IF : IM + MF :: EF : KE + KF

ou v/a» — (y— .0)»: y:: aal AF, car KE + KF=^AF'

Or, AF = X 4. \/a» — (y;— o)*.

Egalant les deux Taleurs-de.AF, op. trouve que Téquation du

lieu cherché est

y x»(aa^ — jf*) , ou 3^3 = (aa — y)x^ ;

car 3^=0 ne peut convenir à la question.

Il est facile de reconnaître que cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des^, qu'elle passe par l'origine, et qu'elle a une asymptote dont l'équation- est y =^2ia. Cette courbe est la cissoïde de Diodes,

i3* PjioBL:à9i£. {Fig. i4S). Par quatre pç^inis M, N, P, Q, donnés dans un même plan, on fait passer une infinité de courbes du second degré , et dans chacune délies on mène le diamètre des cordes parallèles à une droite Jixe a^*ant pouf

(349) éjuation y z^nx. On propose de démontrer que tous ces dia^ mètres se coupent en un même point , et de déterminer ensuite le lieu de ces points quand n prend toutes les valeurs possibles. Prenons pour axes, des x et y, les deux droites AQPX, AMNT , et faisons

AM=f, ANrsC', AQrstf, AP=<t'.

L'équation de la courbe du second degré devra être telle^ qu'en y faisant jcso^ les valeurs correspondantes de^ soient CetC', elle devra donc être de la forme

y^'+'mxy + ax* — {C + C)y^bx'^€6' :rz o.

Mais en faisant J^=o, on doit trouver pour xles valeurs Af «';on a donc

L'équation d'une courbe quelconque du second degré passant par les quatre points donnés sera donc

TT^estant arbitraire.

'■laprès la théorie des diamètres des courbes du second degré, l'équation du diamètre des cordes parallèles à la droite y =»j:, sera ^^,

Or, on satisfera à cette équation, quel que soit m , en posant (0- • y+nx=^o^ 2/iy-| r^ï>-(C+n«— — > (fi6+«0=o-

Les valeurs de a; et y tirées de ces deux équations seront les coordonnées d'un point qui appartiendra à la fois à tous le» diamètres. Il est donc prouvé que tous ces diamètres passent par un même point»

Si maintenant on reut connaître le lieu des points qu'on obtiendra de la sorte , en faisant passer n par toutes lesTaleurs possibles^ il suffira d^ éliminer n entre les équations (i) , ce qui donnera

aQC x'' — acta'y^ -f eut! (C+C) y — CC {a + et') o: = o.

Il est facile de reconnaître que cette courbe passe par l'origine A; que les droites AX^AT^ sont parallèles à un deses systèmes de diamètres conjugués; et que son centre a pour coordonnées

Mais comme on aurait été conduit aux mêmes calculs en pré* nant pour axes des coordonnées les deux autres droites V^A\ QMA'y on en conclura que la courbe cherchée passe par le point A' f et que ces deux, dernières droites sont parallèles à un système de diamètres conjugués.

De plus , si on fait .

A'Nssa, AT=a', A'M=i, A'Q = y,

on Terra facilement que , par rapport à ces nouveauq^ axes^ on aurait trouTé pour les coordonnées du centre ^

Si on construit ce point d'après le premier système d'axesy on reconnaîtra aisément; d'après les valeurs de ses coordonnées , qu'il est le milieu de la droite qui joint les milieux des côtés opposés MN , PQ. D'après le second système , ce point se trouvera au milieu de la droite qui joint les milieux des deux autres côtés NP , MQ ; ce qui prouverait , si on ne le savait pas d'avance , que dans tout quadrilatère plan , les droites qui joignent les milieux des côtés opposés se coupent en leur milieu.

Remahqite. Pour une valeur donnée de n, il est facile de construire le point de rencontre de tous les diamètres des courbes du second degré correspondantes aux diyerses valeurs

tie m ; car ce point est, comme nous l'aTons tu, sur la droite^ dont l'équation est^ + nj:=o,'el on le construira en menant ]^ar l'orîgîne A une parallèle AV à la droite donnée y t= tu?, puis d'un de ses points menant VKV parallèle à AY, et prenant KV'=KV , la droite AV sera celle que représentera l'équation y + nx-=:o.

Faisant une construction analogueipelatiTement au point A^ et aux deux droites A'P, A'Q , on aura une seconde droite, qui, par son intersection avec AV, déterminera le point cherché.

Si l'on avait «&' = <« et f'=C, les courbes variables seraient tangentes au deux 4]^oites AX , AY , aux points constans M , Q , et l'équation du lieu deviendrait

Si les quatre points M , N , P, Q étaient sur un même cercle , on aurait cLa(==SÇ^, et l'équation du lieu demandé se réduirait à

^ îix* — î2y+ (C + ^)y— (« +• ) x = o.

i4* PaoBL^ME. (Fig, 149). Par un point donné B, on mène une droite quelconque qui coupe une ellipse donnée en deux points M. efN; on détermine un point P sur cette sécante j de manière que l'on ait FM : PN :: BM : BN. // s agit de trouver le lieu des points P ainsi construits.

Soit l'équation de l'ellipse ay^ b^x^zni a'b\ Transportant l'origine au point B, et désignant sfis coordonnées par et , C , l'équation de l'ellipse sera

et l'équation de la sécante BMN sera j' = mx.

Les parties de la droite BN étant entre elles comme ifurs projections sur AX, si l'on désigne par x , x% x", les abcisses des points P, M , N , on aura

af^x:3ç-^x!':zx':x'''y d'oi (1) ... x=-73-^

Or, on aura l'équation qui a pour racines a?' et x", en éliminant y entre Téquation de l'ellipse et celle de la sécante; ce qui

( 352 ) donnera

Mais , on sait qne dans toute équation du second degré , le rapport du produit des racines à leur somme ^ s'obtient en di* visant le dernier terme par le coefficient du second pris en signe contraire. La valeur (i) de a: deviendra

Remplaçant m par ~ , on aura enfin pour l'équation du lieu

cherché

a^y 4* 6Vx = û*6«— «'i* — C'a*.

Ce lieu est donc une ligne droite.

Reportant l'origine au centre ^ l'équation du lieu devient

équation qui représente la droite qui passe par les deux poînti de contact des tangentes menées à l'ellipse par le point donné B^ lorsque ce point est extérieur à la courbe*

On fera le calcul de la même manière pour la parabole et l'hyperbole ^ et l'on parviendra à des résultats analogues.

i5^ PEOBi;èME. {Fig i5o). On donne un quadrilatère quelconque BADC; d^un point M , on. même des droites MP^ MQi MR^ MS> parallèles à des droites données et terminées respect tivement aux quatre droites qui forment le quadrilatère. On demande le lieu des points M , tels que

MRxMQ : MPxMS :: m : n.

Prenons les côtés AB ^ AD y pour axes des coordonnées x^y] faisons AB = a , AD =:h , et désignons par « > C^ les coor* données du point G

Nous commencerons par faire observer que si par le point M on mène M£F et GMH parallèles aux axes , le rapport de ME X MF à MG X MH sera connu puisque l'on dçnne celui

de MR X MQ à MP X MS , et que les rapports ^ > ^ »

ÎTp ' "Si*^ ' *^^* connus , comme étant égaux à des rapports de sinus d'angles donnés* Représentons le rapport des deux nou^.

Cela posé , l'équation de la droite BG sera celle de CD sera

Désignant par y tA af les coordonnées du point M , on aura

MF=:y', MG=a^} et d^aprës les équations des droites BG , CD , on trouvera

=y-« + (~^^» HM=i-'x'+(î^)y.

D'oii l'on tirera y toute réduction faite ,

Le lieu ofaerché est donc une courbe dii second degré. On reconnaîtra facilement qu'elle passe par les quatre points donnés A , B 9 C y D.

1^' CoROUiAiBE. Réciproquement^ tonte courbe du second d^é jouit de la propriété , que si l'on prend sur elle ^quatre points quelconques , et que d'un autre quelconque de ses points on mëae quatre droites de directions constantes et . terminées aux cotés du quadrilatère inscrit , le. produit des deux lignes menées à deux côtés opposés sera' dans un rapport constant ayec celui des deux lignes menées aux deux autres côtés. En effet y si pour ce quadrilatère on résout le problème précédent

d'après un rapport arbitraire —, on obtiendra une courbe du second degré qui passera nécessairement par les quatre sommets

An quadrilatère. Supposatit ensuite — , égal au ra{qp<»rt que

fourniraient les produits des droites menéesd'un point delà courbe donnée aux quatre côtés de ce quadrilatère , le lieu éomt wmi Tenons de parler passera par ce cinquième point de la courbe, et par conséquent coïncidera avec elle. Celle-ci jouit donc de la propriété annoncée , que le rapport indiqué est constant pour tous ses points.

a" GoRoiXAiBB. Cette relation ayant lieu , quelque petits que soient les côtés du quadrilatère , aura encore lieu quand deux côtés Qpposés deviendront nuls. Dans ce cas , leurs directions seront tangentes à la courbe , et les deux autres côtés se conftndront arec la droite qui joint les points de contact.

Si f dans ce même cas , on suppose que les droites menées par les divers points de la oourbe soient toutes parallèles à uqe même droite, il en résultera que pour tous les points P de la

coni-be {fig* i5i) , le rapport de PQ à PR X P^S sera oonstaoïL Transformation particulière des lieux géométriques.

la. transformation dont nous allons nous occuper est tirée du livre des Principes de NxwToir. Son. but est de cbanger des figures en d autres plus commodes à traiter , et telles que Foa puisse facilement repasser des résultats qu'elles fourniront à ceux qui conviennent-aux données primitives*

Si Ton désigne par a; et y les coordonnées d'un point du prc* mier système, et par x\ y, celles du correspondant du systèmf transformé, les relations au moyen desquelles on Ue œs deoi points sont , en désignant par m et n deux ponstantét aHii" traires,

D'après cela , sott une équation (Juelè onque

t/é^piation iû la <k>iuribe fra^formée sâra

/mn mx\

et si Ton désigne par ^{pp^y ) =^0| une équation quelconque du second système, la correspondante du premier sera

♦Ci'?)=°-

On remarquera d'abord que les points d'interjsection de deux ligqMdel'^tideii nystèwes oa€ pour 6»rrâipondaiia dans lé s^tobd les points dtt r^ncontape des ligaéa oarirespoiiâantes. Il suit de Uc que si deuic p^nts d'intersection se oonfiMÔdent diMM l'un àtsê systèmes, les ocHrrespondans se confondront dans l'autre } de sorte que deux lignes tangentes l'une à l'autre en un point auront pour, correapoûdantes des lignes tangentes au point bomoJegue*

On obserrera de plus que le degré des équations ne sera point altéirô par cette trun^formation* Car soit une équation du do-

gré»+f>

Ajc*jf^+ +V=x:o.

La substitution des Taleurs précédentes de x et y donnera ime équation dont tous les termes seront de dimensions nulli^t

ou négatiyes. Multipliant par y ^ "^ , tous les dénominateurs disparaîtront , et, il en résultera une équation du degré • rf* C en a:' et y.

Par cette transformation , on peut changer un fjfstilHie do droites qui concourent en un même point, en un système, de droites parallèles. Prenons l'axe desj^ pa^siint par leur .point dé concours , l'équation générale de ces droites sera y = ox 4* ^# b étant constant Transformait ^ il Vient

équation qui , quand on' fait Vàriei^ à , représente des (droites paraUèles , puisque m et 6 sont cdii^ns.

Appliquons cette considéfâtiott à la Solution du problème du

n"* 9 (P^^ ^^ ) } 8P^ .M (Jig. i5a ) le poitit par leqaél on mène les sécantes ; prenons pour axe des^ le diamètre mené par ce points et pour axe des x une parallèle à ses cordes menée ' par le même point , l'équation de la courbe donnée sera de la fouine'' j^+ax*7f-6y + c==:o.

Celle d'une sécante quelconque menée par Torigine sera y :=ipx. Tranformant ces deux équations > elles deviennent

Or f toutes les sécantes étsoit alors parallèles à Paxe des^, puisque leur équation générale est af ^pn\ le lieu cherché sera le diam^tce même de ces cordes , et aura pour équation

^cy* + bmaf = o.

Pour :9CfmT l'équation correspondante dans le système pro^

pose^ remplaçons x éiy par «r^ et- — , nous aurons pour l'équation du lieu cherché

èette équation représente une parallèle à l'axe des x, et par conséquent au conjugué du diamètre mené par le point donné M.

Lorsque le point M est extérieur , il est facile de voir cpîe cette droite est celle qui joindrait les deux points de contact des tangentes menées par le point M k la courbe donnée. Car l'équation générale d'une tangente au point «^ C, de la courbe

aÇy + 2a#j? + ^(y 4* ^) + 3c =.0,

et pour qu'elle passe par l'origine il faut qiié bC^-^- àc^=:o; oe qui montre que les deux points de contact sont sur la droits dont l'équation est iy -+• ac = o. ,

0^ pourra appliquer ayec ayantage ce genre de transforma-: tipn à un grand nombre de problèmes.

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