CHAPITRE PREMIER

Des quantités géométriques en général.

45. Les objets de la nature font naître eh nous les idées d’étendue et de forme. Nous lions d’abord intimement ces idées aux corps dont nous les recevons; mais bientôt notre esprit les en sépare, les isole, et les conçoit indépendamment des objets matériels qui leur ont primitivement donné naissance.

Les grandeurs et les formes deviennent alors pour nous, des êtres d’imagination auxquels nous supposons une exactitude et une régularité qui ne se trouvent pas dans la nature. Nous les considérons indépendamment des propriétés pbyf^ues de la matière; et les conséquences auxquelles nous parvenons en les comparant' entre elles s’appliqueront avec d’autant plus de justesse aux objets réels, que ces objets se rapprocheront davantage de cette exactitude idéale.

L’étendue étant ainsi dégagée de toute idée de matière, nous ne voyon's rien qui puisse y fixer des bornes absolues , et notre imagination la conçoit indéfiniment prolongée dans tous les sens.

Si nous nous figurons une portion finie quelconque de cet espace indéfini, elle nous donne l’idée de forme par la manière dont elle est terminée; nous nommons cette portion volume, et surface la limite de son étendue en tous sens.

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Si l’on imagine maintenant une portion finie de surface, elle sera terminée d’une certaine manière ; la limite de son étendue est ce qu’on appelle une ligne.

Enfin, l’on peut concevoir une portion quelconque de ligne : elle aura ses limites ou extrémités qui ont reçu le nom de points.

La surface n’étant que la limite du volume, n’a donc pas une ' étendue de même nature que celle du volume; la ligne qui n’est que la limite d’une surface n’a pas non plus une étendue de même nature que le volume ni que la surface : enfin le point, ou la limite d’une ligne, n’offre l’idée d’aucune espèce d’étendue. D’où il suit que sous le rapport de l’étendue, on ne pourra comparer des volumes qu’avec des volumes , des surfaces qu’avec des surfaces, des lignes qu’avec des lignes. Quant aux points, n’ayant aucune espèce d’étendue , ils ne sauraient être consi- ■ dérés sous ce point de vue.

L’ensemble des rapports qui se déduisent de la comparaison de ces diverses espèces d’étendue, de leurs formes et de la position des surfaces, des lignes et des points qu’on y peut considérer, constitue la science qu’on nomme Géométrie.

46. Dans la Géométrie, comme dans toute, autre science, il faudra partir d’idées premières dues uniquement aux sensations et à l’expérience. La première chose à faire est donc de choisir ces idées élémentaires; et tout l’art consistera ensuite à y ramener toutes les autres et à en déduire tous les rapports qu’elles peuvent avoir entre elles.

Parmi les lignes, la plus simple est la ligne droite. Des expériences journalières nous en donnent la sensation ; nous la voyous dans la tension d’un fil flexible, dans la manière dont les corps nous envoient la lumière , etc. ; à cette idée de forme s’en joignent d’autres accessoires, coruïne, par exemple, d’un point à un autre on ne peut mener qu’une seule ligne droite , et qu’elle est plus courte que toute autre ligne terminée aux deux mêmes points.

Lne ligne composée de plusieurs droites se nomme ligne brisée; et toute ligne qui n’est ni droite ni brisée est appelée ligne courbe, ou courbe.

hj. Parmi les surfaces, il en est une qui occupe par sa sim-

plicité le même rang que la droite parmi les lignes. Cette surface est le plan, et sa propriété fondamentale consiste en ce que toute droite quia deux points communs avec elle s’y trouve comprise dans toute son étendue, en les supposant l’une et l’autre indéfiniment prolongées. On a coutume de définir le plan par cette propriété, et d’admettre alors à priori qu’il peut exister une surface de ce genre : or il est très- important de n’admettre ainsi que le plus petit nombre possible d’idées primitives, et je crois qu’on peut s’en dispenser pour le plan et le ramener de la manière suivante à la notion de la ligne droite, et à quelques principes simples de superposition qui ne renferment nullement l’Idée de plan ni même de surface.

On nomme triangle la figure déterminée par trois droites qui joignent deux à deux trois points non en lijjne droite. Or on prouve immédiatement par la superposition que deux triangles qui ont un angle égal (*) compris entre deux côtés respectivement égaux peuvent être appliqués l’un sur l’autre de manière à coïncider dans toutes leurs parties. Je dis de plus que si , toutes choses égales d’ailleurs, l’angle compris est différent , le troisième côté sera différent. En effet , soit ABC ( Jig. 6) le premier triangle et AC , AB les côtés égaux aux correspondans du second ; transportons celui-ci de manière que le côté égal à AC coïncide avec AC, et qu’en même temps le côté AM égala AB coupe la direction BC, en les prolongeant l’un et l’autre s’il est nécessaire. Parvenus à ce point , on rentre dans 1a démonstration de M. Legendre, et elle s’achève sans qu’il soit 'besoin d’introduire aucunement l’idée de surface ; et on en conclut immédiatement cet autre théorème, que deux triangles peuvent être supçrposés exactement quaud ils ont les trois côtés respectivement égaux.

Cela posé, imaginons que par un point d’une droite on élève une perpendiculaire , et qu’on fasse prendre à cette dernière

(*) On dit que deux droite» qui se coupent font entre elles le même angle que deux autres, quand on peut, en les transportant sans changer leur position relative, faire coïncider leurs directions respectives avec celles des deux autres. .

toutes les positions possibles autour de ce point sans cesser d’ètre perpendiculaire à la première droite, elle engendrera une surface par cette continuité de positions successives; je dis que cette surface jouira de la propriété que si l’on en joint deux points quelconques par une ligne droite, cette droite y sera comprise dans toute son étendue. En effet, soit B ( Jig . 1 ) le point choisi sur la ligne donnée, et A et C deux points pris sur elle à égale distance de B , chaque point de la perpendiculaire mobile sera également distant de ces deux points. Soient deux points quelconques M, N, pris sur deux perpendiculaires; si on les joint par une droite, qu’on en prenne un point X, et qu’on mène 'la droite BX , je dis qu’elle sera perpendiculaire sur AC. En effet, MA=MC, NA=NC; donc les deux triangles AMN , CMN sont égaux; leurs angles en N sont donc égaux ainsi que leurs supplémens; donc les deux triangles ANX, CNX seront égaux, donc AX=CX ; les deux triangles égaux ABX, BCX, prouvent que 11X est perpendiculaire" sur AC, et que par conséquent le point X est sur la surface en question. Cette surface est celle que nous avons nommée plan.

Je dis maintenant qàe par trois points non en ligne droite on peut toujours faire passer un plan , mais un. seulement.

Soient en effet les trois points A , B, C (Jig. a); on conçoit d’abord que si l’on fait passer un plan par deux d’entre eux , ce plan ne sera pas déterminé de position et pourra toujours être amené à passer par le troisième. Supposons donc deux plans passant par A, B, C, et contenant par conséquent les trois droites qui joignent ces points deux à deux : soit M un point quelconque de l’un d’eux; si on le joint par une droite à un point quelconque D de AC, la ligne MD sera tout entière dans le premier plan , et par conséquent rencontrera quelque part en E la droite intermédiaire AB qui s’y trouve aussi comprise : niais les deux points D et E étant aussi dans le second plan, la droite indéfinie DE s’y trouvera pareillement, et par conséquent aussi 1» point M. Tout point de Pun quelconque des plans appartient donc aussi ’ à l’autre : ces deux plans coïncident donc entièrement.

Il résulte de là que tout plan peut cire engendré de la manière

indiquée précédemment. Car cette génération produit une surface telle, qu’eu joignant deux quelconques de ses points à volonté par une droite , cette droite s’y trouve comprise tout entière , et nous venons de faire voir que deux surfaces de ce genre peuvent toujours coïncider. On peut donc indificremment définir le plan par la propriété énoncée d’abord ou par la géuération que nous avons indiquée à la suite.

Il résulte encore de ce qui précède, que les deux côtés d’un plan sont tout-à-fait identiques ; car nous avons fait voir que tout plan pouvait coïncider sur un autre sans considérer lequel de ses deux côtés on appliquait sur celui-ci •: ces deux côtés sont donc entièrement semblables, puisqu’ils peuvent successivement coïncider avec une même surface.

Deux droites qui se coupent, et en général tontes données où il se trouvera trois points non en ligne droite, détermineront la position d’un plan. Mais il ne sera pas toujours possible de trouver un plan qui passe par tous les points donnés quand il y en aura plus de trois. Ce que l’on peut faire pour deux droites qui se coupent devient impossible dans un grand nombre de cas pour deux droites qui ne se coupent pas : car on peut concevoir une ligue qui soit dans un plan et une autre qui perce ce plan sans rencontrer la première. Or aucun plan passant par celle-ci ne pourra passer par la seconde ; car il contiendrait le point où elle perçait le premier plan, et se confondrait par conséquent avec lui; les deux droites auraient donc été dans ce premier plan , ce qui est contre l’hypotlièse.

Toute surface composée de plans se nomme surface polyèdre , et toute surface qui n’est ni plane ni composée de plans se nomme surface courbe.

48. Dans un même plan, deux droites indéfinies peuvent ’ avoir deux positions relatives bien distinctes; elles peuvent se rencontrer, elles peuvent aussi n’avoir aucun point commun dans leun étendue illimitée, et dans ce dernier cas, elles sont dites parallèles.

l.es droites qui se courent peuvent avoir une infinité de position; relatives; elles peuvent s’écarter plus ou moins les unes

des autres, et c’est ce que l’on appelle faire des angles plus ou moins grands. . "

Ainsi, les lignes AC, AD, AE [fig- 8), qui vont en s’écartant de plus en plus de AB , font avec elle des angles de plus en plus grands. Rien n’est plus facile que de comparer la grandeur de deux angles : on les transporte l’un sur l’autre; si leurs côtés coïncident en direction , ces angles seront égaux ; sinon le plus grand sera celui qui comprendra l’autre entre ses côtés, comme DAB par rapport à"CAB. •

L’idée de l’égalité entraîne immédiatement celle du rapport quelconque : deux angles sont entre eux comme m est à n, lorsqu’ils contiennent un même «ingle, l’un m fois, l’autre ri fois. Enfin , les angles sont des quantités susceptibles d’être comparées comme toutes les autres sous le rapport de la grandeur. '

Quant à la position de parallélisme , elle a offert aux géomètres des difficultés qui n’ont point encore été levées, et qui ne le seront peut-être jamais de la manière qu’ils paraissent le désirer. Si ou définit les parallèles, des droites'qui situées dans le même plan ne peuvent jamais se rencontrer, on ne peut démontrer qu’elles sont perpendiculaires sur une même ligne, et si on les définit par la conditioh «l’être perpendiculaires sur une même ligue dans un même plan, on ne peut prouver que deux lignes qui ne se rencontrent pas sont parallèles. Toute difficulté disparaîtrait si l’on pouvait démontrer que par un point pris dans le plan d’une droite on ne peut mener qu’une seule ligne dans le même plan qui , prolongée indéfiniment, ne rencontre pas la première. Cette proposition faute de démonstration a été admise d’elle-même, au grand regret de beaucoup de géomètres qui regardent encore la théorie des parallèles comme incomplète ; mais si on les satisfaisait sUr ce point , ils se rejetteraient sur la ligne droite, demanderaient qu’on en démontrât les propriétés premières , et regarderaient jusque là les bases de la Géométrie comme . inexactes. Enfin ils pousseraient toujours leurs demandes au-delà des réponses, parce qu’on ne démontre ■rien sans sc fonder sur quelque chose, et que par conséquent

■vouloir tout démontrer est une chose non pas difficile -à exécuter, mais qui implique contradiction.

Le parallélisme des plans offre les mêmes difficultés que celui des droites , puisqu’il s’y ramène immédiatement ; mais il n’en offre pas de nouvelles , et la première théorie admise , la seconde s’ensuit sans difficulté ; pour cela on commencera par démontrer que deux plans perpendiculaires à une même droite ne peuvent se rencontrer ; pour faire voir ensuite que tout autre plan mené paf l’un des points de rencontre avec la droite, rencontrerait les deux premières, on fera passer un plan quelconque par cette droite; il coupera les trois plans suivant trois droites dont deux seront perpendiculaires à la proposée, et dont la troisième coupera par conséquent chacune des deux premières, ce qui prouve que le troisième plan coupera chacun des deux autres. De là dérive sans peine toute la théorie du parallélisme dans l’espace.

4g. Les plans offrent les mêmes positions relatives que les lignes; ils peuvent se rencontrer , et forment alors une nouvelle espèce d’angle doht la mesure se ramène, comme nous le dirons plus tard, à celle de l’angle rectiligne ; ils peuvent être rencontrés par des droites, et donner lieu à un troisième genre d’inclinaison qui se ramène encore au premier ; il peuvent être parallèlescnt re eux , c’est-à-dire ne pas se rencontrer quelque loin qu’on les prolonge ; enfin ils peuvent être parallèles à des droites.