CHAPITRE PREMIER

Des quantités géométriques en général.

45. jLisb objets de la nature font naître en nous les idées d'étendue et de fi^nne. Nous Ikmi d'abord intimement ces idéeiis aux corps dont nous les recçyons ; mais bientôt notre esprit les en sépare 9 les isole ^ et les conçoit indépendamment des objets matériels qui leur ont prîmitiTement donné naissance.

Les grandeurs et les formes deviennent alors pour nous des êtres d^imagihation auxquels nous supposons une exactitude et une régularité qui ne se IrouTent pas dans la nature. Nous les considérons indépendannnent des propriétés pbysiques de la matière; et les conséquences auxquelles nous parvenons en les comparant entre elles s'appliqueront avec d'autant plus de justesse aux objets réels, que ces objets se rapprocheront davantage de cette exactitude idéale.

L'étendue étant ainsi dégagée de toute idée de matière , nous ne voyons rien qui puisse y fixer des bornes absolues y et notre imagination la conçoit indéfiniment prolongée dans tous les sens.

Si nous nous figurons une portion finie quelconque de cet espace indéfini, elle nou^ donne l'idée de forme par la manière doitt elle est terminée; nous nommons cette portion volume, et surface la limite de son étendue en tous sens.

Si Von imagifke maintenant une portion finie de surface > elle $era terminée d'une certaine manière ; la limite de «on étendue est ce qu'cm appelle une ligne,

Enfiuy Ton peut oonceroir une portion cpieloonque de ligne : elle aura ses limites ou extrémités qui ont reçu le nom de points^

La surface n'étant que la limite du yolume^ n'a doqo pas une étendue de même nature que celle du volume; la ligne qui n'est que la limite d'une surface n'a pas non plus une étendue de même nature que leTolume ni que la surface : enfin le point, ou la limite d'une ligne , n'offre l'idée d'aucune espèce d'étendue. D'oii il suit que sous le rapport de Fétendue, on ne pourra comparer des rolumes qu'avec des volumes y des surfaces qu'avec des surfaces, des ligues qu'avec des lignes. Quant aux points, n'ayant aucune espèce d'étendue, ils ne sauraient être considérés sous ce point de vue.

L'ensemble des rapports qui se déduisent de la comparaison de ces diverses espèces d'étendue, de leurs formes et de la posî^ tion des surfaces, des lignes et des points qu'on y peut consi* dérer, constitue la science qu'on nomme Géométrie.

46. Dans la Géométrie, comme dans toute autre science, il faudra partir d'idées premières dues uniquement aux sensations et à l'expérience. La première chose à faire est donc de choisir ces idées élémentaires, et tout l'art consistera ensuite à j ra-* mener toutes les autres et è en déduire tous les rapports qu'elles peuvent avoir entre elles.

Parmi les lignes, la plus simple est la //g/te droite. Des expé^ riences journalières nous eu donnent la sensation ; nous la voyons dans la tension d'un fil flexible, dam la manière dont les corps nous envoient la lumière , etc. ; à cette idée de forme s'en joignent d'autres accessoires, comme, par exemple, d'un point à un autre on ne peut mener qu'ime seule ligne- droite , et qu'elle est plus courte que toute autre ligne terminée aux deux mêmes points.

Une ligne composée de plusieurs droites se nomme ligne brisée; et toute ligne qui n'est ni droite ni brisée est appelée ligne courbe, ou courbe.

47. Parmi les surfaces, il en est une qui occupe par sa, si^-

iJicité lé même rdxig que la droite parmi les lignes. Cette sarhcé est le plan, et sa propriété fondamentale consiste en ce qae toute droite qui a deux points communs ayec elle s'y trouve comprise dalis toute son étendue > en les supposant l'une et l'autre indéfiniment prolongées. On a coutume de définir le plan par cette propriété, et d'admettre alors à priori qu'il peut exister une surface de ce genre : or il est très-important de n'admettre ainsi que le plus petit npmbre possible d'idées, primitires, et je crois qu'on peut s'en dispenser pour le plan et le ramener de la manière suivante à la notion de la ligne droite, et à quelques principes simples de superposition qui ne renferment nullement l'idée de plan ni même de surface.

On nomme triangle la figure déterminée par trois drottesqui joignent deux à deux trois points non en ligne droite. Or on prouve immédiatement par la superposition que deux triangles qui ont un angile égal (*) compris entre deux côtés respectirement égaux peuvent être appliqués l'un sur l'autre de manière à coïncider dans toutes leurs parties. Je dis de plus que si ^ toutes choses égales d'ailleurs, l'angle compris est différent , le troisième cêté sera différent. En efiet , soit ABC {Jig* 6) le premier triangle et AC , A6 les côtés égaux aux correspondans ^n second; trans* portons celui-ci de manière que le côté égal à AG coïncide avec AG , et qu'en même temps le côté AM égal à AB coupe la direction BG, en les prolongeant l'un et l'autre s'il est nécessaire* Parvenus à ce point, on rentre dans la démonstration de M. Legendre, et elle s'achève sans qu'il soit besoin d'introduire aucunement l'idée de surface ; et on en conclut immédiatement cet autre théorème, que deux triangles peuvent être superposés exactement quand ils ont les trois côtés respectivement ^aux.

CeJa posé, imaginons que par un point d'une droite on élève une perpendiculaire , et qu'on fasse prendre à cette dernière

{*) On dit que deax droites qui se coupent font entre elles le même angle que deux autres, quand on peut, en les transportant sans changer leur position relative, faire coïncider leurs directions respectÎTcs avec celles des deux antres.

toutes les positions possibles autour de oe point sans cesser d'être perpendiculaire à la première droite , eUe engendrera une surface jpar cette continuité de positions successives; je dis que tette surface jouira de la propriété que si l'on en joint deux points quelconques par une ligne droite > cette droite y sera comprise dans toute son étendue. En effet, soit B {Jig. i) le point choisi sur la ligne donnée , et A et C deux points pris sur elle à égale distance de B , chaque point de la perpendiculaire mobile sera également distant de ces deux points. Soient deux points quelconques M, N , pris sur deux perpendiculaires ; si on les joint par une droite, qu'on en prenne un point X, et qu'on mène la droite BX , je dis qu'eUe sera perpendiculaire sur AG. En effet, MA=MC,NA=NC; donclesdeuxtrianglesAMN,CMN sont égaux; leurs angles en N sont donc égaux ainsi que leurs supplémeus; donc les deux triangles AJNX, GNX feront égaux, donc AX=sGX; les deux triangles égaux ABX, BCX, prouyent que BX est perpendiculaire sur AG , et que par conséquent le point X est sur la surface en question. Cette surface est celle que nous ayons nommée plan.

Je dis maintenant que par trois points non en ligne droite on peut toujours faire passer un plan , mais un seulement

Soient en effet les trois points A, B, G {Jlg^ 2); on conçoit d'abord que si l'on fait passer un plan par deux d'entre eux , ce plan ne sera pas déterminé de position et pourra toujours être amené à passer par le troisième. Supposons donc deux plans passant par A, B, G, et conteni^nt par conséquent les trois droites qui joignent ces points deux à deux : soit M un point quelconque de Fun d'eux ; si on le joint par une droite à un point quelconque D de AG, la ligne MD sera tout entière dans le premier plan , et par conséquent rencontrera, quelque part en £ la droite intermédiaire AB qui s'y trouve aussi comprise : mais les deux points D et E étant aussi dans le second^ plan, la droite indéfinie DE s'y trouvera pareillement , et par conséquent aussi le point M.> Tout point de l'un quelconque des plans appartient donc ausst à l'antre; ces deux plans coïncideçit donc entièrement

n résulte de là que tout plan peut être engendré de la manière

.. (4>) indiquée précédemment Car cette génération prodoit une sur« face telle y qu'en joignant deux quelconques de ses points à Tolonté par une droite^ e^tte droite s'y trouve comprise tout entière, et nous Tenons de iaire Toir q«e deux snr&oes de oe genre peuvent toujours oo'incider* On peut donc indifféremment définir je plan par la propriété énoncée d'abord on par la génération que nous avons indiquée à la suite*

Il résulte enpoare de ce ^^ précède^ que les deux côtés^ d'un plan sont iout^*&it identiques ; car^ nous avons &it voir que tout plan pouvait coïncider sur un autre sans considérer lequel de ses deux côtés on appliquait sur celui-ci : ces deux côtés sont donc entièrement semblables , puisqu'ils peuvent successivement coïncider avec ime même surface.

Deux droites qui se coupent 9 et en général toutes données 0& il se trouvera trois points non en ligne droite, détermineront la position d'un plan. Mais il ne sera pas toujours possible de trouver un plan qui passe par tous les points donnés quand il y en aura plus de trois. Ce que l'on peut faire pour deux droites qui se coupent devient impossible dans un grand nombre de cas pour deux droites qui ne se coupent pas : car on peut concevoir une ligne qui soit dans un plan et une autre qui perce ce plan sans rencontrer la première. Or aucun plan passant par ceUe-ci ne pourra passer par la seconde ; car il contiendrait le point où elle perçait le premier plan, et se confondrait par conséquent avec lui^ les deux droites auraient donc été dans ce premier plan y ce qui est contre l'hypotbèse.

Toute surface composée de plans se nomme surface polyèdre, et toute surface qui n'est ni plane ni composée de plans se nonune surface courbe.

48. Dans un même plan, denx droites indéfinies peuvent avoir deux positions relatives bien distinctes; elles peuvent se rencontrer, elles peuvent aussi n'avoir aucun point commun dans leur étendue illimitée, et dans' ce dernier cas, elles sont dites parallèles.

Les droites qui se coupent peuvent avoir ime infinité de positions relatives ; elles peuvent s'écarter plus ou moins les une»

(43) desa«ilres, et c'est cç que Fou appelle faire des angles plus ou moins grands.

Ainsi, les lignes AC, AD, AE {Jlg» 8), qui vont en s'écartant de plos en plus de AB^ font avec elle des angles de plus en plus grands.. Bien n'est plus facile que de comparer: la grandeur de deux angles { miles transporterun sur l'autre; si leurs côtés coïn-^ cident en direction , ces angles seront égaux; sinon le plus grand fiera celui qui comprendra l'autre entre ses côtés , comme D AB par rapport à CAB.

L'idée de l'égalité entraîné immédiatement celle du rap-* jiOft quelconque : deux angles sont eptre eux comme m est kn, lorsqu'ils contiennent un même angle, l'un m fois, l'être n fois. Enj^n , leu angles sont des quiaoïtités susceptibles d'être comparées comme toutes les autres sous le rapport de la grandeur.

Quant à la position deparallélisfne, elle a offert aux géo-» mikres des difficultés qui n'ont point encore été letées, et qui ne le seront peut-être jamais de la manière qu'ils paraissent le désirer* i^ on définit les parallèles, des droites qui situées dans le màue plan ne peuTcnt jamais se rencontrer , on ne peut dé^ montrer qu'elles soi^ perpendiculaires sur une même ligne, et ai on les définit par la condition d'être perpendiculaires sur une même ligne dans un même plan, on ne peut prouver que deux lignes qui ne se rencontrent pas sont parallèles* Toute dijQBculte disparaîtrait si l'on pouTait démontrer que par un point pris dans le plan d'une droite on ne peut mener qu'une seule ligne dans le même plan qui , prolongée indéfiniment, ne ren-»- <x>ntre pas la première. Cette proposition faute de démonstration a été admise d'elle-même, au grand regret de beaucoup de géomètres qui regardent encore la théorie des parallèles 4Comme incomplète ; mais si on les satisfaisait sur ce point , ils se rejetferaient sur la ligne droite, demanderaient qu'on en démontrât les propriétés premières, et regarderaient jusque là les bases de la Gépmétrie comme inexactes. Enfin ils pousseraient toujours leurs demandes au-delà des réponses , parce qu'on ne démontre rien sans se fonder sur quelque chose , et que par conséquent

iFouloir toat démontrer est une chose non pas difficile à etéettf' ter , mais qui implique contradiction.

Le parallélisme des plans offre les mêmes difficultés que celu» des droites , puisqu'il s'y ramène immédiatement ; mais il n'en offre pas de nouyelles^ et la première théorie admise , la seconde s'ensuit sans difficulté; pour cela on commencera par démontrer que deux plans perpendiculaires à une même droite ne peuvent se rencontrer ; pour faire Toir ensuite que tout autreplan mené par l'un des points de rencontre avec la droite ;, rencontrerait les deux premières, on. fera passer un plan quel*^ conque par cette droite; il coupera les trois plans suiyant troi» droites dont deux seront perpendiculaires à la -proposée, et àctnt la troisième coupera par conséquent chacune des deux premières, ce qui prouve que le troisième plan coupera chacun des deux autres. De là dérive sans peine toute la théorie du parallélisme dans l'espace.

4^. Les plans offrent les mêmes positions velatires que les lignes; ils peuvent se rencontrer , et forment alors une nouvelleespèce d'angle dont la mesure se ramène, comme nous le dirons plus tard, à celle de l'angle rectiligne ; ils peuvent être rencontrés par des droites, et donner lieu à un troisième genre d'incli^ naison qui se ramène encore au premier; il peuvent être paral-^ lèles entre eux, c'est-à-^ire ne pas se rencontrer quelque loin qu'on les prolonge ; enfin ils peuvent être parallèles à des droites.