Sim est positif et plus petit que î , on a un maximum

3“. Si m est négatif , on a un minimum.

Problème. Trouver les maxima et minima d’une fonction de deux variables indépendantes. Soit la fonction F(x , y) , e t x >y » les -valeurs auxquelles correspond un maximum ou un minimum. Substituant kx et y, x'+ h , y'+ k , h et k étant deux indéterminées quelconques, la fonction deviendra

?(*', /) + F \x')h + FV)

Or , comme le signe de l'accroissement, tle F(x', y') , dépend des termes du premier degré , et doit rester le même lorsque h et k changent de signe , on aura pour condition commune au maximum et au minimum F'(x') = o, F'(y') — o.

Les termes du second degré détermineront alors le signe de l’accroissement; or, leur somme peut se mettre Sous la forme

La première condition sera que ce trinôme reste de même

signe , quel que soit ^ , sans quoi il n’y aurait ni maximum , ni

minimum; ses racines devront donc être imaginaires; ce qui donnera cette troisième condition commune P“<^F'’(y)xF"(x').

'Enfin , le signe du trinôme se reconnaîtra au signe du premier terme, de sorte qu’il suffira pour le maximum , que F* (y') <] o et pour le minimum que F*(y') o ; ce qui entraîne les mêmes

conditions pour F"(x')‘, en vertu deF"(^') X (F* (a/) > P*.

Si tous les termes du second degré s’évanouissaient , il faudrait qu’il en fût de même de ceux du troisième , et que le polynonie du 4* degré eût toutes ses racines imaginaires ; et ainsi de suite.

43. Problème. Trouver les maxima ou minima (Tune fonction de m variables , entre lesquelles on a m — 2 équations.

Les (m — 2 ) équations permettent de regarder .(m — 2 ) variables, comme fonctions de deux indépendantes x et^, et on rentre dans le cas précédent. Les dérivées partielles successives de la fonction proposée renfermeront les dérivées partielles des ( m — 2 ) variables par rapport à x et y , qui se déduiront des (m — 2 ) équations données.

Nous allons offrir quelques applications de ces problèmes généraux.

Problème. Trouver la plus courte distance de deux droites non situées dans un même plan.

Soient les équations de ces droites

y =ûs-fC,

x=a'z-j-ct' y =û's-fC,

Soient x,y, z, et x", y', a" les coordonnées de deux points pris respectivement suf chacune d’elles , le carré de. leur distance sera (x — x"/ 4 - (y — y")' + (z — z") 1 .

Dans ce cas-ci on peut éliminer facilement les quatre indéterminées x, y , x" , y" , et cette expression deviènt

( az+ct — a'z ’ — et') 1 -f- (bz -fr ff b'z" — C) 1 -f- (* — a")*.

Egalant à zéro les dérivées par rapport à z et z" , il vient

aa(az-\-et — ciz — a!) + lb{bz-\-Ç — b’ z" — — z")=o,

2a'(az-H* — az — a.') -j-abfbz- f-ff — b'z — »') -f- p(z — z 1 ') — O;

ou bien endivisant par 2 et remettant les valeurs de x , y, x n ,y" puis divisant par z — z ,

Equations qoi expriment que la droite qui passe par les points x ,y,z et x",y",z" est perpéndiculaire sur les deux premières. Les joignant aux quatre équations données, on déterminerait les deux points de rencontre, et par suite leur distance La seconde dérivée par rapport à z est 2 (x + a 1 -j-5*) , celle par rapport à z" est 2 (î -f- a ' 1 -J- b' ü ) , et la dérivée par rapport à z" de la première par rapport à z est — 2(1 + aa! -j- bb'). Les soumettant aux conditions assignées précédemment , on reconnaîtra sans peine que la distance est un minimum.

44. Probixme. Trouver le maximum ou le minimum d’une fonction implicite liée à m variables par m ou m — 1 équations. Soit u la fonction; . •

i° Si l’on a m équations

u peut alors être considéré comme fonction d’une seule variable indépendante x, et il ne s’agit par conséquent que de déterminer ses dérivées successives par rapport à x; ce qui a été enseigné dans la théorie des dérivées.

Donnons-en quelque* exemples.

Probi.èks. Trouver le maximum ou le minimum de l'ordonnée de la courpe dont l’équation est y* + bx -{- c = oé

Désignons par y la dérivée tPy par rapport à .r, on aura

ayÿ -4- 2 x + ■oÿ if-b = o.

Or, ilfaut que ÿ' =o; il reste donc ax-f- b—o, cToù x = — -,

<et par suite

On voit facilement parla valeur x=— - que les deux

points sont sur la perpendiculaire abaissée du centre du cercle , lieu de l’équation donnée. Des deux valeurs d'y, l’une donne un maximum, l’autre un minimum; c’est ce qù’ou trouvera sans difficulté.

Problème. De tous les points d’un plan qui sont également éclairés par deux points lumineux pris dans le même plan , trouver ceux qui sont les plus éloignés de la droite qui joint les points lumineux .

Soient D et E ( fig. 7) les distances d’un point M également éclairé aux deux points lumineux A et B dont les intensités à la distance 1 sont m*-, ra 4 . L’action de ces lumières sur M sera pour

la première ^ , et pour la seconde ; et comme il doit

recevoir la même quantité de lumière de A et B, on aura '

jj = £ , ou mE = nD.

Appelant x,y, a , les distances AP, MP, AB, on a

et il faut trouver le maximum d’y, ayant trois équations et trois variables étrangères E, D, x.

Dérivant les trois équations en considérant ces trois variables comme fonctions- d’x , il vient

mE' = n D', DI/ —y y' -f- x , EE' —y y' — (a — x) ;

d’où l’on tire facilement par l’élimination,

• ' , Eux — Dmx -f- Dam

y — Dy — Enÿ ’ '

et pour le maximum on aura Enx — Dmx -f- Dnm = o, qui , jointe aux trois proposées , déterminera D, E, x,y.

On trouvera immédiatement une équation enx seul, en reportant dans la dernière la valeur E = — D , et l’ou aura r m

m 1 — il*

la substituant dans les autres équations, on tirera

nrrtrt

Le point et sa distance à la droite se trouvent déterminés par là, et l’on verra facilement que la valeur positive d’y est un maximum et la négative un minimum : cette dernière serait aussi un maximum si l’on faisait abstraction de son signe.