Soit le polynôme Ax m -f- Bx"-)- Cx^-|- etc

Le coefficient total de h étant la somme des coefficiens fournis t par chacun des termes A -x m , Bx", etc., la dérivée du polynôme

sera la somme des" dérivées de chaque terme et .égale à

/»Ax m ~'-|- «Bx ” +-p Cx? ~ Î+ etc.

Le terme indépendant d’A est encore la fonction proposée Ax m -f-Rx*+etc. • . •

S’il y avait dans le polynonfe proposé un terme indépendant d’x, il 11e fournirait pas de coefficient pour A. C’est ce que l’on éndnce en disant que la dérivée d’uno constante est zéro.'

18. Soit le produit PQRS. . . V, les facteurs P , Qi . . V étant de# fonctions d’x dont ou connaît lc .4 dérivées représentées par P', Q' . . .V'. Lorsque x deviendra x + A, celte fonction sera le produit destléveloppemens suivans :

P + FA + -A»...,.; Q d" Q 7 t -|e CA* . . . * ■ R + R' A + yA a .... .j

• Le terme indépendant d’A sera encore la fonction proposée et le" 1er me en A au premier degré aura poqr coefficient

‘ * Y<gL . . .t-f PQ'P. . .V+PQR'. . . V+ -fPQR. . .V'j

’ “ d’o'ù l’on déduit celte règle que, pour avoir la dérivée d’un produit, il faut prendre respectivement les dérivées de chaque fac- ‘ teur, les multiplier par'tous les autres facteurs, et faire la somme de ces produits. .

Si les facteurs , P, Q ; R , étalent égaux et en nomLre rn , leur produit deviendrait P", et sa dérivée se réduirait à mP /n ~ J P'.

19. Soit la fraction P et Q étant des fonctions d’x dont on connaît les dérivées. La fractio* devient pour x-\-h P+P'A+ «A» . . .

En faisant la division, on trouve pour terme indépendant — , et

. FO — PQ' pour coefficient d’A ou pour dérivée — .

20.. Soit l’expression radicale F P"; P étant une fonction quelconque dont on connaît la dérivée P 7 . On aura à extraire la racine m itmt de (P-f-P'A-f-etc’)", ou de PM-rcP" - ‘F A+KA*-j-etc.-

ce qui donne pour termfe indépendant d’x, \/ P", et pour dérivée

nP"-F

ou

La même loi existe donc pour la puissance fractionnaire P m que pour les puissances entières.

Soit ou P Celte fonction est un cas particulier de — et

donne pour dérivée (Ri — mP -m-1 P' ; ce qui fournit

encore la même loi pour les puissances négatives que pour les positives; savoir, que la dérivée s’obtient toujours en multipliant l’exposant par la puissance dont on diminue le degré de l’unité et par la dérivée de la racine, puis enfin par le coefficient indépendant. • .

2i. Soit plus généraléfcent la fonction F(P) , P étant une fonction connue d’x désignée, par exemple, par tf(x ) , les signes F, <p , indiquant des fonctions dont on sait trouver les dérivées ,-ar rapport aux quantités qu’ils affectent. On demande la dérivée de F(P) par rapport à x, c’est-à-dire le coefficient de A dans le développement que prend I (l') quand x devient x -f- A.

P ou tp (x) devient alors 4>(r) -f- <p'(x)A -j- : •+" • • • l i ue nous

représenterons par <J)(.r) k.

F(P) devient F(P-f-A), ef donne un développement de la forme F(P) ■+• F'(P)/r -+• £é 2 ■+•*.. ; remplaçant k par sa valeur <p'(x)h -f- «A*+etc. , on voit que le ternie en h au premier degré sera F' (P) X 4>'(x), et le ternie indépendant F(P).

aa.’ Soit F (P) , et supposons, P =<p(Q) , Q= F(RJ, R=+(x).

En faisant les mêmes raisonnemens que dans le cas précédent, on trouvera facilement que la dérivée de F(P) par rapport à x est

Ce qui apprend que pour avoir ia dérivée d’une fonction de fondions , quel que soit le nombre des indices accumulés ,’il fau t prendre la dérivée de chaque fonction par rapport à la quantité qui lui est immédiatement soumise et multiplier ensemble toutes ces dérivées.

23. Soit une fonction de deux fonctions d’x , P et Q , désignée par F(î*, Q) , on peut trouver sa dérivée par fapport h x lorsqu’on connaît celles de P., Q, et celle relative à l’indice F. Supposons p»uf cela qu’on fasse d’abord la substitution de x-j-lt seulement dans P, on aura le développement *

Substituant dans ce développaient x+h dans Q, le premier terme F(P, Q) deviendra

F(P , Q) •+• F'(Q) (fh -f- CA* . . . .

Le second F'(P)P7i donnera pour seul terme en h le premier de son développement qui sera lui-mème ; de sorte que la dérivée de la fonction proposée F(P,Q) sera ^

* Mais il faut bien observer que F'(P) désigne la dérivée de F(P, Q) , eu n ’y considérant que P comme variable , et de même E'(Q) celle de F(P,Q) , en ne faisant varier que Q.

Si l’on avait un plus grand nombre de fonctions composantes, on agirait de la même maniéré, et l’on conclut celte règle gé“e raie , que

Pour avoir la dérivée d’une fonction composée de plusieurs autres P,Q,R , etc il faut prendre la dérivée par rapport à chacune d’elles ; en considérant les autres comme constantes , les multiplier respectivement par les dérivées des fonctions , P, Q , R , etc. , par rapport à x , et faite la somme de ces produits.

La dérivation des fonctions

PQ- -*V,- , P + Q 4: R +.etc.,

n’est qu’un cas particulier de cette loi générale. .

Nous allons maintenant passer aux fonctions implicites.

Problème. Trouver la dérivée d’une fonction inconnue j quand on connaît une équation entre elle et la variable x.

Soit l’équatibn donnée F(x, < y) = o.

Si l’on connaissait la valeur d’y en x , en la mettant dans F(x, y) , on aurait identiquement o= o. La fonction d’x résultante dè la substitution , étant nulle quel que soit x , le sera quel que soit h, si l’on change x en x-f- h ; et par conséquent tous les termes du même degré en h se détruiront. 11 suit de là que la dérivée de F (x,y), par rapport à x, doit être nulle quand. on considère^ comme la fonction d’x qui serait tirée de F(x,j')=o. Or nous savons dériver la fonction composée F(x,y) par rapport à x, et nous obtiendrons ainsi F(x) -f- F'(y )y', en désignant^ par y' la dérivée inconnue d’^par rapport à x et par F'(x), F’ Fy) les dérivées partielles de F(x ,y) par rapport àiouy considérées successivement comme seules variables.

Cette dérivée devant être nulle , on en tire

Corollaire. Si l’on connaît la dérivée d’une fonction y par rapport à x, on en peut déduire celle de x par rapport iiy , car ou a alors l’équation v— <P(x) * o, qui, d’après la formule pré-

ccdente, donne

ce qui fait yoir que les'dérivées de deux fonctions l’une par rapport à l’autre, sont réciproques.

2 fl. Problème. Connaissant (m — i) équations entre m mïriableSj trouver les dérivées de (ni — l) d’entre elles par rapport à l’autre.

Soient les équations

On demande les dérivées de y , z,...u, par rapport à x. Concevons pour cela qu’on connaisse les fonctions d’x que ces équations donneraient pour y», z, ... u\ en les reportant on aurait des équations où tous les termes en x se détruiraient identiquement. Si donc on y remplaçait x par x-f- h , tous les termes se détruiraient encore, de sorte que les cœfficiens des diverses puissances de h seraient identiquement nuis. Les dérivées, qui sont les coefficiens de la première puissance d’/i dans chacune de ces fonctions, seront donc nulles. D’où il «uft qu’en considérant y , z , ... u, comme les fonctions d’x données par les épations F, = o , F a =o , etc., les dérivées des premiers membres de ces équations seront identiquement nulles -, de sorte que l’on aura

F m,(x) -f- F *.(// 4- F'„, 1 (tt)w' = O ,

/, s', . . .u désignant les dérivées de y, z ,. . . u , par rapport à x, et F',(x), F, (y), etc., les dérivées partielles de.....

( ai )

F,(x,y,.'. u ) , etc. , en ne considérant comme variable que la quantité mise entre les parenthèses.

De ces m — 1 équations du premier degré, on déduira y',z,.. u-

aG. Problème. Connaissant m — a équations entre invariables, trouver les fonctions dérivées partielles de m — a de ces variables par rapport aux deux autres x j y.

Ce problème rentre dans le précédent, puisqu’il suffira de considérer successivement* et y connue constans; ce qui ramène à une seule variable indépendante..

Il en serait de même pour m—n équations entre m variables.

37. Remarque. Les fonctions dérivées peuvent elles-mêmes être dérivées par rapport à la même variable, et leur première dérivée est nommée la seconde de la fonction primitive; la dérivée de cette seconde est la troisième dérivée de la fonction ( primitive; et ainsi de suite.

La formation de ces dérivées successives ne saurait souffrir la moindre difficulté d’après ce qui précède, tant pour les fonctions explicites qu’implicites.

28. Problème. Etant donnée une fonction dérivée d’un certain ordre , trouver ta fonction primitive.

La résolution, de ce problème inverse n’est pas susceptible de la même généralité queje direct; les procédés à suivre dépendent de la forme particulière des fonctions *et ne s’étendent même qu’à un très petit nombre. Tious nous bornerons à considérer les polynômes sans dénominateurs polynômes. Tous les tenues seront alors de la forme Ax m , m étant entier ou fractionnaire , positif ou négatif. Or la fonction dont la dérivée est A.v'" cs^ évi- A* , " +1

deinment , et ce sera la fonction primitive si Ax m est la

première dérivée; dans le cas contraire, on remontera delà même manière par un nombre d’opérations égal au rang decelte dérivée. On agira semblablement pour tous les termes du polynôme. ,

11 faudra observer seulement d’ajouter une constante arbitraire à chaque operation, parce que non-seulement - ,

Ar"+ I

'maiOncore -v- (- C, donneront pour dérivée Ax"\ si C est

wi-j-i 1 . ’

indépendant d’x, pu isqu’alors sa dérivée est zéro.

Par exemple, si l’on demande la fonction primitive dont

la seconde dérivée est Ax m , on aura pour la première dérivée

AV-n

Jn-f-l

-f- C, et pour fonction primitive

Ax m+ *

+ Cx + C,

.C et C' étant deux constantes arbitraires.

En général la fonction primitive contiendra un nombre de constantes arbitraires marqué par l’ordre de la dérivée proposée.

Des fractions qui par une hypothèse particulière se réduisent à

29. Il arrive souvent qu’en attribuant une valeur particulière à une lettre dans une expressiou fractionnaire , on la réduit à la forme-. Dans ce cas, la valeur particulière de la fraction es^ déterminée, *et on aurait jju lui donner d’avance une forme telle, que dette substitution particulière ne lui donnât pas l’apparence de PindcternTination. En elfçt , soit une

fraction j qui se réduit à l quanyl on y fait x = a. Puisque

Pbjgiotbèse x — a — O rend nuis ses deux termes, chacun d’eux doit renfermer en facteur une certaine puissance positive.de x — a, que l’on mettra en évidence en transformant x — a en im raonome. Posant donc x — a = h, ou x=a-+- h, il viendra

F(r) rÇa+A)

F (a) + F '(«)/* -f F "(a) — -f etc.

<p(a) -f- f{a)h -f- <p"(a) ~ -f- etc.

Or, par hypothèse, F(a) = o, <p{a) — o \ h devient donc fac-

teur-aux deux termes, x — a l’était donc , puisque h — x — a t et c’est l’existence de ce facteur qui, par l’hypothèse x a, réduisait les deux termes à o. Le supprimant , il jient

/C« + h ) ~~ <fU) ~

D’où l’on voit que quand h = o, la fraction $c réduit à

Si l’on avait F* (a) = o t>u <p'( a ) == G > cette valeur serait nulle ou infinie-, si ces deux conditions avaient lieu simultanément , en supprimant ces deux fermes dans la fraction générale, puis faisaijt A==o après avoir supprimé le facteur commun A , elle se ré-

(luirait à rr. Et ainsi de suite: d’où se conclut cette règle :

Pour trouver la valeur d’une fraction qui devient — pour

• X = a , prenez les dérivées des deux termes et divisez-les dan # le même ordre après y avoir J ait x = a -, si la nouvelle frac-

tion se présente encore sous la forme — , traitez-la de la meme

manière j jusqu’à ce que les deux termes ne se réduisent pas à o; vous aurez la vraie valeur de la fraction qui pourra être nulle j finie ou infinie.

flx* — ax —

Exemple. Soit la fraction

# 3*-* — 4a a x -+- a qui devient ^ pour x = a ; les deux dérivées seront 4x — & et

gx* — 4a* ; en y faisant x= =a, la fraction aura pour valeur

3o. Remarque. Mais , il arrive souvent que les dérivées suc-

cessives sont toutes nulies ou infinies, et alors celte méthode n'est plus applicable. Cela ’a lieu , par exemple, rjuand il se trouve des puissances fractionnaires de x — a. Dans les cas de ce genre, il fapt substituer a -f- A * x, et développer l’expres-

sion immédiatement et sans recourir à la formule qui suppose que le résultat procède suivant lès puissances entières positives de A, ce qui n’arrive pas toujours. Alors le facteur h se trouve mis en évidence de lui-même ; ,on le supprime , et on Tait ensuite /t= o; on t a ainsi la valeur, cherchée.

. •„ .. , l/aax — aa“ + l/ar 3 — (ii‘ — a 3

i e . Soit, pour exemple,

faisant x ~ a -\-h , le premiep radical devient \/ aah , le se-

cor.d y 4<z“/i +• 5aA* -yj- ith? , et le troisième

\/ 5a*A-}- l io«Vi a -f- îoaVf 5 -f- 5a -*f- A s .

Dans le i' r on a pour facteur /t*, dans le second A 7 , et dan%

le* troisième/*-*. Supprimant donc le facteur commun A±^ aux deux termes de la fraction , h restera facteur au numérateur seul , et l’hypothèse h — b réduira alors la fraction à o.

• 2 °. Soit encore la fraction on trouvera en faisant x — a -f- A,

a y' x 2 — ax

y' h 4- 2 V/ 2 ah +

cty* ah A*

Supprimant le facteur commun A» , il vient

x-Hav

qui’- par l’hypothèse h = o , donne

ay' a

Si les deux termes de la fraction , { devenaient infinis - pour

x = a , on ramènerait ce ca*au précédent , en mettant la frac-

lion sous la forme — ; car alors le numérateur et le déno-

mina leur deviendraient nuis, et on agirait comme précédemment

3i. Il existe une espèce très remarquable de fractions, qui

se réduisent à. - , cé sont celles dont les deux terntes sont des

accroissemens de fonction d’iftie même variable , relatifs à un accroissement indéfiniment décroissant de cette variable. Voyons comment on peut en déterminer la valcdlr.

1 °. Soit une fonction F(x), et soit demandé la limite du rapport de son accroissement à l’accroissement indéfiniment décroissant de x. Désignant ce dernier par h , il faudra chercher

la limite du rapport ; q U i se réduit à ^ quand

A=o. Or, si l’on développe F(x -f- fi) la fraètion se réduira àf

4F'(x) 4~- F"(x)4-etc.

Supprimant le facteur h et faisant ensuite h — o, on trouve • pour limite F' (x) ; d’où l’on conclut ce résultat remarquablê : La dérivée d’une fonction d’x eft la limite du. rapport de l’accroissement de cette fonction à l’ accroissement indéfiniment décroissant de x.

On aurait pu appliquer à celle fraction la fègle précédente,

et prendre la dérivée de ses deux termes par rapport ah, ce qui

. FVx-f-i) . *

eût donné — ■ ^ — , qui pour /i = o, se réduit à F'(x).

2°. Pour trouver la limite dtf raprport des •accroisseitiens de

deux fonctions F(x), ç(x) , quand l’acfreissement h de x décroît

indéfiniment. Il s’agit de voir ce que devient la fraction

— ; — r~ — — . quand n — o; ce qui lui donne la forme -,

Développant F(x -f- h) et <p(x -j- fi ) , puis supprimant^ facteur

commun h , et faisant ensuite h — o , on trouve

32 . Nota. Tout fce qui a*été dit, sur les dérivées, peut donc s’appliquer aux limites des rapports des accroissemens indéfiniment décroissais des fonctions dépendantes d'une même variable.

. Des coejjicïens indéterminés. .

, 33. On nomme ainsi les coefliciens inconnus «l’une expression dont on connaît la forme lles tertnes par rapport aux puissances dela.lettre ordonnatrice. On pout avoir dans leur emploi deux objets diffërens , ou de déterminer les valeurs mêmes de ces coefiiciens , ou de trouver les conditions résultantes de la forme supposée à l’eîyiression proposée , et, dans ce dernier cas, on ne" cherche qu’à dpérer leur élimination. Dans tous les cas , on obtionl les équations nécessaires par le moyen général que nous avons déjà indiqué, et qui consiste à faire les calculs nécessaires «ù la vérification des conditions données. ‘

Pour bien faire concevoir l’esprit de cette méthode , qui oc t » dne des plus fécondes de l’analyse , nous allons en offrir quelques applications à des questions que nous ne traiterons pas à fond , mais seulement sous le rapport de la méthode dont nous nous occupons présentement.

• 34. Problème. 'Déterminer le quotient de la division de deujc polynômes^ ef trhui’er tel conditions potf,r que cette division puisse se faire exactement. Soient les deux polynômes *

x m + Ar ,| - , +Vi‘ + +

X n -f- nx" l + bx n ~ % + + htt + h.

Leur quotient sera du degré m—n , .et le reste du degré n — 1 j ils .seront donc (le la forme •

xV~~ n + et -f- Cr 1 ™** . . . . -f- fiteX -f- p ,

Mx* -1 -+■ Nx"- 3 îf . + y.

JPour vérifier s’ils Copviennent , il faut voir-si , eu multipliant

le diviseur par le quotient et ajoutant le reste , on reproduit îdentiquitaent, c’est-à-dire terme pour terme, le dividende. Ce dernier polynôme étant du degré in, aura m + 1 termes, et comme le premier sera æ" de part et d’tjutre , il n’y aura que m équations entre les coefficiens donhés , et les Inconnues et M, N, . . . V , qui sont pn tout au nombre de m, et te trouveront, par conséquent , déterminées. . • * .

Si Von demandait quelles relations devraient avoir lieu entre les coefficiens donnés , pour qu’il «’y eût pas de reste , il faudrait que l’on eût M =0 , N =0, . . . , V = q, ce qui ferait n équat ions de pies que d’inconnues- Dans ce cas., on n’aurait qu’à éliminer les m — n inconnues .ft, v , entre les m équa-

tions dans lesquelles on aurait fait M = 0, N = o ... V =»o ; ou obtiendrait par Jà n équations de conditions qptre les coefficiens des deux.j>olynomes proposés. - •

Ou pourra chercher quelles seraient les conditions pour que la division réussît , le quotient s’arrêtant à, un tçrme d’un exposant désigné , soit positif, soit négatif. , '

35 ■ l’noBLÈWE. Extraire la racine d’un polynôme . et

trouver les conditions pouf qu il n’y ait pas de reste. Soit le polynôme > • "

x mn -f. . . . . +U. . ••

Sa racine sera»de la forme

x* -f- dx* 1 - 4 - »x" 3 . . v . +f*, «

et le reste de la forme

Mr ’"— 1 -f- Nr"»-"-' -f- V.

... . ' . f La vérification se fera e relevant lasracine approchée à la puis- •

sance m , en ajoutant le reste et voyant si la somme est .identique avec le polynôme proposé. Il résultera de là mn équations entre les coefficiens donnés et ceux» des deux polynômes inconnus , qui sont au nombre de mn , et se trouveront par conséquent déterminés. • ♦ ’ • - ■ % t

Si l’on demandait que l’extraction «41e donnât pas de reste, il •faudrait les mn — n équations, M = o, N =0 . f. V= o $ il ne resterait plus alors que n inconnues . . . ,p; il y aurait,

par conséquent^ mn — n équations de cou cation entre les coefficiens donnés ; et on les obtiendrait par l’élimination de \

On pourrait demander que le reste s'évanouit lorsque , dans . lu racine, on parviendrait à un terme d’un exposant donné f positif ou négatif : cela ^offrirait aucune difficulté. #

36 . Problème. Trouver les conditions pour qu’un polynôme d'un degré donné soit décomposable en facteurs d'une forme donnée ; par exemple j-que l'un soit une puissance' n d'un bit nome du premier degré ; l'autre , une paissance p ‘d'un autre binôme ; 'et ainsi de suite. Soit le polynôme

x m + Ai—' + Bx M -.* V.

Il faudra qu’il’ «oit identique avec un produit»de la forme (x — «)* (x — Sy (x — y)t etc., '*

• et, £, y , etc. , étant des quantités arbitraires. Effectuant le produit et.I’identifiant avec ]e polynôme donné, on aura m cqua- , tions dont on éliminera <t , 6, y , été. , pour avoir les équations de condition. Le nombre de ces équations sera égal au degré du pôlvntfme, moins le nombre des ■Indéterminées a., Z , y , etc. ; si quelques-unes d’entre elles étaient fixées d’avançe, le nombre des conditions augmenterait d’autant; et enfin, si elles étaient toutes données , on aurait m équations qui détermineraient imxnédiatenuftit lés coeflîciens du polynôme proposé.

Au lien de choisir des puissances de binômes du premier degré» on aurait pu demander des puissances de polynômes quelcon-

• ques; la marche serait toujqprs la mcqje. >

37. Problème. T mure ries conditions pour qu'un polynôme soit décomposable en facteurs du premier degré » de la forme x — a » et dont les secdtids termes soient in progression par différence

ou par quotient. Soit le polynôme • ,

{ x m + Ax m ~‘ ... ! + V.

i°. Soit S ' la différence de la progression, et a le premier terme; le polynôme proposé devra être identique avec le produit

(x — a) (x — : a —•J') {x —a — ni) . . . f x — a — (m* — i)<È] .

Il en résultera m équations, dont o’n éliminera a. et i, et i I restera m — 2 équations entre les coefliciens. Si l’on donnait la différence de la progression , il y aurait m — x équations de

condition. , ’

a°. Si la progression était par quotient , la décomposition serait de la forme

(x — a) ( x — qà) (x — q*a) . . . (x ' — q m ~ l a) ,

et le calcül aurait en de même pour objet d’élhpiner (te t q.

38. Problème. Étant donnée une fonction F(x) , trouver le développement de F{x -f- h) sachant qu'il procède suivant les * puissances entières et positives de h. Le développement pourra être mis sous la forme

F(x + h) x= F(x) + Ah -f B/P + Ch 3 -f- D h* + etc.

Le terme indépendant de h est F(x), parce que pour hdto le premier membre se réduit à F(x)$ et' par définition, A est la dérivée de F(x) par rapport à x.

Pour déterminer B, C, D, .. . , nous observerons encore, d’après la forme du premier membre, que la dérivée par rapport à x est la même que par rapport à h. Désignant donc par ' A' , B' , Ç , . . . , lçs dérivées de A , D, C , par rapport à x, on aura les deux expressions identiques

D’où l’on tire

A -j- A 'h -f- B7; a -f- C'ù 3 -f- etc.

A + aBh -f- 3Cù a + 4Dù 3 + etc.

Désignant par F'(x) , F"(x) , F*(x) , - . . , les dérivées successives de F(x) , ces valeurs deviennent

* F Ÿ r -, t> *"(*) Y"lx) F"(x) .

a — r (x) , b — , c - D JTITd ’ elc ’’ *

et le développement sera

FC* + h) = F(x) -f F \x)h + F"(x) -f F"(x) ~ + etc

. 3g. Problème. Connaissant la fonction F(x , y) , développer F(x + h, y-+-k) , par rapport aux puissances croissantes de b et k. , *

Substituant d’abord r -f- h à x , sans' changer jr , la fonction F(x ,y) , deviendra

E(x O 0 + hl\x) + i* F"(x) -f- etc.

F'(x), F"(t) , efc. , désignant les dérivées de F(.r, y) par rapport à x, regardant y comme une constant^ Substituant dans ce développement, y -J- k à y , il vient

• +F'(y)k+thk..

P désigne la dérivée par rapport à v de F'(x), dans laquelle x serait regardé comme constant. Quant à la manière Je fermer Jes autres coefliciens, elle est indiquée par le calcul ; mais nous n’en donnerons pas la notation , parce qu’elle est assez compliquée , et qu’on n’en fait maintenant aucun usage.

On agirait de la même manière pour un nombre quelconque de variables j nous nous dispenserons d’entrer dans de plus grands détails à cet égard, et nous bornerons là les applications de la méthode des coefliciens indéterminés.

Des Maxima et Minima.

4o. Lorsque l’on- fait 1 croître d ; une manière continue depuis — oo jusqu’à -f- oo la variable d’une fonction , cette fonction varie d’une manière continue, mais elle peut, après avoir cru jusqu’à un certain point, décroître, puis croître de nouveau pour redécroître ensuite, etc.; toute valeur de la fonction' à partir de laquelle un accroissement se change en décroissement , se nomme maximum; dans le cas inverse elle sc nomme minimum.

Un maximum d’une fonction est donc une valeur telle, qve si la variable augmente ou diminue à partir de sa valeur correspondante, la fonction commence dans les *leux cas par di-

minuer da ris un intervalle qui peut être très petit- Le minimum a lieu quand la fonction croit dans les deux, mêmes cas.

4i. Cela posé, voyons comment on peut déterminer leî va*- . • leurs de x auxquelles correspondent des maxima ou minima dans une fonction donnée. * -,

Soit la fonction F(x) , et r une valeur de x à laquelle correspond un maximum. 11 faudra qu’en faisant x = x' ± h,

F(x) décroisse dans les deux cas pour les valeurs de h com-« mençant depuis o. Le deux développemens seront

Or, on peut faire h assez petit pour que le terme du premier degré en h l’emporte sûr tons les autres (*) et donnç par conséquent son signe à la variation totale de F(x'); et * comme dans les deux développemens ce terme du premier degré est de signe différent, la fonction anrait cru dans un cas et décru dans l’autre. Il n’y aura donc ni maximum ni minimum pour F(x') si ce terme ne disparait pas. Une condition commune aù maximum et au minimum est donc F*(x^ = o.

Si F"(x') n’est pas nul , les deux aocroissemens de F'(x') sont de même signe pour les valeurs de h depuis o. jusqu’à une limite qui peut être très voisine de o, et il y aura maximum •

si F"(x / ) dont dépend le signe de l’accroissement est négatif,

- et minimum s’il est positif. .

Par une raison semblable,* si on avait F"(x') = o, il fau-

(*) Soit en effet une série indéfinie .

■ V Aà + BA'-f-Cà’-t-DAt....

Elle peut se mettre sous la forme A(A-f-BA+.CA»-)-DA J . ..)

Or, l'hypothèse h — o anntillant bs termes B A, CA* , DA’. .. , et par suite leur somme, on conçoit qu’il est possible de faire A asseï petit pour que celte tomme soit moindre que toute grandeur donnée, et par conséquent moindre qus A : d’où il résultera que AA sera moindre que la somme BA*4-CA’-+-clc.

«Irait, pour qu*il y eût ma xi ni uni ou minimum, qu’on eût aussi F*(x')*a= o, et le signe de F'’(x') déterminerait lequel des deux a lieu-, et ainsi de suite. D’où résulte cette règle :

Pour trouver les maxima et minima d' une fonction d's. , égalez sa dérivée à o, les valeurs d’x conviendront si elles rendent nulles un nombre impair quelconque de dérivées successives , et devront être rejetées dans le cas contraire. Il y aura maximum si la première dérivée qui ne s'annulle pas devient négative par leur substitution ; il y aura minimum si elle devient positive. Nous supposons dans tout ce qui précède qu’aucun coefficient ne devient infini. Nous sortirions des bornes que nous nous sommes prescrites en entrant dans les détails nécessaires à ce sujet. Cette théorie se trouvera complétée dans le calcul différentiel, et les élèves pourront consulter sur ce point les Traités de Lagrange et de Lacroix.

. Exemple. Scrit proposé de partager un nombre » en deux parties dont le produit sdit maximum. Soit x l’une des* parties, l’autre sera *t — x , et le produit *r — x*$ la première dérivée égalée à o donnera * — ax = o, d’où x = î<e. La seconde dérivée étant négative, x = j » rend le produit un maximum.

Cela tait voir que le plus grand rectangle que l'on puisse faire avec. un périmètre donné est le carré; et que le plus petit périmètre d’un- rectangle dont la surface est constante a lieu dans le cas du carré.

42 . Problème. Trouver les maxima et minima d'une fonction de m variables entre lesquelles on a (m — 1) équations.

Soit la fonction proposée F(x j y , z, . . .).

Puisqu’on a m — 1 équations entre x , y, on peut re-

garder y, z ... u , comme des fonctions d’x- , et appliquer à F (x,y, . . . u) les principes relatifs aux fonctions d’une seule variable. On prendra donc sa dérivée en traitant y, s, ... u, comme des fonctions d’x , dont les dérivées seront déterminées comme nous l’avons déjà vu au moyen des m — 1 équations données : le reste s’achèvera comme dans le cas d’une seule variable.

Exemple. Trouver le maximum ou le minimum de la somme

des puissances m Um “ de deux nombres , dont on connaît la somme des produits par des nombres donnés a , b. Soit c la somme donnée , on aura ax -f- by = c, et il faudra trouver le maximum ou minimum de x m -f- y”. La dérivée de y étant désignée par y , on aura par ce qui précède , -f- my m ~'y'= o,

et l’équationvzx by — c , donnera

a+6/=o; d’ou = o , et x —y

Ce qui ne donne pour x et y que les seules valeurs réelles

c Vb cl /a

a\Za-}-b\/b a\/a-^-bÿb ,

La seconde dérivée de x m +y" devient, en observant que la dérivée dej/ est nulle,

Reportant pour x et y leurs valeurs qui sont positives , le signe de cette expression ne dépendra que de celui de m(m 1 ).

1 . Si m est positif et plus grand que 1 , on a alors un minimum.