point A est un des foyers de la courbe , et que le rapport de m à n

est -, en appelant ac la distance des deux foyers , et aa le grand axe ; et enfin que la distance du point B au centre est

fl*

( 3a5 > — j d*ou il âuÎTra que , dans Phyperbole , la dîrectrîoe est entre

le centre et le sommet , tandis que dans l'ellipse , la directrice est en dehors.

On reconnaîtra de plus qu'en faisant Tarier la position relative du point donné et de la droite donnée , ainsi que le rapport —, on pourra obtenir toute courbe donnée du second degré , pourm qu'elle ne soit pas un cerde» ^

11 en résulte que toute ellipse , ou toute hyperbole , a deux directrices qui passent par les deux foyers, et que toUte parabole a une seule directrice qui passe par le foyer.

On pourrait prendre la question d^une ^lani^ inrerse, et se proposer le problème suivant , que nous nous dispenserons de résoudre.

a' Problème. D'un foyer dCune courbe du second degré , on mène un rayon quelconque à la courbe, et par son extrémité une parallèle à l'axe qui contient ce foyer, âè telle sorte que le rapport de ces deux lignes variables soit constant. On demande le lieu des extrémités de la parallèle à taxe , pour une valeur donnée du rapport , et quelle valeur il faudrait donner à ce rapport pour que le lieu fàt une ligne droite.

3* Problème. Trouver le lieu des intersections de deux tan" gentes à une ellipse ^ qui se meuvent de manière à être toujours parallèles à un système de diamètres conjugués.

Soient x', y' et x*, y"^ les coordonnées* des deux points de contact, et û^* + b*x*='a*b* l'équation de l'ellipse; les équations des tangentes seront

(!)•.. ayy+b*xx:= a^b^ , (a) . . • c*j;y*+ i*jex*= a*i».

On aura en même temps

(3). . . ûy* + 6*a:'» = a"»»^ (4). . . cy»-f 6*a:**==o*6».

De plus, ces tangentes deyant être parallèles ft deux diamètres conjugués ,.le produit des tangentes trigonométriques des

A* • angles qu'elles font avec l'axe des x ^ doit être égal à ^ ; ce

< 3a6 ) qui donne

Désignant par x,yileB coordonnées da point de renco ntre des taaigentes, elles satisferont aux équations (i)^ (2) ^ de ces droites -, et pour aroir une équation où ces coordonnées soient les. seules yariables^ ce qui sera l'équation dn lieu demandé, il suffira d'éliminer ^ %y' f^'fj^ ^ entre les cinq équations pré« cédentes.

Pour simplifier cette élimination, on obserrera^u'il suffit de trouver l'expression des produits x'x° f y y" y en fonction de s et j^ , et de les reporter dans l'équation (5). Eliminant d'abord y' entre les équations (1) et (5), il vient

Or, l'équation en x" , résultant de l'élimination de y' entre (12) et (4) , eût été la même; les deux, racines de l'équatioS (6) expriment donc o/et x' ; de sorte que

Mais , si l'on cbange les x en j^ , et 6 en a y et réciproquefilent, les équations primitives ne changeront pas^ il en sera de même de tous les résultats de leurs combinaisons; et ce changement fait dans (6) , donne

Keportant les valcfurs (7), (8), àeafx" etyy, dans l'équation (5), on trouve que 1 équation du lîeu géométrique demandé est

ay 4* fc»x* 3= aa*fi\

Ainsi , ce lien est une eiltpse ayant pour axes ax/a et b t/â , et par conséquent semblabie h la proposée , puisque, le rapport des axes est le mén^e.

-On pourra résoudre le même problème pour l'hyperMe.

4* KiOBLÈBfs. Trouver le lieu des inierseciions de deux tangentes à une ellipse , qui se meuvent de manière à faire constamment un angle donnée dont la tangente trigonomé^ trique est m.

Soit ay* +b^a^t=za*b*, Véqaàiion de Tellipsiç donnée;^ si nous désignons par p', p*, les tangentes trigonométriqnes des angles que font avec Paxe des x les deux tangentes à l'ellipae;^ on aura la condition

vri

Il s^agit d*exprimev j/ étp' , en fonction des coordonnées du

point de rencontre des tangente9. Cherchons donc une équation

qui ait p' et p' pour racines. Soit pour cela l'équation d'une

droite quelconque

y^px+q;

en cherchant son intersection avec l'ellipse , et exprimant que les deux points d'intersection se confondent en uii seul^ on trouye la condition

Désignant par sf^ / les coordonnées du point êfoh. l'on fait partir cette tangente ,.on aura

y=p3f + q, d'où qszY'^px'.

Reportant cette valeur de q dans l'équation (s) , il yient .

ou p*(o*— a/*)-+-îyxy + ^— y=o.

Les deux valeurs dep tirées de /cette équation, exprimant p' etp^ on en conclura, d'après les propriétés connues des racines.

PP

, et p-^p'^sçx

a'^ — od'

Eeportaut ces valeurs dans l'équation (i); on auni pour l-équa"*

V 3aS ) tion du liûu cherché

Chassant le dénominateur et éleyant les deux membres au carré , on trouvera une équation du quatrième degré , qui con- Tiendra aussi bien à •— m qu'à + m, puisque m n'y entre qu'au carré. Cette équation déterminera donc les deux courbes fer* mées y relatives au cas de l'angle donné , et de son suppléments Ces courbes ne peuvent être données par des équations rationnelles séparées , parce que l'équation trouvée du quatrième degré , ne peut se décomposer en deux équations rationnelles du se* cond d^é.

Remarqi7£. Lorsque l'angle donné est droit , m est infini , le dénominateur a*+ fc*— j^''— x'* est donc nul ; ce qui donne pour le liea cherché « jr* + a:* ^ca* -|- i", équation qui représente un cercle concentrique à l'ellipse , et ayant pour rayon

On ferait le même calcul pour Thyperbole.

Quant à la parabole , on trouvera pour lieu géométrique une hyperbole Sont les deux branches seront déterminées , l'une par Pangle aigu des tangentes , l'autre par l'angle obtus supplè* mentaire. Cette hyperbole se réduira à la directrice , quand l'angle donné sera droit.

S^ PftOBLàMB. {Fig^ i35). Par deux points donnés B,Gy on mène deux droites BM , CM , telleSyXjue l'angle MCB soit doubk de MBC. On demande le lieu des points M.

Prenons le milieu A de BC pour origine , BCX pour aKe des x t la perpendiculaire AY à BX pour axe des^., et faisons BC = sa* Les équations des deux droites CM , BM , seront

(i),». j2=c7»(a:-- a), (a)... y-^nÇx+a},

La tangente de l'angle MCB sera — m , et celle de MBC sera n.

^ 2tanff« , ^.-v 2îi

Or ; tans a«i = ■■ " ■ ■ -^ , ; dono (3) . • . — m= "■ ; .

' ^ i— tangV* ^ ^ 1--/1*

Eliminant m et ft entre les équations (i)^, (a) , (5)^ et obser'^

( 3fl9 ) tant que x et y > considérés comme les mémeâ dans cet équations, représentent les coordonnées du point de rencontre M des deux droites, on trouvera que l'équation du lieu cherché > se réduit à

- y(y* — Sx* -^ Qox + a*) = G,

Le facteur^ égalé à zéro, donne pour lieu l'axé des a: ; et en effet ,

quand la droite BM prend la direction BX , l'angle MBX deyient

nul, l'angle IVfCB qui en est le double, se réduit donc à zéro ; la

«droite CM est donc aussi appliquée sur l'axe des or, et tous les

points de cet axe seront communs aux d^ux droites. Cet axe sera

donc un des lieux qui satisfont à la question.

Il 7 a encore un autre lieu donné par l'équation

» j^«3x* — aax + a* =o,

qui représente une hyperbole. On obtiendra son centre O, en

portant sui( AB une quantité AO=~a. Prenant le point O pour origine, l'équation deviendra

et l'hyperbole sera rapportée à ses axes. On aura les deux som-

a mets en portant, à partir de O des abcisses , xz=z ih ^ a , et

ses asymptotes feront avec l'axe des x , des angles ayant poui:

tangentes trîgonométriques zh v/3.

La condition géométrique proposée ne donne la construction que d'une seule branche de l'hyperbole. «

On aurait pu calculer d'avance le point ou cette branche rencontre l'a^ e des x , en posant la proportion

BM : MC :: sinMCB : sinMBC :: acosMBC : i.

Faisant converger l'angle MBG vers zéro, le rapport de BM à MG tend vers celui de a à. i , et comme le point M se rapproche indéfiniment de l'axe des x , on obtiendra le sommet en partageant BC dans le rapport de a à i , et prenant CD = ^BC; c'est aussi ce que donne l'équatiop de la courbe^

CoAtO^iBà» On peut en déduire la trisection et Un an^k quelconque. Il suffit pour cela de décrire sur BG un segment capable du supplémeiit de l'angle donnée et de chercher le point M do sa rencontre avec Fhyperhole; car la somme des deux angles B^ C^ sera égale à l'angle donné , et par conséquent M BG en sera le tiers.

6* PROBLâsoL TVoui^er le lieu des centres des cercles tangens à deux cercles donnés»

Nous prendrons pour axe des x la droite qui passe par les centres A , B , des cercles donnée, parce que la courbe devant être symétrique par rapport à cette droite , il n'y aura dans Féquation aucune |)uissanoe impaire de y. Désignons par B. et r les rayons des deux cercles donnés^ par a la distance de leurs centres; supposons que A soît le centre du plus grand cercle dont le rayon est R ^ et qu'oh prenne œ point pour origine des coordonnées.

Nous observerons d'abord que le cercle Tariable peut être tangent de plusieurs manières aux cercles donnés , que nous supposerons d'abord extérieurs l'un k l'autre y sans avoir aucun point commun. Ge cercle peut être extérieur aux deux proposés ^ ou les renfermer l'un et l'autre , ou enfin être extérieur à Fun et renfermer l'autre.

Gonsîdérons d'abord les deux premiers cas ; soient O , & iJ^S' ^2^) ^^s centres, et z, z' les rayons de deux cercles pris dans chacune des deux séries de cercles tangens ; nous aurons

OA = R-f-a, OB = r4-«^ d'où OA-.OB = R — r, <yA = ;5'— R,(yB=z'— r; d'oà O'B— (yA=R — rj

ce qui apprend que le lieu des points O est une des branches d'une hyperbole dont les foyers sont A et B , dont l'axe qui coupe la courbe est R — r, et que les points C déterminent la seconde branche de la même hyperbole.

Pour trouver Féquatîon de cette hyperbole , il suffît d'exprimer les distances O A , OB , en fonction des coordonnées x , y , du point O. Mais,

OA = v/xH\y% OB = v/y + (a — x)^J

donc (i), . . v/x'+y*— V/V*+(a— x)' = R — r.

Soit a* -^ (R — r)* = tf. Uéquatîoii (i) ^ débarrassée de radicaux , se réduit k

(2). . .(R— .r)y — «a;*+ <*aa: + «t* = o.

Discutons cette équation :

Lorsque les deux cercles sont extérieurs^ on a (R — r)* <a*; « est donc positif^ la courbe est donc une Hyperbole, comme nous TaTions déjà remarqué.

Qaand| les deux cercles deviennent tangens extérieurement , opi a tt = R -f- a ; 6t Péqliation (a) se réduit à

(R — û)y — Rrj;» 4. Rr (R + r)x — 4RV i=: o.

Lorsque les cercles se coupent, on a (R — r)* < a*, et la courbe est encore une hyperbole.

Quand le cercle B est tangent intérieurement au cercle A , on a a = R — r, et l'équation (a) se réduit à (R — r)y=o; ce qui donne l'axe des a:, Et, en effet, les cercles tangens aux deux proposés, soit extérieurement, soit en les enveloppant l'un et l'autre , auront nécessairement leurs centres sur la droite qui joint les centres A et B, puisque leur contact ne pourra jamais avoir lieu qu'au point même de contact des cercles A et'B.

Enfin i lorsque le cercle B devient intérieur au cercle A , on a ^ ( R — a )* > a* , et l'équation (2) représente une ellipse.

Pour expliquer ce changement , il sui&t d'observer que , lorsqu'on a fait disparaître les radicaux de l'équation (1), on a obtenu le même résultat que si le premier membre eût été leur somme au lieu d'être leur différée ce ; l'ellipse que l'on obtient est donc celle qu'on aurait eue en posant OA+OB=:R^— r, et qui ne convient dans aucun cas à la question. Mais ces deux courbes ne peuvent être fournies que l'une après l'autre , parce que la différence OA — • OB doit toujours être plus petite que AJB , tandis que la somme OA + OB doit être plus grande que

AB. On n'aura donc l'hyperbole que dans le cas de R — r <^a, et Tellipse dans le <3as de R — r ^a.

Passons maintenant aux cercles tangens extérieurement à l'un des deux proposés , et intérieurement à Pautre. On aura alors (Jig. iS/) ,

OA = £ + R, OB = a— .f, d'où OA— OB = R + r.

Pcnr le cercle tangent extérieurement à B et intérieure* ment à A , on aurait

(yB— 0'A=R + r.

On obtiendra les deux branches d'une .hyperbole ayant pou foyers A et B , et dont l'axe qui coupe la courbe sera R+r. Oq obsenrera de plus que pour obtenir l'équation du lieu cherché, il suffira de changer ' r en ^- r, dans l'équation (2). Faisant û*— (R + r)*=:C, on trouvera' ainsi que l'équation du lien cherché est

(3)...(|l + r)y— Cr* + faj: — f*=a

Ce lieu sera une hyperbole si l'on a R + r <^ a, c'est-à-dire si les cercles donnés sont extérieurs.

Il se réduira à l'axe des x s\ R + r=a^ auquel cas les deoi cercles sont tangens extérieurement.

Enfin ^ si on a R+r^a, c est-à-dîre si les cercles donnés sont intérieurs l'un à l'autre , l'équation (3) représentera une ellipse^ quoiqu'on ait obtenu cette équation d'après une propriété caractéristique de l'hyperbole* La raison en est que , comme dans le cas précédent y la disparition des radicaux a produit le même résultat que si Ton avait eu la somme OA -f OB au lieu de la différence OA — - OB^ mais dans ce cas-ci y l'ellipse convient à la question y parce qu'elle est déduite de l'équation OA + OB = R + r, qui est précisément celle qui se rapporte au cas que nous considérons. ^

7* PaoEt^èME. (/^ig* i38). Etant donné un angle TAX» on demande le lieu décrit par le centre de gravité du triangle ABC , en supposant que l'aire de ce triangle soit constante > ott que BC soU d'une longueur donnée^

Choisissons àX et AT pour axes de coordonnées. Suit M le milieu de BC; prenant AN = | AlVI, le point N sera le centre de gravité du triangle ABC ; tirons les parallèles MP, NQ à AY , et nommons x,yj les coordonnées AQ, QN y de N^ nous aurons

MP=iBA, APz=iAC, y=fMP=iBA, x=îAP=:^ACj

d'où AB=:3y, AC = 3x.

Cela posé : i**. lorsque Taire ABC reste invariable , le pr6duit AB X AC est égal à une constante m^ Ce qui donne

ZyX3x'=im''^y

pour l'équation |du lieu géométrique demandé. Cette équation représente une hyperbole ayant pour asymptotes AX et AY. 2°. Lorsqu'on suppose que BC.est une constante a , on a

o»= AB + Âc'— 2AC X AB X cosYAX.

Désignant cos YAX par h , et remplaçant AB et AC par leurs valeurs 3y , Sx, le résultat

est Péquation du lieu géométrique demandé. Cette équation représente une ellipse rapportée à son centre. L'ellipse devient UD cercle quand i=o , c'est-à^ire quand l'angle YAX est droit. 8* Problème. {Fig, i39). Trouver le lieu des.pie4s des perpeit" ^diculaires abaissées du point ^xe A y sur une droite BC = a , que l'on inscrit de toutes les manières possibles entre deux droites XX', YY', perpendiculaires entre elles. \

Prenant AX et AY, pour axes des coordonnées, désignant AC par m et BA par S, l'équation de BC sera

Sx + tty ^=: etS,

La perpendiculaire AM abaissée de l'origine A , sur BC, aura pour équation ux — Cy = o ,

fft on aura la condition et* -|* "^ =ï ci*.

Ces trois équations auront lieu pour cliacun des quatre

(334) angles droits formés en A. Eliminant entre elles les variables et 9 C« on obtiendra une équation entre les coordonnées oc ^ y, du point de rencontre des droites BC ; AM ^ et qui représentera le lieu cherché \ elle sera

La génération de ce lieu fait Toir immédiatement, qu'il se compose de quatre branches égales, situées dans chacun des angles YAX , Y AX', Y' AX , Y'AX' , et symétriques chacune par rapport à la droite qui divise en deux parties ^ales l'angle dans lequel elle se trouve \ ces branches passent toutes par l'origine.

Pour reconnaître sous quel angle la courbe rencontre les axes

à l'origine ; cherchons la valeur de -^ ; et pour cela développons l'équation de la courbe , et divisons-la par a^^ il viendra

W...QV+ (3y-c«)(0+3y»+x»=o, d'où

valeurs qui pour a: = o et ^ ;= o , donnent

«2- = G et -2^ = 00 ;

ce qui fait voir que la courbe est tangente à Faxe des a: et à l'axe desjf.

U équation polaire de cette courbe est trës siitiple, en prenant A pour pôle , et faisant

AM = R, a: = Rcpsç, yzsih.mkÇ.

Substituant ces valeurs de^jr et y, dans (i), on trouve que l'équatioQ polaire de la courbe se réduit à

(a) . . .B. i='a sin o cos ^.

C'est ce que l'on aurait pu obtenir directement «n observant queToua AJVll = ]^ ;;=: Aj^ sin f et AB:=9 0co5^y

(335 ) 9tA (â)- .«& = asm9oo0f =s|a8m!3»f.

L'éqaation (2) est plus facile à discuter que Péquatîon (1)'; on reconnaîtra que le maximum de R correspond à celui de an 2 ^, qui a lieu pour ^2=:-^ et R = ja; que la courbe est symétrique par rapport aux lignes qui partagent en deux parties égales les quatre angles en A. ,

De plus , pour chacune des yaleurs

on trouve R = o ; d'où il suit que la courbe commence par être tangente à Taxe des x , puis devient tangente à l'axe des^ ; et ainsi de suite successivement toutes les fois que la courbe retient à l'origine. ; . , ,

9* PaoBL£ME. (F/g*. i4o): D*un point donné A, 07» mène à une courbe du second degré. tUux Sécantes quelconques,» . ABE, ACD: on joint deux à deux les points de rencontre avec la courbe* Il s* agit de trouver le lieu des points d'intersection M e^ N de ces droites entre elles.

Prenons AEX pour axe des x et AD Y pour axe des j'. Soit

ay' + ^^ •+• <^^ -{- dy+ex +y= o,

l'équation de la courbe par rapport à ce svstème;a, b /cy d, e,f, sçront des q uantités qui varieront quand on pass^a à deux autres sécantes* Faisoiis

ABt=«, AE = *', AC = /S, AD=5^,

tt et ût' seront racines de 1 équation

(i) ... cx»4:ea?+/=o, ^

et^,i? seront racines de * 1 . .

(2) ...fly*4-c(y+/=o.

Cela posé ; les équations des droites DE , CB, sont

( 336 ) Pour éliminer tt^ct^^y^' y ajoutons ces deux dernières équations membre à membre ; il en résultera

Maïs ^ • et «' étant racines de l'équation (i) , oÀ a

^ «-!-«'=—- et «tct'=:î^.

De même , fiet ^' étant racines de l'équation (a) , on a

/8 + |S'=— - et iS/3' = ^.

Substituant ces yaleurs dans l'équation (5) y elle donne

dy + ex + fl/= o.

Il est facile de Toir que cette équation est celle de la droite pnM, qui passe par les points de contact n, p, des tangentes menées à la courbe par le point donné A (^). Cette droite est donc le lieu cbercbé des points M.

Quant au point N, il' est déterminé par la rencontre des droites DB et EG^ dont les équations sont respectivement

(*) On se rappellera pour cela que Teqùation g^n^rale de la tangente aa point x'^, de la courbe ayant pour équation fl^*H-^xy+cjc*-Hiy4-«*+y=:o est ' ,

aayy' -f- b {xf-^yx') -f- acxa'4- à \y -f-y ) + e (x + x')-f- a/= o.

Or, si par un point a, C^ on veut mener une tangente, on aura entre x'eiy'l'ëquation

qui) en considérant x' et y comme variables, représente l'équation de la droite qui pisse par les points de contact. Si maintenant on sappose que le poifit «;C soit Torigiue, cette ifquatiott se réduit à dj'-\^ex'^ 3/^s= o.

Il en résulte qtie le lieu de tous les pohits M^ N > dierdhéi ^t la droite pnM , qui joint les points de contact p , n, des taçr gentes menées du point A > à la courbe donnée*

Passons à la solution géométrique du même problèmea. Nous commencerons par faire observer que si les sécantes £B ^ iDG, au lieu de concourir en un point constant A^ étaient parallèles à une direction fixe , les 'rencontres M et N se feraient sur la droite qui joindrait leurs milieux , et par conséquent sur le diamètre même de ces cordes. Nous allons chercher à ramener à ce cas celui oJ| les sécantes concourent au point donné A , in-* térieur ou extérieur à la courbe.

Concevons à cet effet qu'on prenne la perspective (*) de la

figure proposée sur un plan quelconque > et d'après un point de

vue arbitraire ; il en résultera un système de lignes disposées de

la même manière dans une nouvelle courbe, qui sera encore du

second degré , puisque le cône qui a son sommet au point de

vue et pour base la courbe donnée ^ ne peut être coupé par le

plan de perspective que suivant une courbe du même degré* On

remarquera de plus que tous les points de rencontre des se-*

cantes entre elles, ou avec la courbe dans l'un des systèmes ^

auront pour perspectives dans l'autre les points d'intersection

homologues. Or, on peut placer le plan qui reçoit la perspective •

parallèlement à la ligne qui joint le point A au point de vue, et

alors toutes les sécantes , au lieu de passer par un même point ^

sont parallèles entre elles ^ d'o& il suit que, dans ce système

tous les points homologues à M et N sont en ligne droite, et que

par conséquent aussi ces derniers sont en ligne droite, puis*

qu'ils sont les perspectives des premiers* te lieu cherché est

donc une ligne droite MN.

1*' CoROLLAtBS. Lorsque les sécantes AE , AD , se rapprochent

(*) C'c*t pour abréger le discours que nous nous serrons 'du mot de per^ ipectiue, 11 suffira de se rappeler que la perspective d^un point sur un plan est l'intersection de ce pian avec la droite qui joint le point avec un point con« «unt qui se nomme le point de vue, et que la perspective d'unv ligne est 1« lien des perspectives de tous êea points.

indéfiniment Fane de l'autre j les lignes MD y MC^ tendent à devenir tangentes. Ce qui fait yoir que si d^un point quelconque A on tire des sécantes à une coufie du second degré , et que par leurs points de rencontre avec la courbe , on mène des tangentes à cette courbe , la suite des intersections deux à deux de ces ^ tangentes sera encore la même droite MN > que dans le cas général que nous venons d^examiner, oit ton considérait des sécantes*

Enfin , pour connaître la position de cette droite^ MN, dans le cas ok le point donné A est extérieur à la courbe^ on supposera que la sécante mobile se rapproche indéfiniment d'être tangente ; alors ses deux points de rencontre se rapprocheront l'un de l'autre > ainsi que le point d'intersection des deux tangentes correspondantes»

Il en résulte que la droite , qui est le lieu de ces intersections f/[, N^ passe nécessairement par les points de contact n^-p, des tangen^eé menées à la courbe par le point À.

On reconnaîtra facilement que la droite conjuguée d'un foyer est la directrice correspondante k ce foyer.

a* GoROLLAuuE* Ou peut conclure de là un moyen simple de mener par un point donné A une tangente à une courbe du second degré t au moyen de la règle seulement. On tire de œ point deux sécantes ABE , ACD^ qui coupent la courbe en quatre points B, £> G, 1D; on joint ces points deux à deux par des droites qui se coupent en M et N ; la droite menée par M et N coupe la courbé aux points n et p de contact demandés. De sorte que An et Ap sont les tangentes h la courbe.

Quand le point donné M (Jlg* i4i ) est sur la courbe , on tire une sécante quelconque MB^ on prend sur elle un point C, et on construit la droite conjuguée UV du point C: cette dernière droite contient le point de rencontre des tangentes menées aux points M et B. On détermine semblablement la droite conjuguée XY d'un autre point D de MB. Le point O de rencontre des droites UV^ XY, sera celui où se couperaient les tangeiitec aux points M et B ; la droite OM sera donc la tangente chcrdiée

3* CottOLLAiRB. Il suit cucore du premier corollaire que si de

tous les points d'une droite extérieure à une courbe du se* cond degré, on tire des couples de tangentes k cette courbe^ et <pi'on mène des droites par les points de contact des deux tangentes qui partent d'un mèoie points toutes ces droites passeront par un même point.

Si la droite donnée coupe la courbe , et que* pour chacun de ses points on cherche la droite conjuguée qui ne sera plus une ligne de contact,- toutes ces droites passeront encore par ua même point. \

4* ConoLt^AJBX» On peut déduire de ces propriétés un moyen; ,\

de construire par points une courbe du second degré , quand 071 en connaît cinq points, E, B, C, D, F, {fig* i4o). On join- f|

dra deux à deux les quatre points £, B , G, D ; on déterminera ainsi un point A et sa droite conjugée MNG. On tirera la droite indéfinie AFH et la droite DF, qui coupera IVORr en P \ par G et P, on mènera une droite indéfinie CK, dotit l'intersection arec AH fera connaître un sixième point Q de la courbe demandée. Considérant ce point Q ayec quatre des précédeas, on déterminera encore un nouveau point de la courbe , et ainsi de suite»

TnioRèBCB. Soit une courbe représentée par Péquation du degrém,enTetjy

Ay"' + By'"-"4-*.*+Ty+U=:o.

Le produit des ordonnées ( tant réelles qu* imaginaires) vor* respondantes à une abscisse quelconque , est dans un rapport constant avec le produit des distances du pied de cette ordonnée aux points de rencontre (réels ou imaginaires) de la courba avec taxe des x.

En effet, pour une abscisse quelconque a;, le produit des

ordonnées «era -^ , abstraction &ite du signe* Mais U esft un

poljnome en x qui peut être mis sous la forme '

U=K.(x-.a)(x— i)(jc— c) ... {x—t),

^>^fCf...flf étant les abscbses relatives à jf s: o. Désignant donc par P le produit des ordonnées correspondantes k l'ab*

acisse arbitraire x , on aura

P = -j-(a:— fl)(x — b) (x — c) .., (x— /);

d'où

(x — a) (op —6) . . • (x — /) A'

|ffab, j?— -a^ X— -6 • •• , X— -/, sont (abstraction faite des lignes) les distances du pied de l'ordonnée aux points de Taxe des X, qui ont pour abscisses a^b,c,é*.fljde plus K et A sont des coeffîcîens constans. Le théorème est donc démontré. Si le coefficient A ^ au lieu d'être constant , était une feue* tion de Xj il pourrait se mettro sous la forme

et Téquation (i) deviendrait

l(x— a')(x— iO . - . (x— /')/

Les quantités x — c', x— &', ... x — /^, seraient les distances du pied de l'ordonnée aux points constans de l'axe des x, qui ont pour abscisses cf ,b% , . , yt,

1*' G>BOLifiLiB2. Seient deux sécantes ABC ^ADE(/Eg'. i43), à une courbe quelconque du second degré , et deux autres sécantes A'B'C A'D'E', respectivement parallèles à AC et AE; on aura

ABXAC: ADX AE:: A'B'xA'C : A'D'X A'E'.

En effet, concevons qu'on prenne AE pour axe des x , et AC pour axe des y\ prolongeons la droite C'A' jusqu'à ce qu'elle coupe AE en K \ on aura, par le théorème précédent ,

AB X AC :AD X AE :: KB'xKC : BDX KE.

Mais semblablement, en considérant les deux axes KC , SE, bu a *

K»' X KC : KD X KJE :: A'B' X A'C : AD' X A'E'.

( 34. > Donc enfin

AB X AC : AD X AE :: A'B' X A'C : A'ir X A'E^

Cette propriété a lieu quelque part que soient pris les points A et A' , dans le plan de la courbe.

Si l'on prend poujr l'un d'eux le point de concours dés tangentes parallèles aux sécantes, le rapport constant sera celui des carré* des portions de tangentes comprises entre le point de rencontre de ces tangentes et les points de contact.

Si la courbe à un centre , et qu'on mène les sécantes par ce point , le rapport constant sera celui des carrés de ces diamètres.

2* Corollaire. Si par un noint donné A (//g". i42), on tire une droite qui coupe une courbe du second degré en deux points B, C , et qu'on propose d'en tirer une seconde ADE , telle que les deux produits AB X AC , AD X AE, soient égaux, ît suffira de mener la droite A£ de manière à ce qu'elle forme aTCC un axe de la courbe le même angle que AC *, car alors les tan-» gentes parallèles se couperont sur cet axe et seront de méma grandeur ; le rapport de leurs carrés sera donc Tunité , et païf conséquent les deux produits en question, qui ont entre eun le même rapport, seront aussi égaux.

TnioBÈME. iFig* i43). Si d'un point quelconque cCune di^ Tectrice, on mène deux tangentes à une courbe du second degré, et qu'on abaisse du même point une perpendiculaire sur la droite qui joint les points de contact, la rencontre de ces deux dernières droites aura lieu au foyer F de la cou^'be.

En effet, tirons par le foyer F deux sécantes quelconques MP,QN , les droites NM, PQ, prolongées se rencontreront en un point S de la directrice , qui est .la droite conjuguée, du foyer (^pag. 338). Joignons SF, et abaissons sur la directrice le« perpendiculaires MK, NH , lès triangles SFM , SNF , ayant un angle égal en S , seront entre eux comme les rectangles des côtés qui comprennent cet angle, ou comme SM est à SN , où comme MK est à NH , ou enfin , comme FM est à FN ( d'après la propriété connue de la directrice ).

Les deux mêmes triangles sont donc entre eui^ comme le»

( 34a ) rectangles des côtés qui comprennent leurs angles en F ; donc ces angles sont ^anx on snpplémens Fan de l'autre. Or^ dans le cas actuel ils ne peuvent être que supplémens; la droite SF partage donc Tangle MFQ en deux parties égales.*

Cela posé , si on suppose que les deux sécantes MP, NQ, se rapprochent indéfiniment Pune de l'autre , les mêmes relations auront toujours lieu ; ces deux sécantes tendront à se réduire à la droite qui joindrait les points de contact des tangentes à k courbé menée par le point quelconque S de la directrice^ et de plus^ SF tend à deyenir perpendiculaire sur cette droite > puisque FangleMFQ devient alors ^al à deux angles droits. Ce qui démontre le tHéorëme énoncé.

THÉoRiMZ. (^/g*. i44). Le produit des perpendiculaires abaissées des deux foyers F, F', d*une courbe du second degré, sur une tangente quelconque PP', à cette courbe, est égal au carré du demi-axe h qui ne contient pas les foyers.

En effet, soit A le centre, et (i)....ay-f-6'^x-* = a*iS l'équation de la courbe. Les foyers F, F', seront sur le grand axe

^D = sa. On aura ,

Tirons la perpendiculaire AM à la tangente PP', et la parallèle KAK'à PP', nous aurons APx=a (page i85) et