AUX LIEUX DANS L'ESPACE
1*' Problàms. J-RourBR téquation généfcflè des surfaces cordques.
Une surface oouique est cdle qu'engendre ane droite indéfinie qai passe par un point iixe nommé centre y et s'appuie ooDstanunent sur une courbe donnée y nommée directrice.
Soient ^pC^y, les coordonnées du centre du c^ne, el
les épations delà directrice; les équations d'une g^ncraliïce jqueloonque , seront de la forme
Pour exprimer qu'elle rencontre la courbe donnée, on élî« minera x, y ^^i entre ses deux équations et celles de la courbe , et U en résultera une équation de condition entre v^yn^ que je reprlisente par
Keportant dans cette dernière y au lieu de m et n, leurs râleurs tirées des équations de la droite, on aura pour l'équation du lieu cherché
Kéciproquemént , quelle que soit la forme de la fonction ^> Pé- ' quation (i) est celle d'une surface eonique dont le centre a
pour coordonnées ct,C ,y. €ar soient x%y ,z\ les coordonnées d'un quelconque des points de la surface (i)» on aura
M -—et y — S\
et il est visiUe qu» cette équation sera toujours satisfaite , si l'on fait Tarier
îer x' , y'^ %' , de manière que -7 e* ^7
soient constans; ce qui montre que tous les jgoints de la droite «yanjt pour équiHûms
sont SKT celte surface^ /t et j^ étant deux «oiuitaiit0ii 6âtte surfi^pe pQRVdono.étre engevânée par «ne dr(H!ta quî- pâft^ ^ar le point constant «>£>>; elle est donc une surface conique.
a* PaoBLÈMiu l^tBuver téquathn géH^talé des surfaces cylindriques»
On nomme ainsi toute surface engendrée par ttinè dl>oite qui se meut parallèlement à Une droïte fixe , eii si'appuyant toujoiirs sur ime courbe donpécj i|Qmmée,^irfc/r/ce.
Soient y x znaz,y = 62 , les équations de la droite à laquelle les, génératrices delà snrlae« seot ^BSlammentr parf^eks; et soient
les équations de la directrice donnée*
liCS équations d'une génératrice quelconque seront #
tt et C étant deux quantités qui restent constantes potfr tous les points d'une même génératrice 1 et ^ qui varient en passant d'une génératrice à Pautre. Eliminant a^,yv a, entre les équations de cette droite et celles de la directrice, on aura entre * •et 6 tt«e éfiiÉtioii
( 359 ) qui expriBoyera que U droite mobile rencontre tqiliMrs U courbe donnée ; et si Ton y re|K)rte ^u lieu de e» et ff leurs valeurs tirée» des é([tiaiion8 (s) de cette droite « ou aura pour l'é^tiatioit du lien cherché ^
On démontrèi^ , comme dans le proldëme précédent, que réciproquement, quelle que soit la forme de la fonction ç, Téquation représente une surface cylindrique dont les généra* triées sont parallèles à la. droite , i^nt pour éqnationa
3* l^ROBLÂMi^. TVowi/er Téquation générale des surfaces ca» noides. On nomme ainsi toute surface engenidrée par une droit^ qui se meut parallèlement à un plan fixé , en s'appuyant con-stamment sur une droite et sur une courbe données.
Prenons le plan .'donné pour celui des coordonnées x^y^ et la droite donnée pour axe des z. Soient
les équations de la courbe directrice, celles de la génératrice seront de la forme
puisqu'elle doit être parallèle au pkn xy^ et rencontrer l'axe des £«
On exprimera que la génératrice rencontre la directrice, en éliminant x^y^ z^ entre les équations^ (i), (a)^ et il en- résultera «ne équation de condition ^(« , m) â:± d, qui donnera Péquatîon du lieu cherché , en y remettant pour a et m leurs valeurs tirées des équations (a) de la génératrice. Oi^ trouvera ain$i que* l'éqaàtion de ce lieu est
On recoimaitra facilemeni» comme dans les deux probEbnes
précédens I que œtte équation représente toùj<mr$ une imr&oe coiioïde^ quelle que soit la forme de la fonction ç.
4' I*»o»ntacR Trouver Inéquation générale des surfaces dç révolution, cest^à-dire , engendrées par une courbe quelconque dont tous les points décrivent des cercles' ayant leurs plans per* ' pendiculaires sur unax^Jkç^ , et leurs ç^ntr^ wr cet qx^^
Soient^ xzrai^tf, yssft^-f-^i
les équations de.I^e de ré7olution> et
celles de la génératrice* Cette surface peut être considérée cpmipe le lieu des cercles que décrirout autour de Taxe les dK* férens points de la géuératrice. Pour avoir l'équation d'un quelconque de cesi cercles, nous considérerons une sphèrç d'un ]rayon variable^ ayant son centre sur l'a^e; et coupée par un plan perpendiculaire à Faxe inené par le point ou cette ^lièrç coupe la génératrice ; le cercle d'intersection de ce plan et de la sphèret > sera^ celui que décrira i^ point où la sphère a ren-< çoptré la génératrice ; ce sera donc un quelconque des cercles en question. Supposant le centre de la sphère au poiut oi^ Taxe rencontra le plan xy ^ l'équation de la sphère sera
celle d'un plan perpendiculaire à Taxe sera
a+ca: + iy ^^ c == G,
Pour exprimer que. le cer(4e> déterminé par oesdeiix éqaa:« 1^opS| rencontra la génératrice y. on éliminera x ^y % z, entre les équatipns de ces deux lignes ^ il en résuljt^a une équation 4f (ç , R*) == o , entre ç et R%
On obtiendra l'équation du li^u cherché en reportant dans f (c, R*) = o, les valeurs de c et R* , tirées des équations du cercle; on trouvera de cette manière j^ que l'équation générale des surfaces de révolution , est - ,
»{(5 + ox + *y), K«— «)«+ (jf— f)»+»»J} =:<v
La rêeip^ue iie démontrera aussi factlèinéiit qae dans les problèmes précédens, . : .. f •
;5* Pjftomiac^. Trouver l'équation de la Surface èitgeniiréé par une droite (fui^i^^eppuie constamment fur trois droites fixes*
Prenons d^s ^ftx^s de coordonnées pa^^al^eles aux*' trois droites données; ces dernières auront respectivement pour équations
lies équations d'itnégteéîratHGe quelCûtaïqtie^rônt : - : j[4).., a?=^inz-h;îi^, (5). •,y.=pn» + 71% (6). ,,^=:^a:+R'.
Ij'équatlon (6) se déduit de i[4) et (6) , et p e«t égal à — . .
On autsi lî^ dofddfti'ons pour que cette droite coupe ebaciine
deâ trofs' premièi'es , en élimiAàtit sc^y^z, d'abord entre les
équations (1) et (6) , puis entre (a) et (4), et en£n entre (S)
et (5) ; d^où résulteront les trois équations
(7),., fc = pa4"p'> c=mrf+m', e:==;nf'{^n\
On trouyerb l'équation de la surface demandée , en éliminant ntymf, n,n%p,p', entre les équations (7) , et celles de la génératrice. On obtient d'abord immédiatement par la sous*
traction ' .•,.•;
Vf
Remplaçant p par — , et éliminant m et n, entre les trois der* nières équations^ il vient
Cette dernière équeftion se réduit au second degré 9 parce que le terme xyji diqiarait des deux membres ^ eUe représente un hyperboloïde à une nappe, •
11 est évident que si l'on change d enf, e en b * a en c j et réciproquement I l'équation finale ne change pas^ d'où il suit
^ue la méxn^. surfsice peut encore éUe exigen(]br4e p4r une droite qui s*appuîerait sur trois nouvelles droile& fijaiott, respective-» ment pour équations
On peut remarquer qu'une génératrice quelconque de l'un dés systèmes est rencontrée par toutes celles dé Vautre; car ces dWnieres donnant tous les points de la surfiidb^ doivoit donner succes^iTenaent tous ceux, de la génératrica j ocinsidérée dans le premier système. D'où il résulte que si l'on fixe trois génératrices queicoiiqdes dan^ l'inf de^detti isystlmes^ lasuiv face seni engendrée par une droite qui s'appuierait sur ces trois lignes &:es.
. .0|i peut voir à priori que U problème seira imp$«f ible lorsque deux des droites étant daps «nvoufime pbuj. la troisième sera |i^aUèle à ce plan.
6* Problème. On dpnne deux points là^V ij^gt ^^/^) ^^^"^ l'espace; on mène deux droites quelconques passant par chacun de ces points , et assujetties à se couper constainmettt enun point M d^une surface donnée; par les deux points donnés on mène à c^ droites des perpendiculc^ire^ dçns leur piath II s'agit de trouver le Mem^de^ points d'intér$^ction M' de c^£ perpendiculaires.
Soit ^{xyjy s) r=o , la surface donnée.
Soit BB' = 2a la distance des deux points ; [nous aurons AlPHrâp'yAP^ss-^a/. Done, J?=t^-^j^'. Abaissant les coordonnées MQ , M'Q', QP, Q'F, on aura
M'F : MP :: MQ' : mq :: p'Q' : PQ ,
ou M'P' : MP :: z' : —z :: —y ly.
Mais les triangles M'ÇP'/MBP^ sont semblables^ puisqueTangle M' AM tDt adroit ^, donc
MP : FB :: PB rMV, ou mp: a^x'iv^+sf : wr-.
^ous aurons donc , — -7 = -7--r — r- = — ji-.
Par consëqtiéïit» pour un pdmt qu^IcotiqÂQidè lasuriaèéi fe& équations suirantes exprimerQut les coordonnées du ^int M ^ aamojen du point correspondit M^, j « »
Si donc nous substituons ces valeurs dans Féquation donnée ç(x , j^^ jb) ==6, nous anroos Féquation cherchée. -
7* PROBiiao. Deux plans sont assujettis à passer chacun par une droite fixe , on les fait mouvait de manière qu'ils rèsr tent constamment perpendiculaires entre eux. On demande le Heu des intersections sut^cessives , deux à deux, de cesplam,
Jp prends la plus courte distance des droites pour axe des z, et son milieu pour origine; j'appelle aa cette distance; je mène par l'origineiles parallèles aux deux droites, et je prends pour àxea des X et y les lignes qui partagent en deux parties égales leurs angles adjacens; aï ^'aj^elle m la tangente du demi-angle des deux droites^ les équations des deux droites fixes seront
(.)l.p='""l et f=-'^].,
les deux plans auront |^urnéqiiat9b|i&' . \
(^)...Aâr+By -fCz-f^bsEro, (3>... A'^r+By+HET» + £^=0:
Pour que le plan (a) renferme. la droite (i}j îl faut que l'équation. (A 4-B'n)x + Ca 4" D = 6, soit satisfaite quel que soit z-.
Pour le plan (d) on aura
<A'— B'/i»)x+(D'— Co)==p,^ A'— B'm = o, jy^C^a=o.
Or,A=-521±^5±5=-Bm, d'oà B(y— mx)+C*+-D=o.
Maïs, C =5 ; donc B (y — mx) — — » +D = o^
.On en déduit , B =s; • >^ ' ■ i >.
fl(y— mx)
De mémei A' = — S!t+£î±5! = B'n»; "B'(v + mx) +Cz+D' — <k
Or, C=Ç, donc B'(y+»w) + ^ + D'=o,
D'où B' = -.^(^: . ^
Donc, BxB'=DD'X-r^r=^Tr.
Or, À= — Bjw, A'=iB'm;
donc, A X A' = — BB'm* = — — -^^ — ^t:3T-"'
Mab, C=:-H, C = -, donc CC=— ??.
Les plans (fl) , (3) , étant peqiendicalaires entre eax> on a
AA'+BB' + CC'Lo:
Substituant les talenrs de AA' , BB^, CC% on troore, toates.ré» ductions faites, que la surûice cherchée a pour équation
(«*«— iB*)(iii*— i) =j^— m*jc*.
8* PaoBLàBcs. Trouver le lieu des points qui sont ti ^ole distance de deux droites données dans t espace.
Je prends les mêmes coordonnées que dans le problème précédent : les équations des droites seront
jf*=ntr, Z'ssta^ et y:=i'^TnX , z:=Z'^a.
Soittit diy ^f ^y les céordonnées d^un point qui satis&it à'ia ^tteatioii; pour avoir sa distance à b première droite, j'abaisse par ce point un pkn perpendiculaire à cette droite; l'équation* de tse plan sera a; -^my -4*0=0, et j'aar«i la condition x' 4- 171^ + 1)^^=0. Les coordonnées de Ji'intersection de ee plan avec la droite, sont «
— D — Dm
Donc la distance i im. point oS^ y> t!, à Ja premii$ré droite serfi
Be Bnâmo pour le plan perpen4icnlaire à la seconde, j'aurai .
a:— 7riy4-D' = o, et . a/-^my' + D' = o,
et pour les coordonnées d'intersection de ce plan avec la tecoode droite
ly D'il»
La distance ^ du point a/, y^ «', a la seconde droite sera
Egalant ces Tàleors de ^ etV, réduisant et observant que D= — (i' + ro/), iy=n»/— a',
on troATe^^e l'équation du lieu cbercbé est
Si Ton fait a =o, on a xy = o ; ce qui donne les deux axes des 'f y^ comme on pouvait facilement le prévoir.] Supposant s= «, on a
mxy + a«e(r-f- m') = ;
ce qui détermine une hyperbole rapportée à ses asymptotes.
Si atttiùf 1er droites se oovpail, et or a jry=^o. Gér ^pi doone les droite» qni partagent eadeat paytioégalw hs mg^eA^ n^aeens dey droite» dosikées*
En€0a|>antpariinpIanperpetidieulaiFeàraxede8'jr| «'est-
i- dire en faisant x = C • on trouve y= — z — — rg- — s. Ce qui
donne une droite c[uî coupe Taxe des x, et lui est perpendiculaire.
Faisant ensuite ys=«y c'est'-à-dire coupant la surface par un ^an perpendicttlairQ à l'axo de^ y, on troUTe
ar:4= — *
mm
La surfoce peut donc être lingéndrée pftt ttne droite' tfai se iacm perpendiculairement à l'axe des a; ou à l'axe des y. Si l'on élimine xety entre les quatre équations
a(i + ''»•)> et i a(i-f-wi*)
qui représentent deux génératrices quelconques prises respectivement dans ces deux systèmes, ou trouve les deux équations identiques
Ce qui fait yoir que> quels que soient «ç et C^ les deux droites se coupent*
11 suit de là qu'une génératrice quelconque de Fun des sJtsftèmes coupe toutes celles de l'autre ^ et que par conséquent si Ton en fixe une de celles qui sont perpendiculaires à l'axe des y, la surface pourra être engendrée par itne droite qui s'appuiera sur cette directrice et sur l'axe des ji auquel elle restera perpetr*
diculaire.
On aurait une seconde génération semblable par une droite perpendiculaire à l'axe des y. Cette surface est un paraboloïde hyperbolique.
g* Phoslêmb. On donne une courbe quelconque dans tespace; iun point fixe on mène des droites à chûcUn de ses points , et on tes prolonge aune quantité constante ou proportionnelle à elles^ mêmes. On demande le lieu des extrémités de tes prolongemens»
Dans le second cas^ on voit facilement par la définition même , que c'est iine courbe semblable à la première ; et si l'on représente par m le rapport des rayons Tecteurs, on aura l'équation du lieu eliercbè, en substituant kx,y, z,\èê traléUrs
— , ^ , ^ , dans les équations dé la C(yuri!)e donnée • en 0uptto<^ m m m
Sânt Forigtne placée au point donné.
Prenons maintenant le premier cas ^ et soit c la qiiantilé
constante dont on prolonge les rayons. Soit Forigine A au point
fixe. Nous allons prendre un point <qu4slcQnque M' de l'espace
joindre ÀM" , prolonger de M'M" = c, et exprimer x, y', a'
au moyen de x^yy", z", puis nou» les substituerons dans Téqua^
tion de la courbe donnée.
On a M'M"cosrt = FP" = x^ — a:'=ccostf.
Or, s eos« =—-====; donc 3/=x'( i— — ■ T
Beméme,
Soient F(ar,^,z)=o, ^. (x,y> *) =ï o , les équations de la tsourbe donnée ; en y substituant les valeur» pféoédidiytâB) o^ obtiendra les équations de la courbe chercliée*
lo* PROBi4iaiB Du foyer d^une ellipse ayant pour axes aa et ah, on abaisse des perpendiculaires sur toutes ses tangentes; on suppose qu'à chaque fois t ellipse tourne autour de la tangente comme charnière j jusqu'à ce que les deux pitins fissent un
angk donné ^* On demande Véquadon.de la courbe qui est le lieu des diverses positions que prendra le foyer.
Soit P (Jig' i56 ) la rencontre d'une des tangentes arec sa peppendiculaire , et PM la position que prend PF ; on demande de déterminer les surfaces qui , par leur intersection, donneront le^ lieu des points M. L'angle FPM =3 ^ : si au point F j'élève une perpendiculaire du^ plan , et que je la prenne pour axe des z ^ l'angle MFz sera complément de PFm , et par conséquent
égsJ à ~ ^. Donc, la courbe se trouye sur une surface conique ayant son centre en F , et dpnt l'angle au centre est f • "Faisant tang- f rrm, ce cône aura pour équationî
a:»+y = mV. Or, FQ = PMXcos9=:PF Xcos^.
et par suite , FQ = FP X (i — cos rt*
Or, PA = a. Donc, en menant QK parallèle à PA> on aura QKs:o(i — cosf),etFK=:c(i— cosf).
Donc K est constant , ainsi que QK. Donc les pieds Q des perpendiculaires sont sur un cercle ayant son centre en K ^ et pour rayon a(i — cosç)). L'équation de ce cercle sera
a:*-f-jf»;— flcx(i — oos(p) =&*(! — cosf)V
Mais le lieu des points Q est la projection de la courbe. On connaît donc une surface cylindrique qui la renferme. Elle est donc déterminée; les équations des deux suriEaces qui la contiennent sont:
I a:*+y=mV, ap* + y — flcar(i--cosrt — i*(i— cos(p)».
Toute combinaison.de ces équations doit être satisfaite. Substituant à x^ '^y^f 8A valeur dans la seconde, on a
mV — acr (1 — cos^) r= J* (1 -^ cos ^)*.
* Ce qui donne la projection sur le plan zx, qui est une parabole.
Il est évident que si l'angle des plans est de 200^ , le lieu
» sera une circonférence décrite clu second foyer comme centre avec le rayon ûo. Alors l'équation a;*+y*e=mV qui peut «3
mettre sous la forme 4* =3 — —21 ^ derient ft es o » ptti6(|ue \
m=tang 100^ =:oc>; ce qui fait voir que les points sont dans le plan de Pellipse ; cos ç devient — 1 / et l'équation
^* ■+• J* "— ^c^ i, * "^ cos^) = i*( i — cos ^)* , devient . ^
Ajoutant 4c*^ on a
Donc 9 on obtient alors la circonférence décrite de l'autre foyer comme centre avec âa pour rayon , puisque Tabscisse de son centre est !2c.
Passons au icas de la parabole , pour laquelle il est remarquable que la courbe est toujours plane. La courbe se trouve encore sur le côtie ayant pour équation
x*+y»:sTOV. De plus, on a (Jig. i55) FQ:FP::i— cos^Ii.
Donc , le lieu cbercbé est dans un plan perpendiculaire à Aî , que l'on obtiendra en partageant AF en deux parties telles, que
FN : AF ::i— cos(p : !• ^ -
Supposons que le point M correspondant à Q, se soit rabattu sur le planXY, en tournant autour deNY'; on aura sa position en élevant en Q une perpendiculaire à NY', égale à QM. . ' • Or, le triangle rectangle QN F donne ^
^* + SF£±= QF* , ou y« + ^- (1 — cos çy = mV ,
hyperbole rapportée à ses axes ^ l'angle 8es. asymptotes avec l'axe est - ç , puisque sa tangente est m. C'est aussi ce qu'on trou-
if^rait par la section du cône et du plan x = -^ *- p(i -^ cos f);
Si l'angle ^= ioo°, les points sont sur le plan qui passe par AY, perpendiculaire au plan xy* Alors le z d'un point M , est
-égal au rayon vecteur FP. Or, FP — PA =-^p*; donc , l'équation de la courbe sera z* — y*a=5 - p*.
Les équations générales conduisent au même résultat : la pre*
mière donne z=o; la seconde donne ^* + - p* = a*, puisque
cos f = o, et m=: I.
Les résultats pour l'hyperbole seraient analogues à ceux de l'ellipse..
11 reste à chercher les mêmes choses pour une courbe plane quelconque , <p {x ,y) = o.
Tous les points se trouveront encore sinrle cône, ayant poun -équation, a;* + j'* = 7n*2i*.
Soient «, C , les coordonnées du point de contact^ l'équation de la tangente sera
et l'on aura
L'équation de la perpendiculaire sera
An moyen des deux équations des . droites , on déterminerait x' et y', coordonnées du point P {Jig' 1 56).
Or, FQ : FF :: 1 — cos^ : i^
donc, a?" : x' :: ^ — eos^ : 1 ::y :y j
on a donc
x' = et y = — 2^—.
1— cosç -^ 1'— cos^
Substituant dans les valeurs de x' et y , tirées des équsdions
^^perpendiculaires, oxi aura deux équations entre a^S,x^,y", et de plus <p (* > = ^' Éliminant « , Ç, au moyen de deux d'entre elles, on obtiendra UBfe équation entre x" et y", qui sera l'équation du lieu des points Q , et donnera par conséquent le cjlindre projetant la courbe. Cette courbe sera donc déterminée.
ij* Problème. (,Fig, iSj). .On donne trois plans situés d'une manière quelconque dans l'espace ; deterrhine/ le lieju géométrique des points M, tels ^ qu*ea abaissant défi perp.endi^ culaires sur les trois plans , la somme de leurs cjarrâs fioit égale jà une surface donn ée p*.
Les plans donnés formeront en général par Jleur concours tin angle trièdre dont nous prendrons le sopjtmet 4- pQij^r prigine, et les ar^es AX, AT, AZ pour ax.es des cQQrdonj[]kéc$. $oiei|t aussi MP, MQ^ MR, les perpendiculaires abaissées ftvjr les faces de l'angle solide A ; on doit avoir
il) ... MpV MQ+ MR == p*.
Menons par le point M, qui est supposé appartenir fku Jiîeu
demandé , la parallèle MN à Taxe AZ , elle représentera }e z
du point M; et si l'on désigne par tt l'angle connu MNP, qui
est égal à l'angle que l'axe AZ fait avec le plan XT, on aura
évidemment . ,
MP = z sin a.
On trouvera de même , au moyjen de con$^dération,s semblables ,
MQ = a:siiij/, MRî=^sin^,
C et y exprimant les angles que les axes AY , AX , font avec le» ,pla«\s JZX , ZT.
Portant ces valeurs dans l'équation (i), elle devient
«* sin* 16 -f j'* sin* C -f a* sin* 3/ = p*.
Le lieu géométrique cherché est donc une ellipsoïde , q^eli que solçnt les janglos u^C , ^.
Qjiand Iqs angles a et é sont tous deux droits, l'équation de l'ellîpso'ide se change en
** "+• :y* + x*^in* y =:p*.
La forme de cette é<}uatH>n fait voir que si l'on y fait x égal à une constante quelconque, c'est-à-dire que si Pon coupe la Surface par i^ne suit« de plans parallèles à zy , toutes les intersections réelles seront des cercles , puisque l'axe AX est perpendiculaire à ZT , et que l'angle ZAY est droit. II suit de là que dans ce cas , le lieu géométrique devient un ellipsoïde de révolution.
Lorsque les angles a,t ,y sont droits , le lieu géométrique est une sphère.
1 2* PaoBii^ME. Trouver la courbe de contact d'une surface ' du second degré , et d*un cône dont le centre est donné.
Cette courbe est évidemment le lieu des points de la surface donnée pour leisqtiels le plan tangent passe par le point donné- Soient a, y C, y les coordonnées d« ce point , l'équation de fa surface proposée sera de la forme
et celle du plan tangent au point ayant pour coordonnées x', y', zf> sera
aflM'+ na'yy + aa^xx' + H%y + z'y) + ^(ax' + z'x)
On exprimera que ce plan passe par le point donné, en rem- "plaçant dans son équation x^y^z par «, ^, J' , ce qui donnera
aarz + aa'Cy' + aa'«r' •+• bÇ^yf + z'C) + b'(yx' + za)
'^b\^y+Cx')+c(y^z)+cXC+y)+c\cL+x')+2d^o.
Cette équation étant du premier degré, par rapport àar,yr, 5, considérées comme variables, représente un plan; ce qui fait voir que la courbe de contact est plane » et s'obtiendra par Finterséction de la surface donnée par le plan dont nous venons de trouver l'équation.
Connaissant les équations de la courbe de contact , qui peut être considérée comme la directrice de la surfaéb conique circonscrite, on trouvera facilement l'équation de cette dernière.
Si le centre du cône s'éloigne à Tinfini en suivant une ligne
, ( 373 ) fae, ayant pour équations x = mz + n , y ==; joa + (7 , lii sur^ face circonscrite se réduira à un cylindre dont les arrêtes seront parallèles à cette ligne. On pourrait faire de nouveau le calcul j, en considérant les plans tangens parallèles à cette ligne lixe^ mais Péijuation du plan de la courbe de contact peut se déduire de celle qu'en vient d'obtenir, en supposant
« , jS , y infinis et tels , que l*oti ait -= m et -^ = ». Divisant
alors l'équation du plan par 7* et faisant ensuite «, C, y infinis, elle derient, en supprimant les accens de x', y% z\
aas -f- ^a'ny -f- ^ta'mx + ^^ + bnz + b'x + Vmz •+• Vmy
Réciproquement y toute courbe plane tiracée sur une surface du second degré peut être considérée comme la courbe de contact de cette surface avec un cène ou un cylindre. Car si par trois points de cette courbe on mène des plana tangens , ils se couperont en un même point ^ ou seront parallèle^ à une même, droite : dans le premier cas y si l'on considère leur point de rencontre comme le centre d'un cône circonscrit, la courbe de contact 'devant être plane et passer par les trois points de la courbe donnée sur la surface, se ooofondra avec elle; et^ dans le second cas , le cylindre circonscrit , dont les génératrices seraient parallèles aux intersections des troîis plans tangens , ne pourrait être tangent que suivant une courbe plane qui , ayant trois points communs avec la proposée , se confondrait encore avec elle , puisqu'elles sont tracées toutes les deux sur la même surface du second degré. ' ' '
Ta£OB£tf£i Lorsqu'une surface du second degré en pénètre une autre du même déféré , et que la courbe d^ entrée estplane\ la courbe de sortie le sera aussi,
£0 effet , puisqu'une courbe commune.aux deux surfaces est plane , il faut que des deux équations de ces surfaces on puisse déduire celle d'un plan. Or, dans les diverses combinaisons que l'on fait entre deux équations , on substitue toujours , au sya^ tèpie des deiix pretaières ^ un système écpiyalent composé- de-
dexxx autres équations. Mais l'équation d*un plan combinée arec celle d'une surface du second degré , ne pourrait conduire à des projections du quatrième degré, comme cela dolf être pour les deux surfaces proposées; oh ne pourra donc remplacer lé système des deux équations données par l'une d'elles , jointe à celle d'un seul plan, mais bien par l'une d'elles et une nouvelle équation du second degré, qut^ si elle représente un plan> en représentera deux. La courbe d'entrée ne pourra donc être plane sans que celle dé sortie le soit pareillement.
Il pourra se faire, dans certains cas , que* Inéquation du second dègté ne représente qu'un seul plan ^ alors les dei}i; courbes d'intersection se confondront en une seule , et lès deux ' surfaces seront tangentes,, suivant toute l'étendue de cette courbé.
i3* titoBLiME. Par un point dontié, on mène UhpldH quelconque , qui coupe une surface donnée du second degré , et ton demande le lieu des centres dés canes circonscrits à cette surface, Suivant les diverses courbes données pat l' intersection du plan môbUe»
Soit l'équation dontiée
az* + iy* + ^** + ^
qui peut représenter toutes les surfaces du second degré \ soient tf, ^,y, les coordonnées du point donné, et x'yy% z\ celles d'un quelconque des centres des cônes circonscrits ; d'après le der nier problème , le plan de la courbe de contact de ce cône et de la surface aura pour équation
ùazz' -{- abyy -f- 2cxx' -j- c? (x + x') =i= o.
Pour que ce plan passe par le point donné , il faut que son équation soit satisfaite quand on y remplace x^ y, z par «^ ^,7 ^ ce qui donne
2a«a' + ^bèy' -f- 2cyx' -f- dÇtc -f- j;') = o (1).
Cette équation, ne renfermant dé variables que lescoordonnées
ffv^n point quelconque du lieu cberohé; ««1 l'équa^iQfv^Ain^ à^ ce lieu. . . , :/ . - 1 ,
D'après la forme de çett^ êqui^tioni ^n Ypit fs^\]qifç^ÇA% qu^ ce lieu n'est autre chose que le plan de la courbe de contact di^ iïôue ciroonserit |i lai /surfaire dopné^i ^t ^yauf «cm çefsi^^au point donné. . ^ 1. >
Si rpn supposait que U point #, Ç, y, p'élpigpftl;,^ J'i^fini^^ une droite fixe ayant pour équations a:=^m«rf n, y^^f^^^r le plan mobile serait çoofitau^ut^t pfirallëlp || cette droite^ e^ l'on préTûi): facilement que 1(8 lieu serait le pl^ de la cqur^,^^ içontact de la surface donnée et du cylindre parall^l^ k I^drpjf^ £xe. C'est ce que Ton déduira d^ l'éque^ti^?^ ( 1 ^^ di^i^ant tû«^
ses termes par 3/, puis faisant a, Ç, y infinis, et supposant *• i:^ m\ - =5 n; on trouvera ainsi * • "
On serait parvenu directement ,au -^ême résultat* élà piprî^ tnant que le plan mobile est parallèle h une droite fixe. ' * ^
i4* Problème. Par une droite donnée^ on nièneiin'pl'àh quelconque qui coupe une surface donnée du second aegrë', et l'on demande le lieu des centres des cônes circonscripà ceïte^ surface suivant les disperses courbes dans lesquelles ftk, est coupée par le plan mobile, '" y^ *
Soient les équations de la surface et de la droite données.
et a:= ma -["'** y^ipz'sz.ql
L'équation du plan de la courbe de contact du €i^e > <doi|t les coordonnées du centre sont af y^ yz' , sera
Pour qu'il contienne la droite donnée, on aura les deuiL équations
qui ; kjmi li«u entre les coordonnées d*an quelconque àei centres des cônes circonscrits, représenteront le lieu cherché; ces éqiiations étmt du premier degré , le lieu est une ligne droite.
Il est facile de juger que si Fon prend un point fixe quelconque sur la droite donnée^ et qu'on cherche le lieu des centres des cônes circonscrits à la surface , et dont les plans de contact fiassent par ce point , ce lieu oontiendra celui que nous venons de déterminer dans le prohiëme actuel ; d'où il résulte que si l'on fait la même construction pour tous les points de la droite fixe ; tous les plans qu'on obtiendra passeront par une même droite. Les deux équations que nous ayons trouvées pour déterminer cette droite représentent les lieux que l'on obtiendrait eu suppoéànt sucoessivement que le plan mobile fût parallèle à la droite fixe^ ou passât constamment par le point où elle perce le plan xy. Ces équations sont aussi celles de la droite qui joint les points de contact des plans tangens à la surface^ menés par la tlrpijte donnée.
Si la droite donnée s'éloigne h rinfini en restant parallèle à m pl$m fixe , le plan mobile sera alors parallèle h ce dernier, et Je lieu, cherché sera la droite qui joindra les points de contact .desplaus tangens à la surface et parallèles au plan fixe. C'est i^e f|ue l'on trouverait facilement par un calcul semblable aux précédens.
1 5* pBOBLiHE. Trouver le lieu dés centres des sphères tari" gentes à trois sphères données.
Considérant d'abord les centres des sphères tangentes à deux des sphères données , on aura pour lieu une surface de révolution autour de la ligne qui joint leurs centres. On aura la courbé gélfêratrioe en faisant uiie section par un. pi an passiant par cette ligne , ce qui ramènera à un problème de Géométrie plane, et doimera upe courbe du second degré à centre. Or^daçs le mouvc" ment de révolution de cette courbe , chacune de ses deux directrices engendrera un plan perpendiculaire à Paxe , et qui jouira de la propriété que les distances d'un point quelconque de la surface ^ ce plan et au jToyer homologue.; ,qui est ^^ des centres
des deux sphères , seront dans an rapport constant. Il en serait de même pour le lieu des centres ^es sphères tangentes à l'une de ces deux sphères et à la troisième , et Ton aura,it une seconde surface de réTolution engendrée par une courhe du second degré à centre , ajant un foyer commun avec la première. Considérons maintenant les deux, plans engendrés par les directrices de ces deux surfaces qui correspondent au fojer commun. Si Fon. prend uin point quelconque de la courbe cherchée, qui est l'intersection des deux surfaces de révolution , qu*on appelle d sa distance au foyer commun , et p ^ p , ses distances aux deux plans directeurs , on aura les proportions suivantes, dans las(^uelles les seconds rapports sont connus ,
^ d : p i: m : Tiy
d'où l'on tire
p : p :: mw! : n/i'.
Les perpendiculaires abaissées snr les denx plans étant dans un rapport connu , la courbe cherchée sera située dans iin plan qui passera par leur ^ droite d'intersection, et se déterminera facilement. Connaissant l'équation de ce plan , et la joignant à Tune de celles des sui'fapes de révolution , on aura les équations de la courbe cherchée. i
Nous laissons anx élèves le soin de faire ces calculs , qui ne sauraient oiHrir de difiBcultés *, ils discuteront toutes les positions relatives des sphères , et supposeront qu'elles se réduisent successivement à des plans: il suffira v()our cela de supposer qu'un de leurs points restant ïi-%!^ , le centre s'éloigne à l'infini dans la direction constante du rayon mené par ce point fixe.
Quant au lieu des points de contact de la sphère mobile avec chacune des trois autres , on trouvera pour chaque sphère un petit cercle perpendiculaire au plan des trois centres fixes.
i6* PnoBLÈME. Trouver l'équation de la surface engendrée par une droite éjui s'appuie sur deux droites Jixes , en faisant avec l'une d'elles un angle constant, dont la tangente est n.
Soît a la plus courte distance des deu:^ droites données , m la
tangente de leur angle. Prenons leur communs perpendicn^ laire pour axe des z'y pour axe des x celle des deux droites aTec laquelle la géqcratrice fait un angle constant , et pour axe des jr une perpendiculaire aux deux premières.
Lies équations de la seconde droite donnée seront
z = a y y = mx.
Celles de la droite mobile assujettie h couper Taxe des m seront
Eliminant x,^, j5, entre ces quatre équations, on aura la condition , pour que la génératrice coupe la seconde droit© donnée; l'équation résultante sera
(a) . . . Ka 4- A =
Enfin, le cosinus de l'angle que fait la génératrice avec l'axe
des X étant exprimé par — ^ qq aura , d'après le^
Y 1 -^ KL •+- MX.
cxHiditionfi données , l'équation suivante
Éliminant K , K."* et A, entre les éqxiations (i), (2) , (5) , on
obtiendra Téquation du lieu chercbé , qui sera , toute réduction:
faite,
(4) . . . m*(z*+y*) (z^aY:=sn''(ay — 7nxz)\
On observera que n n'entrant qu'au second degré dans celte équation, la surface qu'elle représente contiendra toutes les droites qui rencontreraient les deux droites données ^ en faisant avec l'axe des x l'angle obtus supplément du premier.
Si la génératrice était perpendiculaire sur la droite fixe , on aurait n = co ; divisant d'abord l'équation (4} par 11*1 et supposant ensuite nnroo, on trouvera
. ay — mxz =s o ;
( 379 > ce qoi donne un paraboloïde hyperbolique, comme on devait s*y attendre , pruîsque la génératrice se trouve alors parallèle à un plan û^e perpendiculaire à l'axe des a?.
Si les deux droites données étaient perpendiculaires entre elles, miserait infini, et Féquation (4) divisée par m" se réduirait alors à
(i* +^*) {z — ay = n W j
et si l'on supposait en même temps » = oo , elle deviendrait a;V== o, équation qui donne le plan XY et le plan TZj ce que Ton pouvait facilement prévoir.
Enfin , si l'on avait a =r o , les deux droites données se couperaient à l'origine , et l'équation de la surface deviendrait
et se décomposerait en z* = et z* -hy'^ = n'oc^. La première donne le plan même des deux droites qui , en efiet , peut être engendré par une droite qui se mouverait en faisant avec la première un angle constant , et en les rencontrant toutes les deux. La seconde équation a* -f- y* = n*x^ représente Ixn cône droit ayant pour axe l'axe des x et pour angle au centre l'angle donné. C'est encore ce que l'on pouvait facilement prévoir; car toutes les génératrices de ce cône rencontreront les dei^x droites données , puisqu'elles passent toutes par l'origine , et, de plus , elles feront avec l'axe des x l'angle donné*
TnéoitiMS. Si Ton projette une aire plane sur trois plans rectangulaires , et quon projette ensuite ces trois aires sur le phn de la première, la somme de ces ttois nouvelles projections sera égale à l'aire de la figure primitis^e.
Soit in l'aire de la figure donnée , et ae , f , )/ les angles que son plan fait avec les trois plans rectangulaires j les projections sur ces plans auront respectivement pour expressions
\ 77icos«, mcosCy mcosy.
Les promettant de nouveau sur le premier plan ^ ou obtiendra pour expressions des nouvelles aires
mcos^ce, meos*C, mcos* j', -
et oes trois quantités ajoutées entre elles donnent m, puisqu'on a la relation connue cos* tt -f- cos* C + cos* ^ = i.
Si l'on traite ces trois nourelles figures comme la première, chacune fournira trois nouvelles projections sur le même plan, et généi^lement si l'on répète cette opération ni fois y on aura sur le plan donné un nombre de figures marqué par 3", et dont la somme sera toujours égale à l'aire de la figure donnée.
Tjij&ojiiAi£. Si ïon projette une figure plane sur trois pians coordonnés rectangulaires , la somme des cônes qui aufont pour bases ces projections et pour sommet commun un point quelconque du plan' de lajigure sera égale au cône ayant son sommet à l'origine et pour base la figure donnée.
Soient a,b y c les cônes donnés des points où le plan de la figure coupe les axes ^ l'équation de ce plan sera
Désignons par m l'aire de la figure et par p la perpendiculaire abaissée de l'origine sur sou plan ; Téquatiou précédente
étant multipliée par -=-, deviendra
Or -, ^, - sont les cosinus des angles que le plan donné fait
avec les plans rectangulaireis •, et par conséquent — ^ * ~7~ > -^
isont les projections de la figure donnée sur ces mêmes plai a; de plus Xy y y z sont les perpendiculaires abaissées d'un point quelconque du plan sur ces trois projections. Le premier membre de la dernière équation représente donc la somme aU gébrique de trois cônes ayant leurs sommets au point x,y,z^ du plan> et pour bases les projections de la figure donnée. De plus le second membre est évidemment l'expression du volume d'un cône ayant sou sommet à l'origine et pour ^base la figure donnée^ ce qui démontre le théorème annoncé.
La comp65itioa des signes des quantités â?; b, c^x^y, Zj^mouf
( 381 ) trera dans chaque cas si les cônes doiwnt être ajoutés ou retran«
chés.
Si Ton projette de nouTcau les trois premières projections sur le p^an donné ^ on aura trois aires dont la sonîhie sera égale à celle de la première figure *, et pai* conséquent les cônes dentelles seraient les bases , et qui auraient leur sommet à l'origine^ don^
neraient encore pour somme -^ • Si Ton traite chacune de ces trois aires comme la première , on obtiendra 9 cônes dont la somme algébrique sera -^ > et généralement cette somme sera toujours la même pour les projections de l'ordre m qui fourniront un nombre de cônes marqué par 5"*.
Problèmes proposés aux concours d^s Collèges
royaux de Paris.
\^^ Problème. Les deux côtés AE, AF {fig. i58) d'un angle plan EAF étant supposés Jixes et coupés par une droite mobile BC ; trouver la courbe que décrit lei centre de gratuité G du triangle ABC , quand la droite BG se meut de telle sorte , que la surface du triangle ABC reste constante.
Choisissons pour axes des y et des a?^ les côtés AE, AF de l'angle A que nous désignerons par C. Soient aussi x\ y' les distances yariables AC, AB, et m* le double du carré auquel la surface du triangle ABC doit être constamment égale. On sait que
ABC=ia:^y'sinC=:lm^
Mais en désignant par x et y les coordonnées du centre de ;graTité G du triangle ABC , on aura
Portant ces yaleurs dans l'équation précédente, il en résultera celle du ./ieu cZemani/é qui est
xy =
9 siuC*
Cette iêqaation appartient à une hyperbole qui devlei!i.t «qui. latère quand l'angle C est droit. Les axes" en sont les asymptotes; et si m^ çst nul ^,la courbe se réduira au système de ses deux axes.
â® Problème. (F/g. iSg). Étant donné un quadrikière AGFH dont les quatre côtés ne sont pas situés dans un mêm$ plan y on demande :
1®. L'équation de la surface décrite par une droite ED , qui dans son mouvement couperait toujours proportionneîîement ies deux côtés opposés JiH, GF, de manière que dans chaque position de la droite génératrice on eût la proportion
AE : EH :: gd : df.
2^. L'équation de la surface engendrée pw le mouvement tïune seconde droite BC, qui couperait proportionnellement les deux autres côtés eu même quadrilatère^ <& sçrte qu'on eût la proportion
AB : BG :: CH : cf.
3°. On demande si les deux Surfaces sont différentes^ Je prends les deux côtés AG, AH du quadrilatère pour axes des j: et des z; par la ligne AG^ je fais passer un plan paraU 'lèlei FH, auquel, d'après un théorème connu de Géométrie, £D sera parallèle ds^s toutes ses positions. De même, par AH, je mène un plan parallèle à FG , et auquel BC restera paraît^ pendant son mouvement. Ces deux plans se couperont suivant une droite que je prends pour axe desj'.
Les équations de FG sont x=zm, yz=bz,
Celles de FH sont z =9 , yzmax.
La condition, pour que ces lignes se coupent, établit entre les coeffîciens myUybyayhi relation
Cela posé , la génératrice DE étant parallUe au plan xy , soi équations sont
ysszaXy^ z=3tC.
( 383 ) Si l'on exprime que cette droite s'appuie sur le côte GP du quadrilatère 9 ontrouyera l'équation de condition
^ et « étant constantes pour tous les points d'une^ même génératrice, et Tarîables, d'une position à l'autre de la génératrice. On aura donc un résultat commun à toutes les positions de la génératrice > et par suite l'équatîon de la surface demandée ^ si l'on
remplace Cet «t par leurs valeurs z et -. Ce qui donne
(2), ..y == — xz.
On trouvera de même que la surface engendrée par BC a p<Mtr .équation la relation (s).
Par conséquent les deux surfaces coïncident.
Il suit de la que les deux génératrices DE ^ CB se coupent ; ce qui démontre une proposition exposée dans le Traité de Géométrie de M. Le Gendre (Prop. i6 , liv, V ).
Beprenons l'équation (2); en y faisant •t'=:P; elle se réduit a
{3)...zxz=:py.
On voit d'abord que 1» surface passe par l'origine, Onobtie»dra l'intersection de cette surface par le plan des xy, en faisant a = o ; ce qui donne ^ = o, et laisse a: arbitraire ; eette intersection ert donc l'axe des x.
On trouvera aussi que l'axe des z est l'intersection de lu surface et du plan ay.
Maintenant^ coupons la surface par une suite de plans^paral-lëles au plan xy , l'équation générale de ces plans est zs^&^et
celle des sections est y = - x- D'où l'on voit que ces sections
sont des lignes droites , donc les projections sur le |Aan xy pas* sent par l'origine.
La symétrie de l'équation de la surface par rappott aux va*
rîablcs zétx, montre que ses înteràectîons par des plans pa<^ rallëles au plan ja, sont égAlement des droites dont les projeo tîons sur ce plan passent par l'origine.
Considérons la variable 3^ qui n'entre pas de la même manière dans l'équation (3) de la surface , et faisons^ =î=C. L'équation (3) se change en zx=zpC', elle appartient sous cette forme à une suite d'hyperboles >situéeé dans des plans parallèles aux zx, dont la position dépend du signe de f . Quand C= o , l'intersection se réduit au système de» axes a et a:.
Pour achever de découvrir les diverses courburesxlela surface, nous allons la couper pat des plans tournant autour de chacan des axes coordonnés.
Nous ferons d'abord passer un plan par l'axe des x ; son équation , qui est la même que celle de sa trace sur zx^ seray^kz.
Éliminant j entre cette équation et celle de la surface , il vient, pour la projection des points communs sur xz , l'éqi^ation a(x^pA)==o, qui se divise en a-=o et x=zpk, Gest l'axe des X d'une part , et une parallèle à l'axe des z de l'autre.
On trouverait de mémej, en considérant des plans tournant autour de l'axe des z , que leurs points communs avec la surface se projettent sur zx suivant l'axe desz et des parallèles à Taxe
des X.
Enfin si l'on mène un plan par l'axe des j, sa trace sur zx aura pour équation z=k'x ; la combinant avec celle de la surlace , par l'élimination de z , on aura k'x^ = py. Ces projection^ sont des paraboles , quel que soit k\
Il serait facile de reconnaître que les courbes projetées sont elles-mêmes des paraboles.
Cette surface est celle qu'on nomme paraboloïde hyperbolique^
3« PRosiiiMB. Les trois arêtes (Sun angle solide A (fig. 1 6o) étant suppo:>éesfixes et coupées par un plan mobile BDG, ^rou^ ^erV équation de la surface courbe que décrit le centre de grasfité de la pyramide comprise entre les faces de Pangle solide et le plan dont il s'agit , quand ce plan se meut de manière que le volume de la pyramide reste toujours le même.
Nous prendrons les arêtes AC, AD, AB. de Tangle solide A
pour les axes des Xy éesy et des s; d'où îl suit que ses faces se* ront les plans coordonnés. Nous désignerons par x'y y y zl y le^ distances AC, AD, AB, du soiïimet de l'angle au plan mobile BŒ) considéré dans une de ses positions. Gela posé, le volume de la pyramide B ACD est égal à D AG X 5 BP ; BP étant la perpendiculaire abaissée du point B sur la face DAG» L'aire du triangle DAG est représentée par ^x^*' s'n«, (« désigne l'angle connu DAG).
Le triangle rectangle BAP, dont l'augle A est l'inclinaison donnée de l'arête AB sur le plan DAC, ra servir à déterminer BP. En effet, soit ff l'angle BAP; on a
