FP X FTP'^: (KP — KF) (KP + KF
= KP*— KF = AP — ÂF '= a'^-'t^z^ h\
ce quiidéinontre le principe énoncé.
On parvient au même résultat en prenant Pexpression des perpendicidaires FP, F^F, d'après l'équation de la tangente
a^W + i* ^^ = «*^* ; car on )!rouve
^ ^ " ' / I I » Il ■« « I I . • A M. ^^^ Il II I , ' I j I • >
d'oà
FP X FF =* ^ii?î~£^
( 343 ) Remplaçant a^y^ par sa Taleur a'fr* — * 6*x'% tirée de Véqua-» lion (i) de la courbe, cette expression de il* X F'P'^ se réduit à *•.
TBÉoRèMB. ( Fig. i45 ). Si ton mène deux tangentes pa^ rallèles, BH, B^K.', dans une courbe du second degré, et qu'on les coupe par une troisième tangente quelconque K'MK, le produit des segmens B%!f BE., sera égal au carré du demi' diamètre conjugué de BB'.
En effet, prenons B'B pour axe des a:, et son conjugué pour axe desy j l'équation dePelIipse sera (i). . .a^y*^ 4* i*x* = a*i% et Téquation de la tangente KlC au point x\y', sera
Si l'on y fait xssa,on trouve
V=3 — s — —, £ = BK.
Supposant ensuite x = — r a , on trouvé
On en déduit
GoBoixAiBz. Si l'on mené une autre tangente quelconque KTNH , et qu'on joigne H'K , KL'H, ces deux droites se rencoutreront sur le prolongement du diamètre B'B. En effet, d'après le théorème précédent , on a
BKxB'r:??BïïXB'H%d'oùBK:BH::B'H':B'K'/
Il s^ensuit que les trois droites B'B , H'K. , ÎLII , concourent en ttn même point.
lO* Problèsce. TVowper le lieu dès pieds des perpendiculaires abaissées d^un point donné sur toutes les tangentes menées à une courbe donnée.
Soient, F(Xfy)=zo l'équation de la courbe, « et ff les
( 344 ) coordonnées du point donné, et x',^ celles d'un point oneU conque de la courbe \ 1» tangente en ce point aura pow équation
et l'on aura en même temps F (x', y'^ = o.
La perpendiculaire abaissée du point donné sera déterminée par l'équation
et on obtiendra l'équation du lieu cherclié en éliminant x', y' entre ces trois équations. On pourra substituer à la première, celle que l'on obtient en la multipliant par la derjuièrei et qui est
équation généralement plus simple que la prepiière.
Si Ton exécute ce calcul pour les courbes du second degi^és en prenant le foyer poiu: le point constant, on trouvera dans le cas de l'ellipse, le cercle décrit sur son grand axe comme diamètre ; dans le cas de Fhyperbole, le cercle décrit sur son ux^ ré^l (*); et enfin pour la parabole, la tangente à l'extrémité de «on axe.
Si l'on considérait un cercle, et que le point donné fût pris sur sa circonférence., le lieu serait une courbe fermée^ du quatrième degré, qui passerait par les de\ix extré^nités du diamètre mené pair le point donné, et aut-ait en ce dernier point un rebrous^ cernent du premier genre, tangentiellement à ce diamètre,
11' Problême. {Fig. i46). Soient B et C deux points don^ nés ,etM:un point quelconque d'une courbe RS donnée. On tire 4es droites EN , CN , respectivement perpendiculaires aux droites BM, CM, et qui se coupent en un point N, // s* agit <fe trouver la courbe formée par lei points N , qui correspondent aux dijjférens points dç la courbe RS.
(*) Par axe réel, ou entend celui des deux axes reçtaugylairea cQDJuguci ^i coppe la courbe.
(545) Prenons CBX pour axe des x , et pour axe des j^ la perpendiculaire AT à ex, menée par le milieu A de BC. Désignons par a:,3^,le8 coordonnées de M , par a:',/, celles de N , et faisons
BC = 2c.
On aura, à cause des angles droits en C et B,
CM + CN*=: MB V BN * d'où CM*— BM*= BN*-^ Cn!
Or, ces différences ^ont respectivement égales à CP — PB ,
etàBQ — CQ ; donc, les points P et Q sont à égales distances des extrémités B et C«
Cela posé , on aura d'abord a: = — a:'.
Ensuite, les triangles" semblables CNQ,.CMP, donneront
CQ:— y :;j^:.cp, ou a+x':— / ;:j^: a + ^i .
et conuae x-rs ■«• 3^ , la âiemière propc^tion conduira h
Connaissant ainsi a: et ^ en fonction de x' et de y' , on les reportera dans l'équation de la courbe que doit décrire le point . M, ce qui fournira l'équation du lieu des points N. l
i**. Lorsque la courbe donnée est le cercle décrit sur GB comme diamètre, on trouye, pour le lieu chercbé, le ibéme cercle ; car alors on a x*4- jy**= a*. Substituant les valeurs de X et y, en x\y' ^ il vient .
Ditisant par x'*-^ a' , on retrouve
fi^ Quand le point M décrit une courbe quelconque dû se cond degré , le point N en décrit généralement une du qua-* trième degré , qui peut, dans certains cas, se iréduir e au troisième ou au second y ou même au premier degré. £a effet ^ soit
(1)... «ty + fyx + >'a;*+^-f^^Jî+fl=o,
relation de la oourbe donnée ; • celle du lieu chercbé sera
Cette équation est généralement du quatrième degré. Cela posé : 1^ Si a = Oy on pourra diviser tous les termes par^, et l'on
aura une équation du troisième degré, fi®. Si la courbe donnée passe par les deux points donnés , il
faudra qu'en y faisant^ r= o , on trouve X'=i±a', ce qui exige
que f esc et ^^=s-~^a^ Divisant alors l'équation du lieu par
oc^ —a' , cUe se réduit à
(fl)... é<x* — û') — •xy + Jry* + J3'=:o^
et représente une courbe du même genre que la proposée^ puisque* ce genre est déterminé pour cbàque courbe par le signe de la même expression C* — 4i«^.
Le lieu cbercbé ne pourra donc se réduire à une ou deux ligues droites, que dans le cas oii la proposée sera une parabole ou une hyperbole.
Dans le premier cas> C^ = 4^>; l'équation (a) donne
ay
et représente deux droites parallèles.
Lorsque C=o^ on a Ay:=zo] et supposant « = o , il vient
3^ = — — ±: — ; ce qui donne ^=:o et j^= .
Comparons ces résultats avec la position de la courbe données Son équation , en vertu deâ hypothèses «=OyC=Q, f=o^ ô = — y a* , se réduit à
yx^ + fy'-^ya'^so, ou à «* + - y — a*5=o, équation qui représente une parabole dont le paramètre est
-, dont Taie est la droite AY, et dont* le sommet a pour
ay ordonnée --p--
Or, la première équation 3^ = du lieu dierché, représente l'axe des sç ; ce lieu s'obtient lorsque les deux droites mobiles qui se rencontrent sur la parabole, sont parallèles à son axe, auquel cas elles rencontrent la parabole à l'infini; leurs perpeDdiculaires respectives se confondent aveic Paxe des x dont tous les points appartiendront au lieu cbercbé , puisqu'ils seront à la fois siv* ces deux dernières droites. Négligeant cette solution, qui est fournie par une seule position des droites mobiles ,
il restera le lieu de Féquation j^ ==: — -, qui est une parallèle
à l'axe des i: , placée , par rapporta l'origine, du côté opposé au sommet de la parabole, et à une distance de l'origine, ^ale au paramètre.
On pourra discuter semblablement les circonstances que présenteront les diverses hypothèses qui peuvent être faites dans le cas que nous venons de traiter, où l'on a C* == 4flcj^. ^
Lorsqu'on a €*— 4*5^^0, la courbe donnée est une hyperbole , et son équation de^ieni , d'après l'hypothèse qu'elle passe par les deux points donnés ,
(3)... êty^ + Gyx + yx^+i'y — ya*=o.
. Si l'on avait tt = o , l'équation (a) deviendrait
Cxy+yy^+i^y=io,
et se décomposerait en ysso et Cr 4- yy ^^ ^ = o* L'équation (3) se réduit alors à
SyX'^yx^'^fy -^ya^^zo,
et l'hyperbole qu'elle représente, aune asymptote parallèle à l'axe des y. Les deux droites mobiles peuvent donc encore devenir parallèles à l'axe des y , sans cesser de se renoontrer sur la courbe , et leurs perpendiculaires se confondent avec Paxe
ides X y qui fait alors partie du liea , et est relatif k l'équation jf =: a Quant à la seconde équation , Cjc + yy+ ^ = o , elle représente une autre droite qui correspond k toutes les positions des droites mobiles non parallèles à l'axe des y.
On pourra chercher , d'une manière générale , tous les cas où l'équation (pi) se réduit à une ou deux, équations du premier degré, en supposant toujours C* — 4*^ > o.
12* Problèms. (Fig. 147). On donne deux droites rectanf^u- , laires V V, YT', et une longueur AD =20; un angle droit DEF> dont le côté 'EF est égal à aa, se meut de manière que son ^ côté perpendiculaire à EF , passe constamment par I>, et qu^ le point F glisse sur AV. On demande le lieu décrit par h milieu M de EF.
Soit H le milieu de AD 3 menons HX parallèle à AV, et prenons pour axes des x et y les droites HX , HT. Désignons par X et y les coordonnées HP, MP , du milieu M de EE \ lea^ triangles semblables MIF, K£F, donnent
